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导数练习(学生)


2015-2016 学年度???学校 12 月月考卷

试卷副标题
第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释)
x ?1 在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( x ?1 B. 2 x ? y ? 1 ? 0

1.过点(0,1)且与曲线 y ?

)

A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 2 ? 0
3 2

2.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围 是( ) A. ? 1 ? a ? 2 C. a ? ?3 或 a ? 6 B. ? 3 ? a ? 6 D. a ? ?1 或 a ? 2

3.设点 ? 是曲线 y ? x3 ? 3x ? b( b 为实常数)上任意一点, ? 点处切线的倾斜角为

? ,则 ? 的取值范围是(
A. ?



? 2? ? ,? ? ? 3 ?

B. ?

? ? 5? ? , ? ?2 6 ? ? ? ? ? 5? ? ? ,? ? ? 2? ? ? ? 6 ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ,? ? 3 ? 2? ? ?
( a ?1) x

C. ?0,

D. ?0,

4.若函数 y ? e A. a ? ?3

? 4x ( x ? R )有大于零的极值点,则实数 a 范围是
C. a ? ?





B. a ? ?3

1 3

D. a ? ?
2

1 3
2

3 2 x ? x2 等于() 5.如图是函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的大致图象,则 1

y -1 x1 O x2 2 x

试卷第 1 页,总 3 页

2 (A) 3

4 (B) 3

8 (C) 3

16 (D) 9

6.已知 a、b 为正实数,直线 y=x-a 与曲线 y=ln(x+b)相切,则 ( )

a2 的取值范围是 2?b

A. (0,

1 ) 2

B. (0,1) C. (0, ?? )

D. ?1, ?? ?

7.若 f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
h ?0

A. ?3

B. ?6

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? h C. ?9 D. ?12

试卷第 2 页,总 3 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 8.已知函数 f ( x) ? 2 f ?(1) ln x ? x ,则 f ( x ) 的极大值为 9 .

.

设函数f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)(a、b、c是两两不等的常数),则

a b c ? ' ? ' ? f (a) f (b) f (c)
'

10. 设二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ( a, b, c 为常数) 的导函数为 f ? ? x ? , 对任意 x ? R ,
2

不等式 f ? x ? ? f ? ? x ? 恒成立,则

b2 的最大值为__________________. a2 ? c2

11.求曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离_______. 12.在曲线 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 1上点(1, f (1)) 处的切线方程为 。

13 . 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) 满 足 f (1) ? 1 , f ?( x ) 是 f ( x) 的 导 函 数 ,
?x ? R f ?( x) ?
3

x 1 1 则不等式 f ( x) ? ? 的解集为_______. 2 2 2
.

14.方程 x -3x=k 有 3 个不等的实根, 则常数 k 的取值范围是 15. 已知函数 f(x)= f ? ?

?? ? ? cos x ? sin x ,则 ?4?

?? ? f ? ? 的值为 ?4?

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

16. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ( x2 ? 2)ln x , g ( x) ? 2 x2 ? ax, a ? R (1)证明: f ( x ) 是 (0, ??) 上的增函数; (2)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 x ? ?1, ?? ? 时, F ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 17.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2eln x .( e 为自然对数的底) (Ⅰ)求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)是否存在常数 a , b 使得 x 2 ? ax ? b ? 2e ln x 对于任意的正数 x 恒成立?若存在,求 出 a , b 的值;若不存在,说明理由.

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析: y? ?

x ?1 ? x ?1 2 1 ,所以在点(3,2)处的切线斜率为 ? ,所以所 ?? 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)

