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吉林省松原市扶余县第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)

扶余市第一中学 2014—2015 学年度下学期期末考试题

高二数学文科
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,只交答题纸和 答题卡,试题自己保留。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷 (选择题 60 分)
注意事项 1.答题前,考生在答题纸和答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色签字笔将自己的班级、姓 名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合要求. 1.已知 I 为实数集, M ? {x | x 2 ? 2x ? 0}, N ? {y | y ? A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 2} ) .

x ? 1} ,则 M ? N = (
C. {x | 1 ? x ? 2}

) . D.

?

2.设复数 z ? 2 ? i ,则复数 z 的模 | z | =( 1? i A.

10 2

B. 1 ) .

C. 10

D. 2

3.十进制数 2015 等值于八进制数为( A. 3737 B. 737 4. 已知 x, y 的取值如下表所示:

C. 03737 4 6

D. 7373

x y

2 5

3 4

? ? bx ? 如果 y 与 x 呈线性相关,且线性回归方程为 y
A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

1 10

7 ,则 b ? ( 2 1 D. 10

) .

1 b ) . 2 A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 6.已知等差数列 {an } 的公差为 2 , a1 , a3 , a4 成等比数列, 则 a2 =( A. ? 4 B. ? 6 C. ? 8
5.若 log2 a ? 0 , ( ) ? 1 ,则( 7.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 7 的概率等于( A. ) . D.

) . D.–10

1 18

B.

1 9

C.

1 6

1 2

开始 输入a0 , a1 , a2 , a3 , x0

k ? 3, S ? a3
k ?0
是 否 输出S 结束

k ? k ?1 S ? ak ? S ? x0

8.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的 S 为(

) .

A. a1 ? x0 (a3 ? x0 (a0 ? a2 x0 )) 的值 B. a3 ? x0 (a2 ? x0 (a1 ? a0 x0 )) 的值 C. a0 ? x0 (a1 ? x0 (a2 ? a3 x0 )) 的值 D. a2 ? x0 (a0 ? x0 (a3 ? a1 x0 )) 的值

9.根据下面频率分布直方图估计样本数据的中位数,众数 分别为( )

A. 12.5 , 12.5 B. 13 , 12.5 C. 12.5 , 13 D. 14, 12.5 2、 3、 4 这四个数中一次随机取两个,则取出的这两个数之和为偶数的概率为 10 . 从 1、 ( ) . A.

1 3

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 2

11.从 6 双不同颜色的手 套中任取 4 只,其中恰好有两只颜色相同的取法有( ) . A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 12.向等腰直角三角形 ABC (其中 AC ? BC ) 内任意投一点 M ,则 AM 小于 AC 的概率为 ( ). A.

2 2

B. 1 ?

2 2

C.

? 8

D.

?
4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题纸的横线上,填在 试卷上的答案无效.

13.用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1——160 编号。 按编号顺序平均分成 20 组(1—8 号,9—16 号,??153—160 号) ,若第 16 组应抽出的 号码为 126,则第一组中用抽签方法确定的号码是 . 14.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 . 15 . 将 容 量 为 n 的 样 本 中 的 数 据 分 成 6 组 , 若 第 一 组 至 第 六 组 数 据 的 频 率 之 比 为

2 : 3 : 4 : 6 : 4 : 1,且前三组数据的频数之和 等于 27,则 n 的值为



16. 由数字 0,1 ,2,3 组成一个没有重复数字,且不被 10 整除的四位数,则两个偶数不相 邻的概率是 .

三、解答题:共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

如图,是某市 1000 户居民月平均用电量的频率分 布直方图, (1)如果当地政府希望 85 % 以上的居民每月的用电量不超出标准,这个标准为多少时比较适 当? (2)有关部门为了制定居民月用电量标准,采用分层抽样的方法从 1000 户居民中抽取 50 户 参加听证会,求用电量在区间 [60,80) 和 [80,100) 各有多少人.

18. (本小题满分 12 分) 某学校为了增强学生对数学史的了解,提高学生学习数学的积极性,举行了一次数学史知识 竞赛,其中一道题是连线题,要求将 4 名数学家与他们所著的 4 本著作一对一连线,规定: 每连对一条得 5 分,连错一条得 ? 2 分,某参赛者随机用 4 条线把数学家与著作一对一全部连 起来 (1) 求该参赛者恰好连对一条的概率; (2) 求该参赛者得分不低于 6 分的概率.

19. (本小题满分 12 分) 某学校研究性 学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体 1000 名学生

中随机抽取了 100 名学生的体检表,学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较 多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在 1~50 名和 951~1000 名的学 生进行了调查,得到如下数据: (1)根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系? (2)根据表中数据,在调查的 100 名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人, 进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这 9 人中任取 2 人 ,求成绩名次在 1~50 名恰有 1 名 的学生的概率. 附: P( K 2 ? 3.841 ) ? 0.05

1~50 近视 不近视 41 9

951~1000 32 18

20. (本小题满分 12 分) 从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取 6 次,分别为 甲:7.7,7.8,8.6,8.7,9.3,9.5 乙:7 .6,8.2,8. 5,8.6,9.2,9.5 (1)根据以上的茎叶图,对甲、乙运动员的成绩作比较,写出两个 统计结论; (2)从甲、乙运动员 6 次成绩中各随机抽取 1 次成绩,求甲、乙运 动员的成绩至少有一个高于 8.5 分的概率. (3)经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计,发现甲运动员成绩 均匀分布在之间,乙运动员成绩均匀分布在之间,现甲、乙比赛一 次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.5 分的概率. 21. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?
? ?

