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2015年北京市海淀区高三一模数学(理)试题Word版带解析


海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)2015.4
一、选择题 (1)设集合 A ? {x ? R | x ? 1} , B ? {x ? R | x2≤4} ,则 A ? B ? ( (A) [?2, ??) 【难度】1 【考点】集合的运算 【答案】A 【解析】 (B) (1, ??) (C) (1, 2] ) (D) (??, ??)

B ? {x ? R | x2≤4} ? {x ? R | ?2≤x≤2} , A ? {x ? R | x ? 1}
所以, A ? B ? x ? R x ? ?2 故选 A (2)抛物线 x 2 =4 y 上的点到其焦点的最短距离为( (A)4 【难度】1 【考点】抛物线 【答案】C 【解析】 抛物线 x =4 y 的焦点为 (0,1) ,准线方程为: y ? ?1
2

?

?
) (D)

(B)2

(C)1

1 2

又因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离, 所以,抛物线 x =4 y 上的点到其焦点的最短距离为坐标原点到准线的距离 故选 C (3)已知向量 a 与向量 b 的夹角为 60 ? , | a |?| b |? 1 ,则 a ? b ? ( (A) 3 【难度】1 【考点】平面向量的线性运算 【答案】D (B) 3 (C) 2 ? 3 ) (D) 1
2

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【解析】

? ?2 ? ? ? 2 ?2 ? ? a ? b ? (a ? b)2 ? a ? b ? 2a ? b

?2 ?2 ? ? ? ? ? a ? b ? 2 a ? b ? cos ? a, b ? ? 1
故选 D (4)“ sin ? ? 0 ”是“角 ? 是第一象限的角”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【难度】1 【考点】充分条件与必要条件 【答案】B 【解析】 先考察充分性: 当 sin ? ? 0 时,取 ? ? 所以,充分性不成立; 再考查必要性: 当“角 ? 是第一象限的角”时,由正弦函数的定义知, sin ? ? 0 所以,必要性成立。 故选 B ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2? ,则不满足“角 ? 是第一象限的角” 3

(5)圆 ?

? ? x ? ?1 ? 2 cos ?, ? ? y ? 1 ? 2 sin ?

( ? 为参数)被直线 y ? 0 截得的劣弧长为(



(A)

2π 2

(B) π

(C) 2 2π

(D) 4 π

【难度】2 【考点】A 【答案】参数和普通方程互化 【解析】 由?

? ? x ? ?1 ? 2 cos ?, ? ? y ? 1 ? 2 sin ?

得, ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

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圆心 C (?1,1) ,半径为 2 ,设圆与 y ? 0 交于 A、B 两点, 令 y ? 0 得: x ? ?2 或 x ? 0 ,即 A(?2, 0) , B(0, 0) 显然, ?ABC 为等腰直角三角形,其中 ?A ? 90
?

故所求劣弧长为圆周长的 故选 A

1 1 2? ,即 2? r ? 4 4 2

? x ? y ? 0, ? (6)若 x, y 满足 ? x ? 1, 则下列不等式恒成立的是( ? x ? y ? 0, ?
(A) y ? 1 (C) x ? 2 y ? 2 ? 0 (B) x ? 2



(D) 2 x ? y ? 1 ? 0

【难度】2 【考点】线性规划 【答案】D 【解析】 作出可行域如图: 对于选项 A:

由题意得,题干表示的平面区域必须全 部在选项表示的平面区域内部, 对于选项 B:

故选项 A 不正确;

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故选项 B 不正确; 对于选项 C:

故选项 C 不正确; 对于选项 D:

所以选项 D 符合题意 故选 D

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(7)某三棱锥的正视图如图所示,则这个三棱锥的俯视图不可能 是( ...



