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高中数学人教A版必修5课件:2.3.1 等差数列的前n项和


2.3 等差数列的前n项和

第1课时 等差数列的前n项和

1.掌握数列前n项和的概念. 2.理解等差数列前n项和公式的推导过程. 3.掌握等差数列前n项和公式及其应用.

等差数列前 n 项和公式与函数的关系 剖析:等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1 +
2 2 (-1) 可以写为Sn= 2

+ 1 - 2 . 若令 2 = ,a1 ? 2 = , 则上式可以写成Sn=An2+Bn,即 Sn 是关


于项数 n 的函数. 当 A=0,B=0 时(此时 a1=0,d=0),Sn=0 是关于 n 的常数函数; 当 A=0,B≠0 时(此时 a1≠0,d=0),Sn=Bn 是关于 n 的一次函数(正 比例函数); 当 A≠0 时(此时 d≠0),Sn=An2+Bn 是关于 n 的二次函数.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

已知 Sn 求 an

【例1】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项 公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. 分析:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)求解. 解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1; 当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5) =2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5. 此时若n=1,则an=4n-5=4×1-5=-1=a1, 故an=4n-5.

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)当n=1时,a1=S1=31-2=1; 当n≥2时,Sn-1=3n-1-2, 则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1 =3· 3n-1-3n-1=2· 3n-1. 此时若n=1,则an=2· 3n-1=2×31-1=2≠a1, 1, = 1, 故 an= 2· 3 -1 , ≥ 2.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤: (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1. (3)如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1,那么数列{an}的通项公式为 an=Sn-Sn-1; 如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1,那么数列{an}的通项公式要分

1 , = 1, 段表示为an= - , ≥ 2. -1

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练1】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3· 2n+1,则 an= . 解析:当n=1时,a1=S1=7; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3· 2n+1-3· 2n-1-1=3· 2n-3· 2n-1=3· 2n-1(21)=3· 2n-1. 当n=1时,不满足上式. 7, = 1, ∴an= 3· 2 -1 , ≥ 2. 7, = 1, 答案: 3· 2 -1 , ≥ 2

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点


,

(n∈N*)均在函数

y=3x-2 的图象上,求数列{an}的通项公式.
解:依题意得, = 3n-2,即 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5; 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5 适合上式,所以 an=6n-5(n ∈N*).

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

等差数列前 n 项和的有关计算

【例 2】 根据下列条件,求相应的等差数列{an}的有关未知数: (1)a1 =
3 1 ,d=? 2,Sn=-15,求 2

n 及 a12;

(2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求 d.

分析:合理地使用等差数列前n项和公式,并注意其变形及方程思 想的应用.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)Sn=n· +

3 2

(-1) 2

-

1 2

= ?15,

整理,得 n2-7n-60=0, 解得 n=12 或 n=-5(舍去), 故 a12 = + (12-1) × (2)由 =
3 2 ( + ) Sn= 12 1 = ?4. 2 (-512+1) = ?1 022, 2

解得 n=4. 又由 an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d, 解得 d=-171.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个 基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中可知三求二,即等差数列的通项 公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和 前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本 方法.在具体求解过程中,应注意已知与未知的联系及整体思想的 运用.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】 在等差数列{an}中, (1)a1 = ,an=? ,Sn=-5,求 n 和 d; (2)a1=4,S8=172,求 a8 和 d; (3)已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n.
5 6 3 2

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)由题意,得 Sn=

5 3 1 + (15-1)d=? , ∴d=? . 6 2 6 8( + ) (2)由已知,得 S8 = 12 8

(1 + ) 2

=

6-2 2

53

= ?5, 解得n=15.∴a15 =

=

8(4+8 ) 2

= 172, 解得a8=39.

