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高考数学总复习经典测试题解析版2.9 函数的应用


2.9 函数的应用
一、选择题 1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%,专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的图象大致为( ).

解析 设原有荒漠化土地面积为 b,由题意可得 y=b( 1+10.4%) . 答案 D 2.甲、乙两人沿同一方向去 B 地,途中都使用两种不同的速度 v1 , v2 (v1 ? v2 ) .甲一半路程 使用速度 v1 ,另一半路程使用速度 v 2 ,乙一半时间使用速度 v1 ,另一半时间使用速度 v 2 , 甲、乙两人从 A 地到 B 地的路程与时间的函数图象及关系,有下面图中 4 个不同的图示分 析(其中横轴 t 表示时间,纵轴 S 表示路程) ,其中正确的图示分析为( ) . A.(1) B.(3) C.(1)或(4) D. (1)或(2)

x

S C

S C

S
C B

S
C B

B A t1
(1)

B
t2 t

A

t1
(2)

t2 t

A
(3)

t1

t2 t

A
(4)

t1

t2 t

解析 根据题目描述分析图像可知 D 正确 答案 D 3.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个 月的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( ).

A.10 元

B.20 元

C.30 元

40 D. 元 3

解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 S=k1t+20,B 种方式对应的函数解析式为 S=k2t, 1 1 当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2-k1= ,t=150 时,150k2-150k1-20=150× -20 5 5 =10. 答案 A 4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品 x 万件时的 1 2 生产成本为 C(x)= x +2x+20(万元).一万件售价是 20 万元,为获取更大利润,该企业一 2 个月应生产该商品数量为( A.36 万件 C.22 万件 ) B.18 万件 D.9 万件

1 2 解析:利润 L(x)=20x-C(x)=- (x-18) +142,当 x=18 时,L(x)有最大值. 2 答案:B 5.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过 80 0 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4 000 元 的按超过 800 元部分的 14%纳税;超过 4 000 元的按全部稿酬的 11%纳税.已知某人出版一 本书,共纳税 420 元,则这个人应得稿费(扣税前)为( A.2 800 元 C.3 800 元 ). B.3 000 元 D.3 818 元

解析 设扣税前应得稿费为 x 元,则应纳税额为分段函数, 0 ? ? 由题意,得 y=? x- ? ?11%·x

x x x

, , 如果稿费为 4 000 元应纳税

为 448 元,现知某人共纳税 420 元,所以稿费应在 800~4 000 元之间,∴(x-800)×14% =420,∴x=3 800. 答案 C 6.在养分充足的情况下,细菌的数量会以指数函数的方式增加.假设细菌 A 的数量每 2 个 小时可以增加为原来的 2 倍; 细菌 B 的数量每 5 个小时可以增加为原来的 4 倍. 现在若养分 充足,且一开始两种细菌的数量相等,要使细菌 A 的数量是 B 的数量的两倍,需要的时间为 ( ) B.10 h D.30 h

A.5 h C.15 h

解析:假设一开始两种细菌数量均为 m,则依题意经过 x 小时后,细菌 A 的数量是
x x x x

f(x=m· 2 2 ,细菌 B 的数量是 g(x)=m· 4 5 ,令 m· 2 2 =2·m· 4 5 ,解得 x=10.

答案:B 7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些 边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长 x、

y 应为(

).

A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 24-y x 5 解析 由三角形相似得 = , 得 x= (24-y), 24-8 20 4

B.x=12,y=15 D.x=10,y=14

5 2 ∴S=xy=- (y-12) +180,∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 4 答案 A 二、填空题 8.某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件,根据市场预测,销售价为每件 100 元时可全部售完,定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件,若要获得最大利润,销售价应定为 每件________元. 解析:设售价提高 x 元,则依题意

y=(1 000-5x)×(20+x)=- 5x2+900x+20 000=-5(x-90)2+60 500.故当 x=90 时, ymax=60 500,此时售价为每件 190 元.
答案:190 元 9. 现有含盐 7%的食盐水为 200 g, 需将它制成工业生产上需要的含盐 5 %以上且在 6%以下(不 含 5%和 6%)的食盐水,设需要加入 4%的食盐水 x g ,则 x 的取值范围是__________. 解析 根据已知条件: 设 y= 200×7%+x4% , 令 5%<y<6%, 即(200+x)5%<200×7%+x·4% 200+x

<(200+x)6%,解得 100<x<400. 答案 (100,400) 10.一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩 余的细沙量为 y=ae (cm ),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过____min, 容器中的沙子只有开始时的八分之一.
-bt 3 3

1 -8b 1 a,∴e = , 2 2 -bt 1 -bt 1 -8b 3 -24b 容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即 y=ae = a,e = =(e ) =e , 8 8
解析 当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae =
-8b

则 t=24,所以再经过 16 min. 答案 16 11.碳 14 的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳 14 的“半衰期” 是 5730 年,即碳 14 大约每经过 5730 年就 衰变为原来的一半.科学研究表明,宇宙射线在 大气中能够产生放射性碳 14.动植物在生长过程中衰变的碳 14, 可以通过与大气的相互作用 得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳 14 含量保持不变.死亡后的动植物,停止了 与外界环境的相互作用,机体中原有的碳 14 就按其确定的规律衰变.经探测,一块鱼化石 中碳 14 的残留量约为原始含量的 46.5%. 设这群鱼是距探测时 t 年前死亡的, 则 t 满足的等式为________, 将 t 用自然对数的运算式 子可以表示为________(只写出运算式子不需要计算出结果,式子中可以出现自然对数、实 数之间的四则运算). 解析 .