正视图

(A) 【难度】3

(B)

(C)

(D)

【考点】空间几何体的三视图与直观图 【答案】C 【解析】 由正视图可知该三棱锥的顶点一定是在右侧, 而选项 C 的俯视图表示的三棱锥的顶点在左侧, 故选 C (8)某地区在六年内第 x 年的生产总值 y (单位:亿元)与 x 之间的关系如图所示,则下列 四个时段中,生产总值的年平均增长率 最高的是( ) ......
y

O

1

2

3

4

5

6

x

(A)第一年到第三年

(B)第二年到第四年

(C)第三年到第五年 (D)第四年到第六年 【难度】3
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【考点】函数图象 【答案】A 【解析】 年增长率是指当年比去年多出的产量与去年产量的比值, 比如第一年产量 100,第二年产量 103,则年增长率为

103 ? 100 3 ? 100 100

所以,由图可知,第二年与第三年的年增长率的和最大, 所以,第一年到第三年的年平均增长率最大。 故选 A

二、填空题 (9)已知 【难度】1 【考点】复数综合运算 【答案】2 【解析】

ai ? ?1 ? i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a = 1? i

.

ai ai(1 ? i) ?a ? ai a a ? ? ? ? ? i ? ?1 ? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2
所以, a ? 2 故答案为 2 (10)执行如图所示的程序框图,输出的 i 值为______.

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开始

i = 1, S = 0

S = S + lg i i=i+1 否

S ?1
是 输出 i

结束

【难度】2 【考点】算法与程序框图 【答案】4 【解析】 程序执行过程如下: 开始, i ? 1 , S ? 0 ,不满足条件 S ? 1 ,进入循环;

i ? 2 , S ? 0 ? lg 2 ? lg10 ? 1 ,不满足条件 S ? 1 ,进入循环;
i ? 3 , S ? lg 2 ? lg 3 ? lg 6 ? lg10 ? 1 ,不满足条件 S ? 1 ,进入循环; i ? 4 , S ? lg 6 ? lg 4 ? lg 24 ? lg10 ? 1 ,满足条件 S ? 1 ,跳出循环;
输出, i ? 4 ,结束。 故答案为 4 (11)已知 m, 4, n 是等差数列,那么 ( 2)m ? ( 2)n =______; mn 的最大值为______. 【难度】2 【考点】等差数列 【答案】16,16 【解析】 由题意得: m ? n ? 8 , ( 2) ? ( 2) ?
m n

? 2?

m? n

?

? 2?

8

? 24 ? 16

若要 m ? n 取得最大值,不妨设 m ? 0 , n ? 0 ,
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m ? n≤(

m?n 2 ) ? 16 ,当且仅当 m ? n ? 4 时,等号成立 2 π ,则 ? B 的大小为 4

故答案为 16,16 (12)在 ?ABC 中,若 a ? 【难度】2 【考点】正弦定理 【答案】 【解析】 由正弦定理得:

2, c ? 3, ?A ?

.

π 5π 或 12 12

a c 2 3 ? ? ,即 ? sin C sin A sin C sin 4

解得: sin C ? 所以, C ?

3 ,因为 a ? c ,所以 A ? C , 2

2? ? 5? (A+C)= 或 ,所以, ?B =? ? 3 3 12 12 π 5π 故答案为 或 12 12

?



(13)社区主任要为小红等 4 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,小红必须与 2 位老人 都相邻,且两位老人不排在两端,则不同的排法种数是 【难度】2 【考点】排列与排列的运用 【答案】24 【解析】
2 4 先把两位老人和小红看成一个整体,与其他 4 名志愿者全排列,有 A2 种结果; ? A4 2 3 再去掉两位老人在两端的情况,有 2 A2 种结果: ? A3

. (用数字作答)

所以,总的结果数为: A2 ? A4 ? 2 A2 ? A3 =24
2 4 2 3

故答案为 24 ( 14 )设 f ( x ) ? ? 是 【难度】3
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3 ? ? x , x ? a, 若存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? f ( x)? b有两个零点,则 a 的取值范围 2 x , x ? a . ? ?

.

【考点】零点与方程 【答案】 (??,0) ? (1, ??) 【解析】 函数 y ? x2 和 y ? x3 的图像如图:

函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点,即方程 f ( x) ? b ? 0 有两个不等实根, 即方程 f ( x) ? b 有两个不等实根,即 y1 ? f ( x) 与 y2 ? b 有两交点。 当 a ? 0 或 a ? 1 时,符合题意,如图所示:

故答案为 (??,0) ? (1, ??)