又 a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. (3)由 = 1 + (-1), = 1 + = 7, = 5, 解方程组得 或 1 = 3 1 = -1.
(-1) 得 1 + , 2

1 + 2(-1) = 11,
(-1) × 2

2 = 35,

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

等差数列前 n 项和的最值问题

【例 3】 数列{an}是等差数列,a1=50,d=-0.6. (1)该数列前多少项都是非负数? (2)求此数列的前 n 项和 Sn 的最大值. ≥ 0, 分析:(1)求不等式组 的正整数解即可;(2)既可以从项 +1 < 0 的正负考虑,也可以利用等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函

数,考虑对应二次函数的最值.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)由 a1=50,d=-0.6, 知 an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6. ≥ 0, -0.6 + 50.6 ≥ 0, 令 即 +1 < 0, -0.6( + 1) + 50.6 < 0, 解得
250 3

< ≤

253 . 3

又 m∈N*,则 m=84, 即该数列前 84 项都是非负数. (2)方法一:由(1)得 a84>0,a85<0, 则 Sn 的最大值是 S84=50×84 +
84×83 × 2

(-0.6)=2 108.4. -0.3
503 2 - 6

(-1) 方法二:Sn=50n+ 2 · (-0.6)=-0.3n2+50.3n= 5032 , 由二次函数的性质知,当 120

+

n=84 时,Sn 取最大值 S84=2 108.4.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值有两种方法: (1)由二次函数的最值特征得解.
(-1) Sn=na1 + 2

=

2 + 2

1 2 = +
2

2

1 2 ?
2

2

1 - 2


2

1 1 = 2 2

1 1 ? . 2 2
1 2

2

由二次函数的最大值、 最小值知识及 n∈N*知,当 n 取最接近 ?
1 1 1 的正整数时 , S 取到最大值 ( 或最小值 ) . 值得注意的是最接近 ? n 2

的正整数可能有1 个,也可能有 2 个.

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)根据项的正负来定.

①首项 a1>0,公差 d<0,当 m 满足
大值是 Sm.

≥ 0, 时,前 n 项和 Sn 的最 +1 < 0 ≤ 0, 时,前 n 项和 Sn 的最 +1 > 0

②首项 a1<0,公差 d>0,当 m 满足
小值是 Sm.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 3】 在等差数列{an}中,a1=25,S9=S17,求其前 n 项和 Sn 的最大值.

解:(方法一)∵S9=S17,a1=25,

∴9×25 +

9× (9-1) 2 (-1) × 2

= 17×25 +

17× (17-1) , 2

解得 d=-2.

∴Sn=25n+

(-2)=-n2+26n

=-(n-13)2+169. ∴当 n=13 时,Sn 取最大值 S13=169.

题型一

题型二

题型三

题型四

(方法二)同方法一,求出公差 d=-2. ∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. ∵a1=25>0, = -2 + 27 ≥ 0, 由 +1 = -2( + 1) + 27 < 0, 得 ≤ >
1 13 2 , 1 12 , 2

∴n=13.

∴当 n=13 时,Sn 取最大值 S13=169.

题型一

题型二

题型三

题型四

(方法三)∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0. 由等差数列的性质得 a13+a14=0. ∵a1>0,∴d<0. ∴a13>0,a14<0. ∴当 n=13 时,Sn 取最大值 S13=169. (方法四)设 Sn=An2+Bn.

∵S9=S17,∴二次函数 y=Ax2+Bx 图象的对称轴为 x=
且开口方向向下. ∴当 n=13 时,Sn 取最大值 S13=169.

9+17 2

= 13,

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

易错辨析

易错点:忽略an=Sn-Sn-1成立的条件致错 【例4】 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求此数列的通项公式. 错解:an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1. 错因分析:∵Sn=n2+2,∴a1=S1=12+2=3,而当n=1时,an=2n-1=2×11=1≠3,则an=2n-1不是数列{an}的通项公式.错解中忽视了an=Sn-Sn1成立的条件是n≥2. 正解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;当n=1 时,a1=S1=12+2=3,不适合上式, 3, = 1, 故 an= 2-1, ≥ 2.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 已知数列{an}的前n项和Sn与an的关系求an,一般使用公式 an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须写明它成立的条件:n∈N*,n≥2,忽视了这一 点往往会导致错误.


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