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【高优指导】2017高考数学一轮复习第十二章概率12.1随机事件的概率课件理北师大版全解_图文

第十二章

概率

12.1

随机事件的概率

-3-

考纲要求:1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概 率的意义以及频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加 法公式.

-4-

1.事件的分类

确定 事件

必然事件

在条件 S 下,一定会发生的事件叫作相对于条 件 S 的必然事件

在条件 S 下,一定不会发生的事件叫作相对于 不可能事件 条件 S 的不可能事件

随机 在条件 S 下,可能发生也可能不发生的事件叫作相对于条件 事件 S 的随机事件

-5-

2.概率与频率 (1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是 否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事 f ( A ) = 件A出现的比例 n 为事件A出现的频率. (2)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的 频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率 fn(A)来估计概率P(A).

-6-

3.事件的关系与运算

定义 包含 关系 相等 关系 并事件 (和事件) 交事件 (积事件)

符号表示

若事件 A 发生,则事件 B 一定发生, 这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 B?A(或 A?B) A 包含于事件 B) 若 B?A,且 A?B,则称事件 A 与事件 B 相等 A=B

若某事件发生当且仅当事件 A 发生 或事件 B 发生,则称此事件为事件 A A∪B(或 A+B) 与事件 B 的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生 且事件 B 发生,则称此事件为事件 A A∩B(或 AB) 与事件 B 的交事件(或积事件)

-7-

定义 互斥 事件 对立 事件 若 A∩B 为不可能事件,则称事件 A 与事件 B 互斥

符号表示 A∩B=?

若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然 A∩B=?, 事件,则称事件 A 与事件 B 互为对立 且 A∪B=Ω 事件 (Ω 为必然事件)

-8-

4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率:P(A)=1. (3)不可能事件的概率:P(A)=0. (4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). (5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必 然事件.P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).

-91 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)事件发生的频率与概率是相同的. ( × ) (2)随机事件和随机试验是一回事. ( × ) (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. ( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生. ( √ ) (5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件. ( √ )

-101 2 3 4 5

2.把红、蓝、黑、白4个球随机分给甲、乙、丙、丁4人,每人一 个球,事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是( ) A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件 D.以上都不对

关闭

由题意,事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不会同时发生,则两者是互 斥事件,但除了“甲分得红球”与“乙分得红球”还可能丙、丁分得红球,故两
B 者不是对立事件 .故选B. 解析 答案
关闭

-111 2 3 4 5

3.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事 件是( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶

关闭

事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况,由互斥事

件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥.
D 解析

关闭

答案

-121 2 3 4 5

4.(2015江西上饶模拟)某射手的一次射击中,射中10环,9环,8环的 概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率 为 .

关闭

依题意知,此射手在一次射击中不超过8环的概率为1-(0.2+0.3)=0.5.
关闭

0.5 解析 答案

-131 2 3 4 5

5.从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中,随机抽取1张, 事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得黑桃”,则概率P(A∪B)= (结 果用最简分数表示).

关闭

∵P(A)=52,P(B)=52,且 A 与 B 是互斥事件, ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=52 + 52 = 52 = 26.
7 26

1

13

1

13

14

7

关闭

解析

答案

-141 2 3 4 5

自测点评 1.频率与概率有本质的区别,不可混为一谈.频率随着试验次数的 改变而改变,概率却是一个常数.当试验次数越来越多时,频率向概 率靠近. 2.随机事件和随机试验是两个不同的概念,没有必然的联系.在一 定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件;条件每实现 一次,叫做一次试验,如果试验结果试验前无法确定,叫做随机试验. 3.对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定 是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1随机事件的关系 例1(1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现 奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上 的一面出现的点数不小于4,则( ) A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 关闭 D.B与C是对立事件
根据互斥事件与对立事件的定义作答,A∩B={出现点数1或3},事件A,B不

互斥更不对立;B∩C=?,B∪C=Ω(Ω为必然事件),故事件B,C是对立事件.
D 解析

关闭

答案

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥而不对 立的事件有 .(填序号) ①至少有一个红球,都是红球 ②至少有一个红球,都是白球 ③至少有一个红球,至少有一个白球 ④恰有一个红球,恰有两个红球

关闭

由互斥与对立的关系及定义知,①不互斥,②对立,③不互斥,④互斥不对立.
关闭


解析 答案

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:如何判断随机事件之间的关系? 解题心得:1.判断随机事件之间的关系有两种方法: (1)紧扣事件的分类,结合互斥事件,对立事件的定义进行分析判 断; (2)类比集合进行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含 哪些试验结果,从而断定所给事件的关系. 2.各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互 斥;事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集.

