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直线的倾斜角和斜率教案


直线的倾斜角和斜率
教学目标: ?理解直线的倾斜角的定义,知道直线的倾斜角的范围;

?掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系.
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学过程: (一)直线的倾斜角的概念 问题 1: 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗? (如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, …易见,答案是否定的.) 问题 2:这些直线有什么联系呢? ((1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.) 问题 3:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? (引入直线的倾斜角的概念)

Y

a

b

c

O

P

X

1.直线的倾斜角的定义: 在平面直角坐标系中, 便是直线的倾斜角. 直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 (该定义也可看作是一个分类定义.) .

2.倾斜角 ? 的范围是



因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度 , 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

Y a b c

O

X

如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α 不能 确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 和一个倾斜角 α ...P . ...... .. (二)直线的斜率 1.直线的斜率的定义: 一条直线的 叫做这条直线的斜率。

斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tanα 2.斜率的范围是 .

注意:?直线的斜率与倾斜角的关系: 当直线与 x 轴不垂直时, 直线的斜率 k 与倾斜角 ? 之间满足 当直线与 x 轴垂直时,直线的斜率 k ,但此时倾斜角 ? 为 ; .

任何直线都有倾斜角且是唯一的,但不是任何直线都有斜率. ?斜率与倾斜角之间的变化规律: 当倾斜角为锐角时,倾斜角越大,斜率 ;且均为正; 当倾斜角为钝角时,倾斜角越大,斜率 不能错误的认为倾斜角越大,斜率越大. ;且均为负;

y
?

l

y o

l
?

l

y p
?

y x o

p x

p x o

p x

l

o
0o ? ? ? 90o

? ? 90o
垂直于 x 轴的直 线的倾斜角为 90°, 但其斜率 不存在。

90o ? ? ? 180o
直线的倾斜角为 钝角, k<0 ; 随着直线的倾斜角 增大,k值增大。

? ? 0o
直线平行于x轴或 与x轴重合,此时 直线的倾斜角为 0°, k=0。

直线的倾斜角为锐 角,k>0; 随着直线的倾斜角 增大,k值增大。

3.直线的斜率公式: 问题 4: 在平面直角坐标系中,已知直线上两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)且 x1 ? x2, 怎样用 P1 、P2 的坐标来表示直线斜率 k? 解:设直线 P1 P2 倾斜角为 ? ( ? ? 90 ),过点 P1 作 x 轴的平行线,过点 P2 作 y 轴的平行
?

线,两线交于点 Q,则点 Q 为(x2,y1) (1)当 ? 为锐角时, ? ? ?QP 1P 2 设 ? x= x2 ? x1 ,

? y= y2 ? y1
?y y2 ? y1 ? ?x x2 ? x1

k = tan ? ? tan ?QPP 1 2 ?
?

(2)当 ? 为钝角时, ? ? 180 ? ? (设 ?QP , 1P 2 =? )

tan ? ? ? tan(1800 ? ? ) ? ? tan ?
设 ? x= x1 ? x2 ,

? y= y2 ? y1

tan ? ?

y ?y ?y y2 ? y1 ? ?? 2 1 ?x x1 ? x2 x2 ? x1

? tan? ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

即k ?

y 2 ? y1 x2 ? x1 y ? y1 y2 ? y1 ,即 k ? 2 x2 ? x1 x2 ? x1
y

综上,无论 ? 为锐角或钝角,都有 tan? ?

y P2(x2,y2) P1(x1, y1) O y P1(x1,y1)
Q ( x1, y2) Q ( x2, y1)

P2(x2,y2) P1(x1, y1) α Q ( x2, y1) O y P1(x1,y1) x

α

x

斜率公式: 注意:

P2(x2, y2) P (x ,y ) Q ( x1, y2) α = α 2 2 2 α90°, 直线与 x 轴垂直; (1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 x O x O

(2) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α =0°,直线与 x 轴平行或重合.

(3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;k 与 P1、P2 的顺序无关, 即

y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;
(三)例题讲解及练习: 例 1、下列哪些说法是正确的( ) A、任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 B、直线的倾斜角越大,斜率也越大 C、平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或π D、直线斜率的范围是 R E、两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等 F、两直线的斜率相等,它们的倾斜角也相等

例 2: 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾 斜角是钝角还是锐角. 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k = tanα <0 时, 倾斜角α 是钝角; 而当 k = tanα >0 时, 倾斜角α 是锐角; 而当 k = tanα =0 时, 倾斜角α 是 0°. 略解: 直线 AB 的斜率 k1 ?

1 >0, 所以它的倾斜角α 是锐角; 7 1 直线 BC 的斜率 k 2 ? ? <0, 所以它的倾斜角α 是钝角; 2
直线 CA 的斜率 k3 =1>0, 所以它的倾斜角α 是锐角.

练习: p91 (四)小结:

1. 2. 3. 4.

1、倾斜角和斜率的概念: (1)两者都是刻画直线倾斜程度的两个量,一个从形方面,一个从数方面。 (2)倾斜角取值范围 2.求斜率的方法:k=tanα , (五)课后作业: p94 习题 3.1 1. 3.
o ? ?0,180 ?

k?

y2 ? y1 . ( x1 ? x2 ) x2 ? x1


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