答案 12.某居民小区收取冬季供暖费,根据规定,住户可以从以下两种方案中任选其一: (1)按照使用面积缴纳,每平方米 4 元; (2)按照建筑面积缴纳,每平方米 3 元. 李明家的使用面积为 60 平方米. 如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少, 那么它的建筑 面积最多不超过________平方米. 解析 按方案(1),李明家需缴 240 元,故设李明家建筑面积为 x 平方米,则 3x≤240,解得

x≤80.
答案 80 三、解答题 13.某市出租车的计价标准是:3 km 以内(含 3 km)10 元;超过 3 km 但不超过 18 km 的部分 1 元/km;超出 18 km 的部分 2 元/km. (1)如果某人乘车行驶了 20 km, 他要付多少车费?某人乘车行驶了 x km, 他要付多少车费? (2)如果某人付了 22 元的车费,他乘车行驶了多远? 解析:(1)乘车行驶了 20 km,付费分三部分,前 3 km 付费 10(元),3 km 到 18 km 付费 (18-3)×1=15(元), 18 km 到 20 km 付费(20-18)×2=4(元), 总付费 10+15+4=29(元). 设付车费 y 元,当 0<x≤3 时,车费 y=10; 当 3<x≤18 时,车费 y=10+(x-3)=x+7; 当 x>18 时,车费 y=25+2(x-18)=2x-11.

(2)付出 22 元的车费,说明此人乘车行驶的路程 大于 3 km,且小于 18 km,前 3 km 付费 10 元,余下的 12 元乘车行驶了 12 km,故此人乘车行驶了 15 km. 14. 围建一个面积为 360 m 的矩形场地, 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修), 其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已知 旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位:m),修 建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元)
2

(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 解析 (1)如图,设矩形的另一边长为 a m, 则 y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360, 360 360 由已知 xa=360,得 a= .所以 y=225x+ -360(x>0).
2

x

x

360 (2)∵x>0,∴225x+ ≥2

2

x

225×360 =10 800.
2

2

360 360 ∴y=225x+ -360≥10 440.当且仅当 225x= 时,等号成立.

2

x

x

即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10 440 元. 15.如图,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向做匀速移动,速度为 v(v>0), 雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R). E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分: ①P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为 1 ;②其 10

1 他面的淋雨量之和,其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离 d=100,面积 2

S= 时,

3 2

(1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少.

3 1 解析 (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 |v-c|+ , 20 2 1? 5 100? 3 故 y= ? |v-c|+ ?= (3|v-c|+10). 2? v v ?20 (2)由(1)知, 5 当 0<v≤c 时,y= (3c-3v+10)=

v

c+ v
-3c

-15; +15.[来源:Z。xx。k.Com]

5 当 c<v≤10 时,y= (3v-3c+10)=

v

v

? ? 故 y=? ? ?

c+ v
-3c

-15,0<v≤c, +15,c<v≤10.

v

10 ①当 0<c≤ 时,y 是关于 v 的减函数, 3 3c 故当 v=10 时,ymin=20- . 2 10 ②当 <c≤5 时, 在(0,c]上, y 是关于 v 的减函数;在(c,10]上,y 是关于 v 的增函数.故 3 50 当 v=c 时,ymin= .

c

16.某学校要建造一个面积为 10 000 平方米的运动场.如图,运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道,运动场除跑道外, 其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元,草皮每平方米造价为 30 元.

(1)设半圆的半径 OA=r(米),设建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S(r);[来源:学科网 ZXXK] (2)由于条件限制 r∈[30,40],问当 r 取何值时,运动场造价最低?最低造价为多少?(精 确到元) 10 000-π r 80 000 2 2 解析 (1)塑胶跑道面积 S=π [r -(r-8) ]+8× ×2= +8π r-64π . 2r r ∵π r <10 000,∴0<r<
2 2

100 π

.

(2)设运动场的造价为 y 元,

y=150×?

?80 000+8π r-64π ?+30×?10 000-80 000-8π r+64π ? ? ? ? r ? r ? ? ? ?80 000+8π r?-7 680π . ? ? r ?
r

=300 000+120×?

80 000 80 000 令 f(r)= +8π r,∵f′(r)=8π - , 2

r

当 r∈[30,40]时,f′(r)<0, ∴函数 y=300 000+120×?

?80 000+8π r?-7 680π 在[30,40]上为减函数. ? ? r ?

∴当 r=40 时,ymin≈636 510, 即运动场的造价最低为 636 510 元.


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