求直线斜率为 2,所以直线方程为 y ? 1 ? 2 x, 即 2 x ? y ? 1 ? 0 . 考点:本小题主要考查导数的运算,导数的几何意义,两条直线的位置关系等. 点评:导数的几何意义是在曲线上某点处的切线的斜率,这条性质经常用到,而且在求切线 时要注意是在某点处的切线还是过某点的切线,这两点是不一样的. 2.C 【解析】 试 题 分 析 : 函 数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1 有 极 大 值 和 极 小 值 , 所 以
3 2

f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? (a ? 6) ? 0 有相异实根, 4a2 ?12(a ? 6) ? 0 ,解得 a ? ?3 或 a ? 6 ,
故选 C。 考点:本题主要考查导数的应用,求函数的极值。 点评:简单题,求函数的极值遵循“求导数、求驻点、定导数符号、求极值” 。函数既有极 大值又有极小值,导数为 0,应有两根。 3.D 【解析】 试题分析:设点 ? 是曲线 y ? x3 ? 3x ? b( b 为实常数)上任意一点, y? ? 3x2 ? 3 ,即 点? 处切线的斜率为 k ? 3x ? 3 ?k ? ? 3 ? tan ? ? ? 3 , 故 ? 点处切线的倾斜角 ?
2

? 的取

值范围为 ?0,

? ? ? ? 2? ? ? ? ? ,? ? 3 ? 2? ? ?

考点:利用导数研究曲线上某点处切线的斜率 4.B (a-1)x (a-1)x 【解析】解:因为函数 y=e +4x,所以 y′=(a-1)e +4(a<1) ,所以函数的零点 为 x0=

1 4 1 4 (a-1)x ln ln , 因为函数 y=e +4x (x∈R) 有大于零的极值点, 故 = a ? 1 ?a ? 1 a ? 1 ?a ? 1

0,得到 a<-3,选 B 5.D 【解析】略 6.A 【解析】

答案第 1 页,总 6 页

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试题分析: y ? ln( x ? b) ? y ' ?

1 1 ? 1 , x ? 1 ? b ,所以 1 ? b ? a ? 0 ,即 ,令 x?b x?b

a ? 1 ? b , 由 于 a ? 0,b ? 0 , 因 此 0 ? b ? 1 ,
,函数 h(t ) ? t ? t ? b ? 2 ? ( 2, 3)

a2 (1 ? b)2 9 ? ? b?2? ?6 ,令 2?b 2?b b?2

9 1 ? 6 在 (2,3) 上是减函数,所以 h(t ) ? (0, ) ,选 A. t 2

考点:导数与切线,函数的值域. 7.D 【解析】 试题分析: ∵ lim h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? 4 lim ? 4 f ?( x0 ) ? ?12 , h ?0 h 4h

∴选 D 考点:本题考查了导数的概念 点评:熟练掌握导数的概念是解决此类问题的关键,属基础题 8. 2 ln 2 ? 2 【解析】对函数求导得 f ?( x ) ?

2 f ?(1) ? 1 ,令 x ? 1 , f ?(1) ? 2 f ?(1) ? 1 得 f ?(1) ? 1 ,所以 x

f ( x) ? 2ln x ? x , f ?( x) ?

2 ?1 , 当 x ? ( 0 , 2 ) 时 , f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 为 增 函 数 , 当 x

x ? (2, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数,所以 f ( x) 的极大值为 f (2) ? 2ln 2 ? 2 .
考点:导数的应用. 9. 0 【 解 析 】 f ?( x) ? ( x? b) ( x? c)? ( x? a) [ (x ? b ) (? x ? c )? ]? , f 得

( a ?) ? a (

,a 同 b ) ? ( 理 c可 )

f ?(b) ? (b ? a)(b ? c), f ?(c) ? (c ? a)(c ? b) ,

?

a b c ? ? (a ? b)(a ? c) (b ? c)(b ? a) (c ? a)(c ? b) a(b ? c) b( a ? c ) c (a ? b) ? ? (a ? b)(a ? c)(b ? c) (a ? c)(b ? c)(b ? a ) (c ? a )(c ? b)(a ? b) a(b ? c) ? b(a ? c) c ( a ? b) ?c c ? ? ? ? 0. (a ? b)(a ? c)(b ? c) (c ? a)(c ? b)(a ? b) (a ? c)(b ? c) (c ? a)(c ? b)

?

?

