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苏教版必修2高中数学第1章《立体几何初步》word章末总结


第一章 章末总结 一、空间几何体的画法及表面积、体积计算 立体图形和平面图形的转化是立体几何主要的考点. 一方面, 由几何体能够画出其平面 图,如三视图、直观图等;另一方面,由三视图能够想象出几何体的形状,并能研究其表面 积、体积等. 例 1 一几何体的三视图如图所示,尺寸如图中所示. (1)说出该几何体的结构特征并画出直观图; (2)计算该几何体的体积与表面积. 变式训练 1 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则 这个棱柱的体积为____________. 例 2 梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观图(斜二测),若 A1D1∥O1y1,A1B1∥C1D1, A1B1=2,C1D1=3,A1D1=1,则 ABCD 的面积是________. 变式训练 2 等腰梯形 ABCD,上底 CD=1,腰 AD=CB= 2,下底 AB=3,以下底所在直 线为 x 轴,则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为______. 二、平面基本性质的应用 1.关于多点共线问题往往需证明这些点在某两个平面的交线上. 2.多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点. 3.多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上. 4.多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确定的平面内. 例 3 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,AD 的中点,G,H 分别在 BC, CD 上,且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2. 求证:(1)E、F、G、H 四点共面; (2)GE 与 HF 的交点在直线 AC 上. 变式训练 3 如图,四边形 ABB′A′,BCC′B′,CAA′C′都是梯形.求证:三直线 AA′,BB′,CC′相交于一点. 三、直线、平面的位置关系 1.空间平行关系的判定方法: (1)判定线线平行的方法. ①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法); ②利用平行公理 4; ③利用线面平行性质定理; ④利用线面垂直的性质定理(若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b); ⑤利用面面平行性质定理(若 α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a∥b). (2)判断线面平行的方法: ①线面平行的定义(无公共点); ②利用线面平行的判定定理(a?α ,b? α ,a∥b? a∥α ); ③面面平行的性质定理(α ∥β ,a? α ? a∥β ); ④面面平行的性质(α ∥β ,a?α ,a?β ,a∥α ? a∥β ). (3)面面平行的判定方法有: ①平面平行的定义(无公共点); ②判定定理(若 a∥β ,b∥β ,a、b? α ,且 a∩b=A,则 α ∥β ); ③判定定理的推论(若 a∥a′,b∥b′,a? α ,b? α 且 a∩b=A,a′? β ,b′? β , 且 a′∩b′=A′,则 α ∥β ); ④线面垂直性质定理(若 a⊥α ,a⊥β ,则 α ∥β ); ⑤平面平行的性质(传递性:α ∥β ,β ∥γ ? α ∥γ ). 平行关系的转化是: 2.空间垂直关系的判定方法: (1)判定线线垂直的方法有: ①计算所成的角为 90°(包括平面角和异面直线所成的角); ②线面垂直的性质(若 a⊥α ,b? α ,则 a⊥b); ③面面垂直的定义:若两平面垂直,则两平面相交形成的二面角的平面角为 90°. (2)判定线面垂直的方法有: ①线面垂直定义(一般不易验证任意性); ②线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b? α ,c? α ,b∩c

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