? x ? 2 cos? (?为参数) , M 是 C1 上的动点, y ? 2 ? 2 sin ? ?

P 点满足 OP =2 OM , P 点的轨迹为曲线 C 2 .
(1)求 C 2 的方程;

(2)在 O 以为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点为

A ,与 C 2 的异于极点的交点为 B ,求 | AB | .

请考生从 22,23 题中任选一题做答,并用 2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号涂黑,注 意所做题目必须与所涂题号一致,如果多做,则按所做的第一题评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, CB , CD 为圆 O 的切线, B , D 为切点. ⑴ 求证: AD // OC ; ⑵ 若圆 O 的半径为 2,求 AD ? OC 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
3 3 2 2 ⑴ 已知 a , b 都是正数,且 a ? b ,求证: a ? b ? a b ? ab ;

⑵ 已知 a , b, c 都是正数,求证:

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ≥ abc . a?b?c

1~12 13.6
17.

BAABD 14.
1 3

BCCBA

高二数学文科参考答案 DD 1 15.60 16. 3
100 以 上 的 居 民 所 占 的 比 例 为

解 : (1) 月 用 电 量 在

(0.003 ? 0.002 ? 0.002) ? 20 ? 0.14 ? 14% , 86% 的居民月用电量在 100 以下,因此,居民
月用电量标准定为 100 比较适当.(或者 99.5 也行) 18.解:记 4 名数学家为 a,b,c,d 对应著作分别为 A,B,C,D 根据题意不同的连线方法有 24 种情况, (1)记事件 A 为“该参赛者恰好连对一条” 事件 A 包含的基本事件个数为 8 种,则 P ( A) ? (2)记事件 B 为“该参赛者得分不低于 6 分” 得分不低于 6 分即全部连对或恰 好连对两条共有 7 种,则 P ( B ) ? 19.解:(1)

8 1 ? 24 3 7 24

因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系 (2)依题意 9 人中年级名次在 1~50 名和 951~1000 名分别有 3 人和 6 人; 从 9 人中取 2 人包含的基本事件总数为 36 种, 记事件 A:成绩名次在 1~50 名恰有 1 名的学生, 事件 A 包含的所有基本事件总数为 18 种,则 P ( A) ? 20.解(1)由样本数据可得:

18 1 ? 36 2

x甲 = 8.6 , x乙 = 8.6 ,可知甲乙运动员平均水平相同。

?

?

s甲 ? 0.46, s乙 ? 0.39,可知乙运动员的方差小,则乙运动员发挥较甲运动员发挥稳定。
(2)设甲乙运动员成绩至少有一个高于 8.5 分为事件 A 则 P ( A) ? 1 ?

2

2

2 3 5 ? ? 6 6 6

(3)设甲运动员的成绩为 x, x ?[7,10] ,乙运动员的成绩为 y, y ? [7.5,9.5] 且 | x ? y |? 0.5 设 甲 乙 运 动 员 成 绩 之 差 小 于 0 .5 分 为 事 件 B , 则 事 件 B 包 含 的 区 域 为 阴 影 区 域 , 则

P( B) ? 1 ?

2?2 1 ? 3? 2 3

? x y? 21. 解:(1)设 P(x,y),则由条件知 M 2,2 , ? ?
x =2cosα , ?2 上,所以? y ?2=2+2sinα .

由于 M 点在 C1

?x=4cosα , ? 从而 C2 的参数方程为? ? ?y=4+4sinα .

(α 为参数)

(2)曲线 C1 的极坐标方程为ρ =4sinθ ,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =8sinθ . π π 射线θ = 与 C1 的交点 A 的极径为ρ 1=4sin , 3 3 π π 射线θ = 与 C2 的交点 B 的极径为ρ 2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ 2-ρ 1|=2 3. 22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到圆的切线的性质,三角形相 似等内容. 本小题 重点考查考生对平面几何推理能力. ? BD ? OC , 又 AB 【试题解析】 解: (1) 连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线, 5分 为直径,? AD ? DB , AD // OC . (2)由 AD // OC ,??DAB ? ?COB ,? Rt ?BAD ∽ Rt ?COB ,

AD AB ? , AD ? OC ? AB ? OB ? 8 . OB OC

10 分

23.【命题意图】本小题主要考查不等式证明的相关知识,具体涉及到利用比较法等证明方法. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力. 【试题解析】解: (1)证明: (a3 ? b3 ) ? (a2b ? ab2 ) ? (a ? b)(a ? b)2 . 因为 a , b 都是正数,所以 a ? b ? 0 . 又因为 a ? b ,所以 (a ? b)2 ? 0 . 于是 (a ? b)(a ? b)2 ? 0 ,即 (a3 ? b3 ) ? (a2b ? ab2 ) ? 0 所以 a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ; (2)证明:因为 b2 ? c2 ? 2bc, a2 ? 0 ,所以 a2 (b2 ? c2 ) ? 2a 2bc . ① 同理 b2 (a2 ? c2 ) ? 2ab2c . ② 5分

c2 (a2 ? b2 ) ? 2abc2 . ③ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ①②③相加得 2(a b ? b c ? c a ) ? 2a bc ? 2ab c ? 2abc 2 2 2 2 2 2 从而 a b ? b c ? c a ? abc(a ? b ? c) .
a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc . 由 a , b, c 都是正数,得 a ? b ? c ? 0 ,因此 a?b?c


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