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2014-2015学年江苏省淮安市涟水一中高二(下)期末数学复习试卷(文科)(解析版)


2014-2015 学年江苏省淮安市涟水一中高二 (下) 期末数学复习试卷 (文 科)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. ) 2 1.命题“?x∈R,x +2x+5≠0”的否定是 . 2.若 α= 个. 3.函数 f(x)= 的定义域为 . ,则 tanα=1”.在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中,真命题个数是

4.函数 y=a

x﹣2

+1(a>0,a≠1)不论 a 为何值时,其图象恒过的顶点为
a b



5.已知 a,b∈R,若 2 =5 =100,则

=



6.函数 y=2x+log2x﹣6 的零点所在的区间是( ,

) ,则正整数 k 的值为



7.设





,则 a、b、c 的大小关系是



8.设

,则 a,b,c 大小关系是



9.过原点作曲线 y=e 的切线,切点坐标为
3 2

x

. . . .

10.函数 f(x)=x +x +2mx+1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围为 11. 已知偶函数 ( f x) 在区间[0, +∞) 上单调递增, 则满足 ( f x) <( f 1) 的 x 的取值范围是 12. 设f (x) 是偶函数, g (x) 是奇函数, 且f (x) +g (x) =2 , 则函数 f (x) 的解析式是
x

13.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=x ﹣4x(x>0) ,则不等式 f(x)>x 的解集 是 . 14.函数 的单调减区间
第 1 页(共 13 页)

2



二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤. ) 15.计算: (1) (2) . ;

16.已知函数 f(x)是奇函数,其定义域为(﹣1,1) ,且在[0,1)上是增函数,若 f(a﹣2)+f(3 ﹣2a)<0,试求 a 的取值范围. 17.已知函数 f(x)=ax +3x ﹣12x+1(a∈R) ,且当△x→0 时, (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)在区间[﹣3,3]的最大值与最小值. 18.已知函数 (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[3,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. 19.已知函数 f(x)=e +2x ﹣3x (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若存在 x∈[1,3],使得关于 x 的不等式 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围. 20.已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; 2 (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g(x)的最 小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x∈(0,e]时,证明: .
2 x 2 3 2

→0.

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2014-2015 学年江苏省淮安市涟水一中高二(下)期末数学复 习试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. ) 1.命题“?x∈R,x +2x+5≠0”的否定是 “?x∈R,x +2x+5=0” . 考点:特称命题. 专题:计算题. 分析:直接写出全称命题的否定特称命题即可. 解答: 解:因为全称命题 否定是特称命题,所以命题“?x∈R,x +2x+5≠0”的否定是“?x∈R, 2 x +2x+5=0”. 2 故答案为:“?x∈R,x +2x+5=0”. 点评:本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查.
2 2 2

2.若 α=

,则 tanα=1”.在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中,真命题个数是 1 个.

考点:四种命题;命题的真假判断与应用. 专题:规律型. 分析:先明确写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题,对其三种命题的真假做出判断即可得出答 案. 解答: 解:命题:“若 α= ,则 tanα=1”,

逆命题为:若 tanα=1,则 α=45°为假命题; 否命题为:若 α= ,则 tanα≠1 为假命题, 为真命题,

逆否命题为:若 tanα≠1,则 α≠

故真命题有一个, 故答案为:1. 点评:本题考查了命题的真假关系,属于基础题,关键是根据原命题能写出它的逆命题、否命题、 逆否命题. 3.函数 f(x)= 的定义域为 [1,2) .

考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用.

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分析:要使函数有意义,则需 2﹣x>0,且 定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则需 2﹣x>0,且 即有 x<2,且 ≥0, ≥log ,

≥0,运用对数函数的单调性,即可得到

解得,1≤x<2. 则定义域为[1,2) , 故答案为:[1,2) . 点评:本题考查函数的定义域的求法,注意偶次根式被开方式非负,对数的真数大于 0,属于基础 题. 4.函数 y=a
x﹣2

+1(a>0,a≠1)不论 a 为何值时,其图象恒过的顶点为 (2,2) .

考点:指数函数的图像变换. 专题:函数的性质及应用. 分析:令 x﹣2=0,则 x=2,即为定点横坐标,代入函数式可得定点纵坐标. 解答: 解:令 x=2,得 y=a +1=2, x﹣2 所以函数 y=1+a 的图象恒过定点坐标是(2,2) . 故答案为: (2,2) . 点评:本题考查指数函数的图象过定点问题,属基础题,本题也可利用指数函数的图象变换求出. 5.已知 a,b∈R,若 2 =5 =100,则
a b 0

=



考点:基本不等式;对数的运算性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:先两边求出对数,求出 a,b 的值,再根据对数的运算性质计算即可. a b 解答: 解:a,b∈R,若 2 =5 =100, ∴a=log2100= b=log5100= ∴ = = , ,

= (lg2+lg5)= ,

故答案为: . 点评:本题考查了对数的运算性质,属于基础题.