三、解答题 (15)已知函数 f ( x) ? sin ( x ?
2

π ). 4
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(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及其图象的对称轴方程; (Ⅱ)求 f ( 【难度】3 【考点】三角函数综合 【答案】见解析 【解析】

π ? x ) 的单调递减区间. 3

? 1 ? cos 2( x ? ) 1 ? sin 2 x 4 ? 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? . 2 2 2π ? π. 所以 T ? 2 π kπ π ? ( k ? Z) . 令 2 x ? kπ ? ( k ? Z) ,得: x ? 2 2 4 kπ π ? ( k ? Z) . 所以 f ( x ) 的最小正周期为 π ,对称轴的方程为 x ? 2 4 ? sin 2( ? x) ? 1 1 2π 1 ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? . (Ⅱ) f ( ? x) ? 2 3 2 3 2 π 2π π ? 2kπ ? (k ? Z) , 令 2kπ ? ? 2 x ? 2 3 2 π 7π ? x ? kπ ? (k ? Z) . 得: kπ ? 12 12 π π 7π ](k ? Z) . 所以 f ( ? x ) 的单调递减区间为 [kπ ? , kπ ? 3 12 12
(16)某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取 100 个,并按[ 0, 10], (10,20], (20,30], (30,40], (40,50]分组,得到频率分布直方图如下:

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立. (Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的 a 的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别
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2 2 2 2 为 s1 , s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小;(只需写出结论)

(Ⅱ)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱的概 率; (Ⅲ)设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为 概率,求 X 的数学期望. 【难度】3 【考点】概率综合 【答案】见解析 【解析】
2 2 解:(Ⅰ) a ? 0.015 ; s1 . ? s2

(Ⅱ)设事件 A :在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于 20 箱; 事件 B :在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于 20 箱; 事件 C :在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱. 则 P( A) ? 0.20 ? 0.10 ? 0.3 , P( B) ? 0.10 ? 0.20 ? 0.3 . 所以 P(C) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) ? 0.42 . (Ⅲ)由题意可知, X 的可能取值为 0,1,2,3.
0 P( X ? 0) ? C3 ? 0.30 ? 0.73 ? 0.343 , 1 P( X ? 1) ? C3 ? 0.31 ? 0.72 ? 0.441 , 2 P( X ? 2) ? C3 ? 0.32 ? 0.71 ? 0.189 , 3 P( X ? 3) ? C3 ? 0.33 ? 0.70 ? 0.027 .

所以 X 的分布列为

X
P

0 0.343

1 0.441

2 0.189

3 0.027

所以 X 的数学期望 EX ? 0 ? 0.343 ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 . 另解:由题意可知 X ~ B(3,0.3) . 所以 X 的数学期望 EX ? 3 ? 0.3 ? 0.9 . (17)如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AD ? BC , AD ? DC , BC ? 2 AD ? 2 DC ,四边形 ABEF 是

ABCD ,M 为 AF1 正方形. 将正方形 ABEF 沿 AB 折起到四边形 ABE1F 使平面 ABE1F 1 的位置, 1 ? 平面
的中点,如图 2.
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(Ⅰ)求证: BE1 ? DC ; (Ⅱ)求 BM 与平面 CE1M 所成角的正弦值; (Ⅲ)判断直线 DM 与 CE1 的位置关系,并说明理由.
C B F1 E1

D

A

E C D A

M B

图1 【难度】3 【考点】立体几何综合 【答案】见解析 【解析】

F

图2

证明: (Ⅰ)证明:因为 四边形 ABE1 F 1 为正方形, 所以 BE1 ? AB . 因为 平面 ABCD ? 平面 ABE 1F 1, 平面 ABCD ? 平面 ABE1 F1 ? AB , BE1 ? 平面 ABE1F 1, 所以 BE1 ? 平面 ABCD . 因为 DC ? 平面 ABCD , 所以 BE1 ? DC . (Ⅱ)解:如图,以点 B 为坐标原点,分别以 BC, BE1 所在的直线为 x , z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz .

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z E1 F1

C x D A

M B

y

设 AD ? 1 ,则 B(0, 0, 0), C (2, 0, 0), E1 (0, 0, 2), M (1,1,

2 ). 2

所以 BM ? (1,1,

???? ? ????? ? 2 2 ). ) , CE1 ? (?2, 0, 2) , E1 M ? (1,1, ? 2 2 ? 设平面 CE1 M 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) .
???? ?