10. 2 2 ? 2 【解析】 试题分析: 由题意得 f ( x) ? 2ax ? b , 由 f( x) ?f (x) 得:ax ? (b ? 2a) x ? c ? b ? 0 在 R
' ' 2 2 2 上 恒 成 立 , 等 价 于 a > 0 且 ? ? 0 , 可 解 得 b ? 4ac ? 4a ? 4a(c ? a) , 则 :

答案第 2 页,总 6 页

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c 4( ? 1) b2 4ac ? 4a 2 , ? 2 2 ? a c 2 a2 ? c2 a ?c ( ) ?1 a c 4t 4 4 令 t ? ?1, ( t >0), y ? 2 ? ? ? 2 2 ?2. a t ? 2t ? 2 t ? 2 ? 2 2 2 ? 2 t


b2 最大值为 2 2 ? 2 . a2 ? c2

考点:1 二次函数;基本不等式. 11. 5 【解析】 试题分析:设曲线上过点 P ? x0 , y0 ? 的切线平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 ,即斜率是 2 ,则

y'

x ? x0

? 1 ?? ? 2 x ?1? '? ? ? 2x ?1 ?

x ? x0

?

2 2x ?1

x ? x0

?

2 ? 2 ,解得 x0 ? 1 ,所以 y0 ? 0 ,即 2 x0 ? 1
2?0?3 2 ? ? ?1?
2 2

点 P ?1 , 0? , 点 P 到 直 线 2 x ? y ? 3? 0的 距 离 为

? 5 ,所以曲线

上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是 5 . y ? l n? 2 x ? ?1 考点:1.导数的几何意义;2.点到直线的距离公式. 12. x ? y ? 1 ? 0 【解析】 试题分析:∵ f '( x) ? 3x2 ? 4x, k ? f '(1) ? ?1 ,过点(1,0) ,∴切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 考点:导数的几何意义. 13. (1,?? ) 【解析】

x 1 1 1 ? ,则 h?( x) ? f ? ( x) ? ,∵ ?x ? R f ?( x) ? ,∴ 2 2 2 2 1 1 ∴函数 h(x)在 R 上单调递减, 又 h(1) ? f (1) ? ? ? 1 ? 1 ? 0 , h?( x ) ? 0 对 x ? R 都成立, 2 2 x 1 x 1 ∴ f ( x) ? ? ? h( x) ? 0 ? h(1) ,∴x>1,故不等式 f ( x) ? ? 的解集为 (1,?? ) 2 2 2 2
试题分析:记函数 h( x) ? f ( x) ? 考点:本题考查了导函数的运用 点评:对于抽象函数不等式往往利用函数的单调性处理,在判断单调性时,一般利用导数法 判断 14. (? 2, 2)

答案第 3 页,总 6 页

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【解析】 设 f(x) 则 f( ? x 3 ? 3x , 'x ) ? 3 x 当 x ? ?1 时 , f '(x )? 0, f ( x ) 单 调 增 ;

2

由 f( 3 ,? , 'x ) ? 3 x

2

3? 0? 得 x ? 1, x ? ?1 .

当 ?1 ? x ? 1 时 , f '(x )? 0 , f ( x) 单 调 减 ; 当 x ? 1 时 , f ' (x )? 0 , f ( x ) 单 调 增 ; 极 大 值 f (?1) ? 2, 极 小 值 f (1)? ? 2 ;方程

x3-3x= k 有 3 个不等的实根,, 则 直 线 y ? k 与 f ( x) 的 图 象 有 三 个 交 点 ,
∴ ?2 ? k ? 2 ,故 答 案 为 . (? 2, 2 )

考点:应用导数研究函数的单调性、极值及图象. 15.1 【解析】略 16. (1)见解析; (2) a ? ?2 【解析】 试题分析:第一步证明函数 f ( x ) 是 (0, ??) 上的增函数,只需证明) f ?( x) ? 0 成立,若

f ?( x) ? 2 x ln x ?

2 2 ? x ? 0 , 我 们 只 需 x(2ln x ? 2 ? 1) ? 0 , 由 于 x ? 0 , 令 x x

g ( x) ? 2ln x ?