6.函数 y=2x+log2x﹣6 的零点所在的区间是( ,

) ,则正整数 k 的值为 4 .

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考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数零点的判定定理,即可求得结论 解答: 解:∵函数 f(x)=log2x+2x﹣6, ∴f′(x)=2+ >0,

∴函数 f(x)在(0,+∞)单调递增, ∵f( )= ﹣4<0,f(3)=log23>0,

∴f( )?f(3)<0, 且函数 f(x)=log2x+2x﹣6 在区间( ,3)上是连续的, 故函数 f(x)=log2x+2x﹣6 的零点所在的区间为( ,3) ,



,解得:3<k<5,

∴k=4, 故答案为:4. 点评:本题主要考查函数零点区间的判断,判断的主要方法是利用根的存在性定理,判断函数在给 定区间端点处的符号是否相反.

7.设





,则 a、b、c 的大小关系是 a>c>b



考点:指数函数的单调性与特殊点. 专题:计算题. 分析:先比较 b 和 c, 可考查函数 y= 的单调性进行判定, 然后判定 a 和 c, 可考查函数 y=

在(0,+∞)上的单调性进行判定,从而得到结论. 解答: 解: b<c , ,考察函数 y= ,该函数在(0,+∞)上单调递增, ∴a>c , ,考察函数 y= ,该函数在 R 上单调递减, ∴

∴a>c>b 故答案为:a>c>b 点评:本题主要考查了利用指数函数与幂函数的单调性比较大小,属于基础题.
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8.设

,则 a,b,c 大小关系是 a>b>c .

考点:对数值大小的比较. 专题:综合题. 分析:题目给出了三个对数式的值,比较它们的大小可先化成同底数的对数,然后根据对数函数的 增减性进行比较. 解答: 解:a= =log32,b= = ,c=

因为 2> 即

,所以 .

故答案为 a>b>c. 点评:本题考查了对数值的大小比较,解答的此题关键是化为同底的对数,属基础题. 9.过原点作曲线 y=e 的切线,切点坐标为 (1,e) . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;指数函数的图像与性质. 专题:计算题. 分析:欲求切点坐标,只须求出切线的方程即可,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再结合 导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而得到切线的方程,最后利用切线过原点即可解决. 解答: 解:设切点坐标为 得切线方程为 因为切线过原点,所以 , , ,由 ,
x

解得 x0=1,所以切点坐标为(1,e) . 故答案为: (1,e) . 点评:本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知 识,考查运算求解能力.属于基础题.
3 2

10.函数 f(x)=x +x +2mx+1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围为 [ ,+∞) .

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的概念及应用. 2 分析:先求 f′(x)=3x +2x+2m,而 f(x)在 R 上是单调函数,所以二次函数 f′(x)≥0 在 R 上恒成 立,所以△≤0,这样即可求出实数 m 的范围.
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解答: 解:f′(x)=3x +2x+2m; ∵f(x)在 R 上是单调函数; ∴f′(x)≥0 对于 x∈R 恒成立; ∴△=4﹣24m≤0; ∴m≥ , ∴实数 m 的取值范围为[ 故答案为:[ ,+∞) . 点评:考查函数单调性和函数导数符号的关系,熟悉二次函数的图象,一元二次不等式的解集为 R 时判别式△的取值情况. 11.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(x)<f(1)的 x 的取值范围是 (﹣ 1,1) . 考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可. 解答: 解:∵偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, ∴f(x)<f(1)等价为 f(|x|)<f(1) , 即|x|<1, 解得﹣1<x<1, 故答案为: (﹣1,1) 点评:本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键. 12.设 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=2 ,则函数 f(x)的解析式是 f(x) = .
x

2

,+∞) ,

考点:函数解析式的求解及常用方法. 专题:函数的性质及应用. 分析:将﹣x 代入已知等式,利用函数 f(x) 、g(x)的奇偶性,得到关于 f(x)与 g(x)的又一个 方程,将二者看做未知数解方程组,解得 f(x)的解析式. 解答: 解:∵函数 f(x) 、g(x)分别是偶函数、奇函数, ∴f(﹣x)=f(x) ,g(﹣x)=﹣g(x) , x 令 x 取﹣x,代入 f(x)+g(x)=2 ①, ﹣x f(﹣x)+g(﹣x)=2 , ﹣x 即 f(x)﹣g(x)=2 ②, 由①②解得,f(x)= 故答案为:f(x)= . ,