? ???? ? ??2 x ? 2 z ? 0, ? n ? CE ? ? 1 ? 0, 由 ? ? ????? 得? ? 2 z ? 0. ? ?n ? E1 M ? 0, ? x ? y ? ? 2 ? 令 x ? 1 ,得 z ? 2, y ? 0 ,所以 n ? (1, 0, 2) .
设 BM 与平面 CE1 M 所成角为 ? ,

???? ? ? ???? ? ? BM ? n 1 ? 0 ? 1 2 30 则 sin ? ? cos ? BM , n ? ? ???? . ? ? ? ? 15 5 BM n ? 3 2
所以 BM 与平面 CE1 M 所成角的正弦值为

2 30 . 15

(Ⅲ)解:直线 DM 与直线 CE1 平行. 理由如下: 由题意得, D(2,1, 0), DM ? (?1, 0, 所以 CE1 ? 2DM . 所以 CE1 / / DM .
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???? ?

? 2 ???? ), CE1 ? (?2, 0, 2) . 2

???? ?

???? ?

???? ? ???? ?

因为 DM , CE1 不重合, 所以 DM / / CE1 . 另解:直线 DM 与直线 CE1 平行. 理由如下:
E1 F1 Q M P D A B

C

取 BC 的中点 P , CE1 的中点 Q ,连接 AP , PQ , QM . 所以 PQ / / BE1 且 PQ ?

1 BE1 . 2

因为 M 为 AF1 的中点,四边形 ABE1 F 1 是正方形, 所以 AM / / BE1 且 AM ?

1 BE1 . 2

所以 PQ / / AM 且 PQ ? AM . 所以 APQM 为平行四边形. 所以 MQ / / AP 且 MQ ? AP . 因为 四边形 ABCD 为梯形, BC ? 2 AD , 所以 AD / / PC 且 AD ? PC . 所以 四边形 APCD 为平行四边形. 所以 CD / / AP 且 CD ? AP . 所以 CD / / MQ 且 CD ? MQ . 所以 CDMQ 是平行四边形. 所以 DM / / CQ ,即 DM / / CE1 . (18)已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 (a ? 0) . x
第 14 页 共 19 页

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] (其中 b ? c ) ,求 a 的取值范围,并说明 [b, c] ? (0,1) . 【难度】4 【考点】导数的综合运用 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ) f '( x ) ?

a 1 ax ? 1 ? ? 2 ( x ? 0) . x x2 x

(ⅰ)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,则函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ??) . (ⅱ)当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

1 . a

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表

x
f '( x)

1 (0, ) a

1 a
0
极小值

1 ( , ??) a

?


?


f ( x)

所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ) ,单调递增区间是 ( , ??) (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 内是减函数, 所以,函数 f ( x ) 至多存在一个零点,不符合题意 当 a ? 0 时,因为 f ( x ) 在 (0, ) 内是减函数,在 ( , ??) 内是增函数, 所以 要使 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] ,必须 f ( ) ? 0 ,即 a ln 所以 a ? e .

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 ?a?0. a

1 1 ) ? a ln( 2 ) ? a 2 ? ?2a ln a ? a 2 ? a ? (a ? 2 ln a) . 2 a a 2 x?2 ( x ? e) . 令 g ( x) ? x ? 2ln x( x ? e) ,则 g '( x) ? 1 ? ? x x
当 a ? e 时, f ( 当 x ? e 时, g '( x) ? 0 ,所以, g ( x) 在 [e, ??) 上是增函数. 所以 当 a ? e 时, g (a) ? a ? 2ln a ? g (e) ? e ? 2 ? 0 .

第 15 页 共 19 页

1 ) ? 0. a2 1 1 1 因为 2 ? ? 1 , f ( ) ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 , a a a 1 1 所以 f ( x ) 在 ( 2 , ) 内存在一个零点, a a 1 不妨记为 b ,在 ( ,1) 内存在一个零点,不妨记为 c . a 1 1 因为 f ( x ) 在 (0, ) 内是减函数,在 ( , ??) 内是增函数, a a
所以 f ( 所以 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] . 综上所述, a 的取值范围是 (e, +?) . 因为 b ? (

1 1 1 , ) , c ? ( ,1) , 2 a a a

所以 [b, c] ? (0,1) .

(19)已知椭圆 M :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0, ?1) ,且离心率 e ? . 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)是否存在菱形 ABCD ,同时满足下列三个条件: ①点 A 在直线 y ? 2 上; ②点 B , C , D 在椭圆 M 上; ③直线 BD 的斜率等于 1 . 如果存在,求出 A 点坐标;如果不存在,说明理由. 【难度】4 【考点】圆锥曲线综合 【答案】见解析 【解析】

?b ? 1, ? 6 ?c , 解: (Ⅰ)由题意得: ? ? 3 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?
解得: ?

