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高中数学新课程创新教学设计案例50篇(05)充分条件与必要条件


5 充分条件与必要条件

教材分析
充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容. 学习数学需要全面地理解概念, 正确地进行表 述、 判断和推理, 这就离不开对充分条件与必要条件的掌握和运用, 而且它们也是认识问题、 研究问题的工具.这节内容在“四种命题”的基础上,通过若干实例,总结出了充分条件、必 要条件和充要条件的概念,给出了判断充分条件、必要条件的方法和步骤.教学的重点与难 点是关于充要条件的判断.

教学目标
1. 结合实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2. 理解充要条件,掌握判断充要条件的方法和步骤. 3. 通过充要条件的学习,培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力,逐步提高学生分析 问题、解决问题的能力.

任务分析
这节内容是学生在学习了“四种命题”、会判断一个命题的真假的基础上,主要根据“p q” 给出了充分条件、必要条件及充要条件.虽然从实例引入,但是学生对充分条件、必要条件 的理解, 特别是对必要条件的理解有一定困难. 对于本节内容的学习, 首先要分清谁是条件, 谁是结论,其次要进行两次推理或判断. (1)若“条件 (2)若“条件 结论”,则条件是结论的充分条件,或称结论是条件的必要条件. 结论”,则条件是结论的不充分条件,或称结论是条件的不必要条件.

教学设计
一、问题情境 [提出问题] 1. 写出命题“若 x>0, x2>0”的逆命题、 则 否命题和逆否命题, 并分别判断原命题、 逆命题、 否命题、逆否命题的真假. 原命题:若 x>0,则 x2>0.真命题. 逆命题:若 x2>0,则 x>0.假命题.

否命题:若 x≤0,则 x2≤0.假命题. 逆否命题:若 x2≤0,则 x≤0.真命题. 2. “若 p 则 q”形式的命题,其中有的命题为真,有的命题为假. “若 p 则 q”为真,即如果 p 成立,那么 q 一定成立,记作 p q或q p. q.

“若 p 则 q”为假,即如果 p 成立,那么 q 不一定成立,即由 p 推不出 q,记作 p [进一步的问题] “若 x>0,则 x2>0”,为真,可记作“p (1)x>0 是 x2>0 的什么条件? (2)x2>0 是 x>0 的什么条件? 二、建立模型 1. 学生分析讨论,教师点拔 (1)x>0 x2>0,x>0 是 x2>0 的什么条件? q”.

在这个问题中,“x>0”是“条件”,“x2>0”是“结论”;已知 x>0 x2>0 表示若“条件”成立, 则“结论”一定成立,说明“条件”蕴涵“结论”,说明“条件”是“结论”的充分条件. (2)x2>0 x>0,x2>0 是 x>0 的什么条件?

在这个问题中,“x2>0”是“条件”,“x>0”是“结论”;已知 x>0 x2>0 表示若“结论”成立, 则“条件”一定成立, 说明“结论”蕴涵“条件”, 即若“条件”成立, 则“结论”不一定成立, 说明“结 论”是“条件”的必要条件. 2. 师生共同参与,给出充分条件、必要条件的定义 如果已知 p 3. 充要条件 问题:记 p:三角形的三条边相等,q:三角形的三个角相等.问:p 是 q 的什么条件? 解:(1)p (2)q q,即 p 是 q 的充分条件. q,那么,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.

p,即 p 是 q 的必要条件.

综合(1)(2),我们就说 p 是 q 的充要条件.

如果 p q,且 q p,记作 p q,这时,p 既是 q 的充分条件,又是 q 的必要条件,那么 就说 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件. 4. 提出问题,组织学生讨论 如何判断充要条件? (1)分清谁是条件 p,谁是结论 q. (2)进行两次推理或判断,即判断 p (3)根据(2)写出结论. 三、解释应用 [例 题] 1. 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件,q 是 p 的什么条件. (1)p:x>0;q:x2>0. (p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件) (2)p:x=y;q:x2=y2. (p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件) (3)p:两三角形面积相等;q:两三角形全等. (p 是 q 的必要不充分条件,q 是 p 的充分不必要条件) (4)p:两直线平行;q:内错角相等. (p 是 q 的充要条件,q 是 p 的充要条件) (5)p:x=y;q:x2+y2=1. (p 是 q 的既不充分又不必要条件,q 是 p 的既不充分又不必要条件) 2. 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件. (1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x=3. (2)p:四边形对角线相等;q:四边形是矩形. (3)p:a≠0;q:a·b≠0. q 是否成立,q p 是否成立.

(4)p:a+5 是无理数;q:a 是无理数. (5)p:x≤5;q:x≤3. [练 习] 1. 下列各组命题中的 p 是 q 的什么条件? (1)p:x2+y2=0,q:x· y=0. (2)p:m>0;q:x2+x-m=0 有实数根. (3)p:a>b;q:a2>b2.

(4)p:x2=3x+4;q:x= (5)p:x>-1;q:x>1. (6)p:a,b 都是偶数;q:a+b 是偶数. 2. (1)如果原命题若 p 则 q 为真而逆命题为假,那么 p 是 q 的条件. (2)如果原命题若 p 则 q 为假而逆命题为真,那么 p 是 q 的条件. (3)如果原命题若 p 则 q 与其逆命题都为真,那么 p 是 q 的条件. (4)如果原命题若 p 则 q 与其逆命题都为假,那么 p 是 q 的条件. 四、拓展延伸 1. 已知 p,q 都是 r 的必要条件,S 是 r 的充分条件,q 是 S 的充分条件,那么, (1)S 是 q 的什么条件? (2)r 是 q 的什么条件? (3)p 是 q 的什么条件? 2. “关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根”的充要条件是什么? 3. “3x2-10x+k=0 有两个同号且不相等实根”的充要条件是什么?

点 评

这篇案例注重新、旧知识的内在联系,以旧引新,过渡自然.首先,复习已学过的知识“四 种命题”和判断命题的真假,并以此巧妙地引出了推断符号 p q,p q.其次,在此基础 上,通过实例,创设问题情境,引出课题 p 是 q 的什么条件.最后,明确充要条件,并给出 判断充要条件的方法和步骤.环环相扣,层层深入,重点突出,抓住了关键.例题与练习由 浅入深, 符合学生的认知规律. 拓展延伸富有新意, 有利于培养学生的探索能力和创新意识, 有利于培养学生的思维能力和思维品质,整个设计圆满地完成了教学任务.


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