点评:本题考查函数奇偶性的性质的应用,以及列方程组法求函数的解析式.
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13.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=x ﹣4x(x>0) ,则不等式 f(x)>x 的解集是 (﹣5,0)∪(5,+∞) . 考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:设 x<0 则﹣x>0,根据题意和奇函数的性质求出 x<0 时函数的解析式,再用分段函数的形 式表示出来,对 x 进行分类讨论列出不等式组,求出不等式的解集. 解答: 解:设 x<0,则﹣x>0, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)=x ﹣4x(x>0) , 2 2 ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[(﹣x) ﹣4(﹣x)]=﹣x ﹣4x, 则 f(x)= ,
2

2

∵f(x)>x,∴





解得﹣5<x<0 或 x>5, ∴不等式的解集是(﹣5,0)∪(5,+∞) , 故答案为: (﹣5,0)∪(5,+∞) . 点评:本题考查函数的奇偶性的应用:求函数的解析式,一元二次不等式的解法,以及分类讨论思 想,属于中档题. 的单调减区间 [﹣1,2] .

14.函数

考点:函数的单调性及单调区间. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可. 2 2 解答: 解:由﹣x ﹣2x+8≥0 得 x +2x﹣8≤0, 解得﹣4≤x≤2, 即函数的定义域为[﹣4,2], 设 t=﹣x ﹣2x+8, 2 则 t=﹣(x+1) +9,对称轴为 t=﹣1, 则 y= 为增函数, 2 则函数 f(x)的减区间即求出函数 t=﹣(x+1) +9 的减区间, 即﹣1≤x≤2, 故函数 f(x)的单调递减区间为[﹣1,2], 故答案为:[﹣1,2] 点评:本题主要考查函数单调递减区间的求解,根据复合函数的单调性之间关系结合一元二次函数 的性质是解决本题的关键. 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤. )
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2

15.计算: (1) (2) . ;

考点:有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)首先把代分数化为假分数,然后再化简求值即可得答案. (2)化根式为分数指数幂,然后再根据对数的运算性质化简即可得答案. 解答: 解: (1)

= = =100;

(2)

=

=

= .

点评:本题考查了有理数指数幂的化简求值,考查了对数的运算性质,是基础题. 16.已知函数 f(x)是奇函数,其定义域为(﹣1,1) ,且在[0,1)上是增函数,若 f(a﹣2)+f(3 ﹣2a)<0,试求 a 的取值范围. 考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:计算题. 分析:根据题意,由奇函数在对称区间单调性相同,可得 f(x)在(﹣1,0]也是增函数,综合可得 f(x)在(﹣1,1)是增函数,进而可以将 f(a﹣2)+f(3﹣2a)<0 变形为 f(a﹣2)<f(2a﹣3) ,

综合考虑函数的定义域与单调性,可得

,解可得答案.

解答: 解:函数 f(x)是奇函数,且在[0,1)上是增函数, 则 f(x)在(﹣1,0]也是增函数,即 f(x)在(﹣1,1)是增函数, f(a﹣2)+f(3﹣2a)<0?f(a﹣2)<﹣f(3﹣2a)?f(a﹣2)<f(2a﹣3) , 又由 f(x)在(﹣1,1)是增函数,

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则有

,解可得 1<a<2,

故 a 的取值范围是 1<a<2. 点评:本题综合考查函数的奇偶性与单调性,注意奇函数在对称区间单调性相同,并且不能遗忘函 数的定义域. 17.已知函数 f(x)=ax +3x ﹣12x+1(a∈R) ,且当△x→0 时, (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)在区间[﹣3,3]的最大值与最小值. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)由题意可得 f′(1)=0,求出导数,解方程可得 a=2,由导数大于 0,可得增区间,由 导数小于 0,可得减区间; (2)由(1)可得 x=﹣2 取得极大值,x=1 处取得极小值,求得 f(﹣3)和 f(3) ,即可得到最值. 解答: 解: (1)当△x→0 时,
2 3 2

→0.