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练1 (1)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中 7 3 任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是 10 ,那么概率是 10 的事 件是( ) A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡

关闭

至多有一张移动卡包含“1张移动卡,1张联通卡”“2张全是联通卡”两个事

件,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故选A.
A 解析

关闭

答案

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)给出下列命题: ①对立事件一定是互斥事件; ②A,B是两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B); ③若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1; ④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则事件A,B是对立事件. 其中所有不正确命题的序号为 .
关闭

对立一定互斥,但互斥不一定对立,①正确;仅当A,B互斥时②成立;对于

③,P(A)+P(B)+P(C)有可能小于1,③不正确;对于④,可举反例进行说明:如
抛掷骰子,记“向上点数不小于4”为事件A,“点数为奇数”为事件B,则A,B满 关闭
②③④ 足 P(A)+P(B)=1,但A,B不对立.
解析 答案

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2随机事件的频率与概率 例2某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样, 关闭 样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下: 解 :(1)设 A 表示事件 “赔付金额为 3 000 元 ”,B 表示事件 “赔付金 150 120 额为赔付金额 4 000 元 ”( ,元 以频率估计概率得 P(A)2 =000 =0 .15, P(B)4 =000 =0.12. 0 1 000 3 000 )
1 000 1 000

由于投保金额为 2 800 元 ,赔付金额大于投保金额对应的情形是 500 130 100 150 120 车辆数(辆) 3 000 元和 4 000 元 ,所以其概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12= 0.27. (2)设 C 表示事件 “投保车辆中新司机获赔 4 000 元 ”,由已知 ,样 (1)若每辆车的投保金额均为 2 元 ,估计赔付金额大于投保金 本车辆中车主为新司机的有 0.1× 1800 000 =100 辆 ,而赔付金额为 4 000 额的概率; ,车主为新司机的有 0.2×120=24 辆 . 元的车辆中 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 000 元的频率为 (2) 在样本车辆中,车主是新司机的占10%,4 在赔付金额为 4 000元 24 =0.24, 的样本车辆中 ,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司 100 机获赔金额为 4 000元的概率 . 0.24. 由频率估计概率得 P(C)=
答案

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:随机事件的频率与概率有怎样的关系?如何求随机事件的 概率? 解题心得:1.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发 生的可能性的大小,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时, 频率越稳定于概率. 2.求解随机事件的概率的常用方法有两种: (1)用频率来估计概率; (2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.计算的 方法有:列举法;列表法;树状图法.

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、 乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购 买,“×”表示未购买.

商品顾客人数 100 217 200 300 85 98

甲 √ × √ √ √ ×

乙 × √ √ × × √

丙 √ × √ √ × ×

丁 √ √ × × × ×

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品 的可能性最大?
解:(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购 买了乙和丙, 200 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 1 000=0.2. (2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买 了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最 多购买了2种商品. 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估 计为 100+200=0.3.
1 000

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)与 (1)同理,可得: 200 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 =0.2, 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
1 000 100

1 000 100+200+300

=0.6,

所以 ,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.

1 000

=0.1.

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3互斥事件、对立事件的概率

例 3(1)掷一枚骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现” ,
事件 B 表示“小于 5 的点数出现” ,若 表示 B 的对立事件,则一次试 验中,事件 A∪ 发生的概率为( )
1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 5 D. 6

关闭

掷一枚骰子的试验有 6 种可能结果. 2 1 4 2 2 1 依题意 P(A)= = ,P(B)= = ,则 P( )=1-P(B)=1- = , 因为 表示 “出现 5 点或 6 点 ”的事件 , 所以事件 A 与 互斥 , 1 1 2 C 所以 P(A∪ )=P(A)+P( )= + = .
3 3 3 6 3 6 3 3 3

关闭

解析

答案

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)(2015江苏南通模拟)已知射手甲射击一次,命中9环以上(含9环) 的概率为0.5,命中8环的概率为0.2,命中7环的概率为0.1,则甲射击 一次,命中6环以下(含6环)的概率为 .

