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《等差数列的前n项和》课件(新人教A版必修5)


2.3《等差数列的前n项和》

复习回顾
1.等差数列的概念

an-an-1=d (n∈N*且 n≥2)
2.等差数列的通项公式

an=a1+(n-1)d

3.等差数列的常用性质

若数列{an}是公差为d的等差数列
1、d>0, {an}是递增数列;

d<0, {an}是递减数列;
d=0, {an}是常数列 2、an=am+(n-m)d

a a n ? m 3、 d= n?m

4、若m+n=p+q则am+an=ap+aq

5、m+n=2k,则am+an=2ak

高 斯 的 故 事

高斯上小学时,有一次数学老 师给同学们 出了一道 题:计算从1到100的自然数之和。那个 老师认为,这些孩子算这道题目需要很长时间, 所以他一写完题目,就坐到一边看书去了。谁知, 他刚坐下,马上就有一个学生举手说:“老师, 我做完了。”老师大吃一惊,原来是班上年纪最 小的高斯。老师走到他身边,只见他在笔记本上 写着5050,老师看了,不由得暗自称赞。为了鼓 励他,老师买了一本数学书送给他。
思考:现在如果要你算,你能否用简便的方法来算出 它的值呢?

问题1
1.计算:1 ? 2 ? 3 ? ?? 99 ? 100
100 +99+98+ …+2 +1

100 ? (1 ? 100 ) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 ? ? 5050 2
2.计算: 1 ? 2 ? 3 ? ?? (n ?1) ? n n+(n-1) + (n-2) +…+ 2 +1

n ? (n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2

数列前n 项和的意义
? 数列{ an }: a1, a2 , a3 ,…, an , … 我们把 a1+a2 + a3 + … + an 叫做数列 { an }的前n项和,记作Sn

公式的推导
设等差数列?an ?的前n项和为Sn , 即:

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an
Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1
如果把两式左右两端相加,将会有什么结果?

探究发现

倒序相加法

如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ?
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ?? [a1 ? (n ?1)d ]

Sn ? an ? (an ? d ) ? ? ? [an ? (n ?1)d ]
2Sn ? n(a1 ? an )
an ? a1 ? (n ?1)d

n(a1 ? an ) 公式1 S n ? 2
n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

等差数列前n项和公式
公式1 公式2

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

分析公式的结构特征
d d 设 A ? , B ? a1 ? 上式可写成Sn=An2+Bn 2 2 若A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次式且 常数项为0。
n(n ? 1) d 2 d S n ? na1 ? d ? n ? (a1 ? )n 2 2 2

公式应用 之
求 a1 及 a20 .

知三求二

a1,d , n, an , Sn

例 在等差数列 ?an ?中,已知: d ? 4 , n ? 20 , sn ? 460

解: 利用

n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

a=
1

n(a1 ? an ) 再根据 公式1 S n ? 2

a20=

练 习一
根据条件,求相应等差数列{an}的Sn:

①a1=5, an=95, n=10;
②a1=100, d=-2, n=50;
答案:①500; ②2550;

练 习 二 (2004.全国文)等差数列 ?an ?的前 n 项 和记为 sn .已知 a10 ? 30 , a20 ? 50 .

(1)求通项 an ;
(2)令 sn ? 242 ,求 n .

例2. 己知一个等差数列{an}前10项的和 是310,前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗?
a1 ? an 解:由题意知 S10 ? ? 10 ? 310 2 得 a1 ? a10 ? 62;
a1 ? a20 S 20 ? ? 20 ? 1220 2



所以

a1 ? a20 ? 122; ②-①,得 10 d ? 60
代入①得:




所以有

( n n ?1 ) 2 S n ? a1n ? d ? 3n ? n 2

a1 ? 4

d ?6

例3. 已知数列 ?an ? 的前 项和 2 为 sn ? n ? 1 2 n , 求这个数列的通项公 式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项 与公差分别是什么?

n

例4.己知等差数列 5,
2 4 4 , 3 ,… 7 7

的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的项数n的值.
2 4 解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , …的公差 7 7
5 n ? 为 7,所以sn= 2

[2×5+(n-1)( ?
7 5n ? 5n 2 14

5 7

)]
15 2 1125 n- 2 ) + 56

=

=

?

5 ( 14

课堂小结
等差数列前n项和公式

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

公式的推证用的是倒序相加法 在两个求和公式中,各有五个元素,只要知 道其中三个元素,结合通项公式就可求出另 两个元素.

作业布置
P46. 习题2.3 A组4、5、6,B组1、3


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