→0,即 f′(1)=0,

又 f′(x)=3ax +6x﹣12,则 3a+6﹣12=0,故 a=2; 2 所以 f′(x)=6x +6x﹣12, 令 f′(x)>0,解得 x<﹣2 或 x>1, 所以函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣2)和(1,+∞) ; 令 f′(x)<0,解得﹣2<x<1,所以函数 f(x)的单调减区间为(﹣2,1) ; 3 2 (2)f(x)=2x +3x ﹣12x+1, 由(1)列表如下: x ﹣3 (﹣3,﹣2) ﹣2 (﹣2,1) 1 (1,3) 3 f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) 10 递增 21 递减 ﹣6 递增 46 从上表可知,函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极大值,在 x=1 时取得极小值, 又因为 f(﹣3)=10>﹣6,f(3)=46>21, 所以函数 f(x)在区间[﹣3,3]上的最大值是 46,最小值是﹣6. 点评:本题考查导数与极限的关系,导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查运算能力,属于 中档题. 18.已知函数 (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[3,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. 考点:函数奇偶性的判断;函数单调性的性质. 专题:计算题. 分析: (1)先判断函数的定义域关于原点对称,再利用奇偶函数的定义,注意对参数进行讨论;
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(2)函数 f(x)在 x∈[3,+∞)上为增函数,可转化为导函数大于等于 0 在 x∈[3,+∞)上恒成立, 从而可解. 解答: 解: (1)函数的定义域关于原点对称, ①当 a=0 时,函数为偶函数; ②当 a≠0 时,函数非奇非偶. (2) ∵函数 f(x)在 x∈[3,+∞)上为增函数 ∴ ∴ ∴ 点评:本题以函数为载体,考查函数的性质,考查恒成立问题,关键是掌握定义,利用导数解决恒 成立问题. 19.已知函数 f(x)=e +2x ﹣3x (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若存在 x∈[1,3],使得关于 x 的不等式 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用. 分析: (1)求函数的导数,利用导数的几何意义进行求解. (2)由 f(x)≥ax,得 ax≤e +2x ﹣3x,分离参数可得
x 2 x 2

在 x∈[3,+∞)上恒成立

,构造函数求出函数的 g(x)

的最值,即可求得 a 的取值范围. x 2 x 解答: 解: (1)由函数 f(x)=e +2x ﹣3x,可得 f(1)=e﹣1,f′(x)=e +4x﹣3, ∴f′(1)=e+1, 故曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣(e﹣1)=(e+1) (x﹣1) , 即 y=(e+1)x﹣2. x 2 (2)由 f(x)≥ax,得 ax≤e +2x ﹣3x, ∵存在 x∈[1,3],使得关于 x 的不等式 f(x)≥ax 成立, ∴等价为当 x∈[1,3],∴ 成立,









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∵1≤x≤3, ∴g'(x)>0,∴g(x)在[1,3]上单调递增, ∴gmin(x)=g(1)=e﹣1,gmax(x)=g(3)= ∴a 的取值范围是 a≤ . ,

点评:本题主要考查函数的切线的求解,以及存在性问题,求函数的导数,利用导数的几何意义以 及函数最值与导数之间的关系是解决本题的关键. 20.已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; 2 (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g(x)的最 小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x∈(0,e]时,证明: .
2

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题;综合题;压轴题. 分析: (1)先对函数 f(x)进行求导,根据函数 f(x)在[1,2]上是减函数可得到其导函数在[1, 2]上小于等于 0 应该恒成立,再结合二次函数的性质可求得 a 的范围. (2)先假设存在,然后对函数 g(x)进行求导,再对 a 的值分情况讨论函数 g(x)在(0,e]上的 2 单调性和最小值取得,可知当 a=e 能够保证当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3. (3)令 F(x)=e x﹣lnx 结合(2)中知 F(x)的最小值为 3,再令
2

并求导,再由

导函数在 0<x≤e 大于等于 0 可判断出函数 ?(x)在(0,e]上单调递增,从而可求得最大值也为 3, 即有 成立,即 成立.

解答: 解: (1)

在[1,2]上恒成立,

令 h(x)=2x +ax﹣1,有 得

2





(2)假设存在实数 a,使 g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值 3, ①当 a≤0 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, ②当 ∴ 时,g(x)在 上单调递减,在 ,a=e ,满足条件.
2

= (舍去) ,

上单调递增

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③当

时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,
2

(舍去) ,

综上,存在实数 a=e ,使得当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3. 2 (3)令 F(x)=e x﹣lnx,由(2)知,F(x)min=3. 令 , ,

当 0<x≤e 时,?'(x)≥0,φ(x)在(0,e]上单调递增 ∴ ∴ ,即 >(x+1)lnx.

点评:本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,当导函数大于 0 时 原函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.

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