2 2 4 2x 2 ? 4 ? ? 1 g ( x ) ? ? ? ,因为 ,所以: h( x) 在 (0, 2 ) 上递减, x2 x x3 x3
递 增 ,

( 2 ,??)



h( x )







h( 2 ) ? ln 2 ? 2 ? 0





f ?( x) ? 2 x ln x ?

2 ? x ? x, 则h( x) ? 0 ,所以: f ( x) 是 (0,??) 上的增函数. x

( 2 ) 第 二 步 求

a 的 取 值 范 围 , 可 分 离 常 数 a ,, 由

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x 2 ? 2) ln x ? 2x 2 ? ax ? 0 得:

答案第 4 页,总 6 页

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a?

( x 2 ? 2) ln x ? 2 x 2 ( x 2 ? 2) ln x ? 2 x 2 在 x ? ?1,??? 上恒成立,只需求出 h( x) ? 的最 x x

小值即可. 试题解析: (1)若证明 f ( x) 是 (0,??) 上的增函数,只需证明 f ?( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立, 即: f ?( x) ? 2 x ln x ?

2 2 2 ? x ? 0 ? x(2 ln x ? 2 ? 1) ? 0 ? 2 ln x ? 2 ? 1 ? 0 x x x

2 4 2x 2 ? 4 2 ? 设 h( x) ? 2 ln x ? 2 ? 1, x ? (0,?? ) , h ( x) ? ? 3 ? x x x x3
所以: h( x) 在 (0, 2 ) 上递减, ( 2 ,??) 上递增, h( x) 最小值 h( 2 ) ? ln 2 ? 2 ? 0 故: f ?( x) ? 2 x ln x ?

2 ? x ? xh ( x) ? 0 ,所以: f ( x) 是 (0,??) 上的增函数. x

(2)由 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x 2 ? 2) ln x ? 2x 2 ? ax ? 0 得: a ?

( x 2 ? 2) ln x ? 2 x 2 在 x

( x 2 ? 2) ln x ? 2 x 2 ( x 2 ? 2)(ln x ? 1) ? x ? ?1,??? 上恒成立,设 G ( x) ? , 则 G ( x) ? ,所以 x x2
g ( x) 在 (1, 2 ) 递增, ( 2 , e) 递减, (e,??) 递增,所以 G ( x) 的最小值为 G(1), G(e) 中较小
的, G (e) ? G (1) ?

2 ?e?2 ? 0, e

所以: G(e) ? G(1) ,即: G ( x) 在 x ? ?1,??? 的最小值为 G(1) ? ?2 , 只需 a ? ?2 考点:1.导数与函数的单调性;2.研究一个函数的单调性与极值,3.极端原理的使用; 17.(Ⅰ)解:由 f ( x) ? x2 ? 2eln x ,得 f ?( x) ? 2 x ? 令 f ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? e ,所以 x ? e . 当 0 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, e) 内是减函数; 当 x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ( e, ??) 内是增函数. 故函数 f ( x) 在 x ? e 处取得最小值 f ( e) ? 0 . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? f ( e) ? 0 , 即 x 2 ? 2e ln x ,当且仅当 x ? e 时,等号成立. 即两曲线 y ? x 2 , y ? 2eln x 有唯一公共点 ( e,e) .
答案第 5 页,总 6 页

2e ( x ? 0) . x

2分

2分 2分

3分

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若存在 a , b ,则直线 y ? ax ? b 是曲线 y ? x 2 和 y ? 2eln x 的公切线,切点为 ( e,e) . 分 由 ( x 2 )? ? 2 x ,得直线 y ? ax ? b 的斜率为 a ? 2 e . 又直线 y ? ax ? b 过点 ( e,e) ,所以 e ? 2 e ? e ? b ,得 b ? ?e . 故存在 a ? 2 e , b ? ?e ,使得 x 2 ? ax ? b ? 2e ln x 对于任意正数 x 恒成立. 3分

3

【解析】本试题主要考查了运用导数来研究函数的最值,和解决不等式恒成立问题。首先求 导,然后判定单调性,并求解得到极值,最终得到最值。另外,对于不等式的恒成立问题, 我们常常借助于第一问题的结论来帮助我们找到突破口。

答案第 6 页,总 6 页


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