关闭

设“命中9环以上(含9环)”为事件A,“命中8环”为事件B,“命中7环”为事件 C,“命中6环以下(含6环)”为事件D,则D与(A∪B∪C)对立,又 P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.1. 因为A,B,C三个事件互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8,所以
0. P (2 D)=1-0.8=0.2. 解析 答案
关闭

-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:求互斥事件的概率一般有哪些方法? 解题心得:求互斥事件的概率一般有两种方法: (1)公式法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率 的和,运用互斥事件的求和公式计算; (2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( ) 求出,特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法较简便.

-28考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 黄种人群中各种常见血型的人所占比例大约如下: 关闭 ,O型血的人可以给任一种血型 (1)已知同种血型的人可以互相输血 对任一人,其血型为A,B,AB,O型血分别记为事件 A',B',C',D',它们是互 的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人 斥的. 不能互相输血.小明是B型血,若他因病需要输血,问
由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35. 因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“任找一人,其血可以输给小明”为 事件B'∪D',根据概率加法公式,得

血型

A B AB O 28 29 8

该血型的人所占比例(%)

35

P(B' ∪ D')=P(B'), +P (D')=0.29+0.35=0.64. (1) 任找一人 其血可以输给小明的概率是多少 ?

任找一人 ,其血不能输给小明的概率是多少 ?,其血不能输给小 (2)(2) 因为 A,AB型血不能输给 B型血的人,所以“任找一人
明”为事件A'∪C',根据概率加法公式,得

P(A'∪C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.
答案

-29考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次 数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 2.利用集合方法判断互斥事件与对立事件: (1)若由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事 件互斥; (2)事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A所含的结果组成的集合的补集. 3.若某一事件包含的基本事件较多,而它的对立事件包含的基本 事件较少,则可用“正难则反”思想求解.

-30考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是 互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件.善于将事件A转 化为互斥事件的和或对立事件求解. 2.注意概率加法公式的使用条件,概率的一般加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=?,即A,B互斥 时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.

-31-

一、易错警示——忽视概率加法公式的应用条件致误 典例抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点,2点,3点,4 1 点,5点,6点的概率都是 ,记事件A为“出现奇数点”,事件B为“向上的 6 点数不超过3”,求P(A∪B). 解:记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为 A1,A2,A3,A4,由题意知这四个事件彼此互斥.



1 1 1 1 P(A∪B)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A 4)= + + + 6 6 6 6

=

2 . 3

-32-

-33-

二、思想方法——“正难则反思想”在概率中的应用 “正难则反思想”是一种常见的数学思想,如反证法、补集的思想 都是正难则反思想的体现.在解决问题时,如果从问题的正面入手 比较复杂或不易解决,尝试采用“正难则反思想” 往往会起到事半功 倍的效果,大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时,经常应用 “正难则反”的思想,即若事件A与事件B互为对立事件,在求P(A)或 P(B)时,利用公式P(A)=1-P(B)先求容易的一个,再求另一个.

-34-

典例某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员 工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.

一次购物量 顾客数 (单位 :人) 结算时间(单位 :分钟 /人 )

1至 4件 x 1

5至 8件 30 1.5

9至 12 件 25 2

13 至 16 件 y 2.5

17 件 及以上 10 3

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率 视为概率)

-35-

解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45, 解得x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的样 本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估 计值为

(2)记 A 为事件 “一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分 钟 ”,A1 表示事件 “该顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟 ”,A2 表示 事件 “该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟 ”,将频率视为概率得 P(A1)=
20 100

1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 =1.9(分钟 ). 100

= ,P(A2)=

1 5

则 P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1- ? 结算时间不超过

1 7 = .故一位顾客一次购物的 10 10 7 2 分钟的概率约为 . 10

10 100

=

1 . 10

1 5


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