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第六篇 数列第1讲 数列的概念与简单表示法 2


大千教育第 1 讲
【2013 年高考会这样考】

数列的概念与简单表示法

1.以数列的前几项为背景,考查“归纳—推理”思想. 2.考查已知数列的通项公式或递推关系,求数列的某项. 3.考查由数列的递推关系式求数列的通项公式,已知 Sn 与 an 的关系求 an 等. 【复习指导】 1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主. 2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证. 3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本 的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.

基础梳理 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 无穷数列 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 按其他标准 分类 摆动数列 an 的符号正负相间,如 1,- 1,1,-1,?
1

类型 有穷数列

满足条件 项数有限 项数无限 an+1>an an+1<an an+1=an 存在正数 M,使|an|≤M 其中 n∈N+

3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个式子 an=f(n)来表示,那 么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.Sn 与 an 的关系 ?S1,n=1, ?an≥an-1, 已知 Sn,则 an=? 在数列{an}中,若 an 最大,则? 若 ?Sn-Sn-1,n≥2. ?an≥an+1. ?an≤an-1, an 最小,则? ?an≤an+1.

一个联系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数, 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函 数问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. 两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列,这 有别于集合中元素的无序性. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现. 三种方法 由递推式求通项 an 的方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法; an+1 (2) a =f(n)型,采用叠乘法; n (3)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型,采用待定系数法转化为等比数列解决. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0,则下列各式不 可以作为数列{an}的通项公式的一项是( A.an=1+(-1)n+1
2

). nπ B.an=2sin 2

C.an=1-cos nπ

?2,n为奇数 D.an=? ?0,n为偶数 ).

2.在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1,则 a5 的值为( A.30 B.31 C.32 D.33 ). D.不确定 ).

3.已知 an+1-an-3=0,则数列{an}是( A.递增数列 B.递减数列 C.常数列

4.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( A.15 B.16 C.49 D.64

5.(2012· 泰州月考)数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,?中 x 的值为________.

考向一

由数列的前几项求数列的通项

【例 1】?写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2)2,4,8,16,32,?; (4)3,33,333,3 333,?.

3 1 3 1 3 (3)-1,2,-3,4,-5,6,?;

【训练 1】 已知数列{an}的前四项分别为 1,0,1,0,给出下列各式: 1-?-1?n 1+?-1?n 1-cos nπ nπ ① an = ; ② an = ; ③ an = sin2 2 ; ④ an = ; ⑤ an = 2 2 2 ?1?n为正偶数? 1+?-1?n+1 ? ;⑥an= +(n-1)(n-2).其中可以作为数列{an}的通项 2 ?0?n为正奇数? 公式的有________(填序号). 考向二 由 an 与 Sn 的关系求通项 an

【例 2】?已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n-1,则它的通项公式为 an=________. 【训练 2】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为________. 考向三 由数列的递推公式求通项

【例 3】?根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; n-1 (2)a1=1,an= n an-1(n≥2); (3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an.
3

【训练 3】 根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式,求其通项公式. (1)a1=1,an=an-1+3n-1(n≥2); 1? ? (2)a1=2,an+1=an+ln?1+n?. ? ? (3)已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为________. 考向四 数列性质的应用

?10? 【例 4】?已知数列{an}的通项 an=(n+1)?11?n(n∈N+),试问该数列{an}有没有最 ? ? 大项?若有,求最大项的项数;若没有,说明理由. 【训练 4】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n2+24n(n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时,Sn 达到最大?最大值是多少?
? ?2? ? (3)若数列?n?n+4??3?n?中的最大项是第 k 项,则 k=________. ? ?? ?

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