? a 2 ? 3, x2 ? M ? y 2 ? 1. 所以 椭圆 的方程为 2 3 ? ?b ? 1.

(Ⅱ)不存在满足题意的菱形 ABCD ,理由如下:
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假设存在满足题意的菱形 ABCD . 设直线 BD 的方程为 y ? x ? m , B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , 线段 BD 的中点 Q( x0 , y0 ) ,点 A(t , 2) .

? x 2 ? 3 y 2 ? 3, 由? 得 4 y 2 ? 2my ? m2 ? 3 ? 0 ?y ? x ? m
2 由 ? ? ? 2m ? ? 16 m ? 3 ? 0 ,解得 ?2 ? m ? 2 . 2

?

?

m , 2 y ? y2 m ? . 所以 y0 ? 1 2 4
因为 y1 ? y2 ? 因为 四边形 ABCD 为菱形, 所以 Q 是 AC 的中点. 所以 C 点的纵坐标 yC ? 2 y0 ? 2 ? 因为 点 C 在椭圆 M 上, 所以 yC ? ?1 .这与 yC ? ?1 矛盾 所以 不存在满足题意的菱形 ABCD . (20)有限数列 An : a1 , a2 , ???, an .(n ? 3) 同时满足下列两个条件: ① 对于任意的 i , j ( 1 ? i ? j ? n ) , ai ? a j ; ② 对于任意的 i, j , k ( 1 ? i ? j ? k ? n ) , ai a j , a j ak , ai ak 三个数中至少有一个数是数列 An 中的项. (Ⅰ)若 n ? 4 ,且 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? a , a4 ? 6 ,求 a 的值; (Ⅱ)证明: 2,3,5 不可能是数列 An 中的项; (Ⅲ)求 n 的最大值. 【难度】5 【考点】数列综合应用 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)由①,得 2 ? a ? 6 . 由②,当 i ? 2 , j ? 3 , k ? 4 时.
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m ? 2 ? ?1 2

2 a , 6 a , 12 中至少有一个是数列 1 , 2 , a , 6 中的项,
但 6a ? 6 , 12 ? 6 ,故 2a ? 6 , 解得 a ? 3 .经检验,当 a ? 3 时,符合题意. (Ⅱ)假设 2,3,5 是数列 An 中的项, 由②可知:6,10,15 中至少有一个是数列 An 中的项, 则有限数列 An 的最后一项 an ? 5 ,且 n ? 4 . 由①, an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 1. 对于数 an?2 , an?1 , an ,由②可知: an?2 an?1 ? an ; 对于数 an?3 , an?1 , an ,由②可知: an?3an?1 ? an . 所以 an?2 ? an?3 ,这与①矛盾. 所以 2,3,5 不可能是数列 An 中的项 (Ⅲ) n 的最大值为 9 ,证明如下: (1)令 A9 : ?4, ?2, ?1, ? , ? ,0, ,1, 2 ,则 A9 符合①、②. (2)设 An : a1 , a2 , ???, an (n ? 3) 符合①、②,则: (ⅰ) An 中至多有三项,其绝对值大于 1. 假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 1, 不妨设 ai , a j , ak , al 是 An 中绝对值最大的四项,其中 1 ?| ai |?| a j |?| ak |?| al | . 则对 ai , ak , al 有 | ai al | ?| al | , | ak al | ?| al | , 故 ai al , ak al 均不是数列 An 中的项,即 ai ak 是数列 An 中的项. 同理: a j ak 也是数列 An 中的项. 但 | ai ak | ? | ak | , | a j ak | ? | ak | . 所以 ai ak ? a j ak ? al . 所以 ai ? a j ,这与①矛盾. (ⅱ) An 中至多有三项,其绝对值大于 0 且小于 1.
第 18 页 共 19 页

1 2

1 4

1 2

假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 0 且小于 1,类似(ⅰ)得出矛盾. (ⅲ) An 中至多有两项绝对值等于 1. (ⅳ) An 中至多有一项等于 0. 综合(ⅰ) , (ⅱ) , (ⅲ) , (ⅳ)可知 An 中至多有 9 项. 由(1) , (2)可得, n 的最大值为 9.

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