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江门2013年普通高中高二调研数学


秘密★启用前

试卷类型:A

江门市 2013 年普通高中高二调研测试



学(理科)

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,测试用时 120 分钟。不能使用计算器. 注意事项: 1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2. 做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效. 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ? 方差公式 s ?
2

1 S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] . n

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.

⒈若复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则实数 m ? A. 1 B. ? 1 C. ? 1 D. 0 ⒉已知 a ? (3 , ? 1 , 2) , b ? (?2 , 4 , x) ,且 a ? b ,则 x ? A. 5 B. 4 B. ? 2 C. 3 C. 1 或 ? 2 D. 2 ⒊ ?an ? 是等比数列,首项 a1 ? 1 ,前 3 项和 S 3 ? 3 ,则公比 q ? A. 1 D. 3
频率/组距 0.07 0.06 0.04 0.02 0.01

⒋某地为了解参加培训教师的年龄结构,随机 调查了 100 名教师的年龄,得到如图 1 所示的 频率分布直方图,则年龄在 [30 , 40) 的频率为 A.0.06 B.0.07 C.0.13 D.0.65 ⒌在 ?ABC 中, 已知向量 AB ? (cos180 , cos720 ) ,

0

AC ? (2 cos63 , 2 cos27 ) ,则 ?BAC ?
0 0

20 25 30 35 40 45 年龄(岁) 图1

A. 450

B. 1350

C. 810

D. 990

⒍空间中有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 共 6 个点,其中任何 4 个点都不在同一平面 上,则以其中 4 个点为顶点的三棱锥共有 A. 30 个 B. 24 个 C. 20 个 D. 15 个

高二数学(理科)试题

第 1 页 共 8 页

⒎ M 、 N 是正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱 A1 B1 、 A1 D1 的中点,如图 2 是用过 M 、
N 、 A 和 D 、 N 、 C1 的平面截去两个角后所得几何体,该几何体的主视图是

N
M
D

C1 B1
C
图2

A.

B.

C.

D.

A

B

⒏已知 f (x) 、 g (x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0 , f ( x) g / ( x) ? f / ( x) g ( x) , f (1) f (?1) 5 f (n) ? ? , , 对于有穷数列 ( n ? 1, f ( x) ? a x g ( x)( a ? 0 且 a ? 1 ) 且 g (1) g (?1) 2 g (n) 15 2 ,?, 10 ) ,任取正整数 k ( 1 ? k ? 10 ) ,它的前 k 项和大于 的概率是 16 3 1 3 2 A. B. C. D. 10 2 5 5 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
(一)必做题(9~13 题)

⒐已知命题 p : ?x0 ? R , x0 ? 1 ? 0 ,则命题 p 的否定为 ? p :
2



⒑ (2 x 3 ?

1 10 ) 的展开式中,常数项是 2x3



开始

S ? 1, i ? 1
i?4
是 否 输出 S 结束

⒒执行如图 3 所示的程序框图,输出的 S 的值 为 .
?x ? y ? 1 ? 0 ? ⒓若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 , ?y ? 0 ?

S ? S ? (i ? 1)
i ? i ?1

则 z ? x ? 2 y 的最大值为 . 图3 x x ( x ? 0) ,观察: f 1 ( x) ? f ( x) ? ⒔设函数 f ( x) ? , x?2 x?2 x f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? , 3x ? 4 x f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? , 7x ? 8 x f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ? , 15 x ? 16 ?? 由以上事实归纳推理可得:当 n ? N ? 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ?
高二数学(理科)试题 第 2 页 共 8 页



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到点 (5 , 0) 的距离为 6 ,则 P 到点 (?5 , 0) 的距离 16 9 为 . ⒖一物体沿直线以 v ? t 2 ? 3 ( t 的单位: s , v 的单位: m / s )的速度运动,则该

⒕若双曲线

物体在 1 ~ 4 s 间行进的路程是



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分)
?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 对应的三条边长分别是 a 、 b 、 c ,且满足

c sin A ? 3a cosC .
⑴求角 C 的大小; ⑵若 b ? 2 , c ? 7 ,求 a . ⒘(本小题满分 14 分) 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,得到如下列联表: 文艺节目 新闻节目 总计 20 至 40 岁 40 16 56 大于 40 岁 20 24 44 总计 60 40 100 ⑴用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众 应抽取几名? ⑵是否有 99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关?说明你的理由; ⑶已知在大于 40 岁收看文艺节目的 20 名观众中,恰有 8 名又收看地方戏节 目.现在从这 20 名观众中随机选出 3 名进行其他方面调查,记选出收看地方戏节 目的人数为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望.

n(ad ? bc) 2 参考公式与临界值表: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) P( K 2 ? k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2

高二数学(理科)试题

第 3 页 共 8 页

⒙(本小题满分 14 分) 如图 4,ABCD? A1 B1C1 D1 是四棱柱,AA1 ? 底面 ABCD ,AB // CD ,AB ? AD ,

AD ? CD ? AA1 ? 1 , AB ? 2 .
⑴求证: A1C1 ? 平面 BCC1 B1 ; ⑵求平面 A1 BD 与平面 BCC1 B1 所成二面角的大小.

D1

C1 B1

A1

D

C
图4

A

B

⒚(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是递增的等差数列,它的前三项的和为 ? 3 ,前三项的积为 8 . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵求数列 ? an ?的前 n 项和 S n . ⒛(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F 。椭圆 ? 的中心在 1 坐标原点,离心率 e ? ,并以 F 为一个焦点. 2 ⑴求椭圆 ? 的标准方程; ⑵设 A1 A2 是椭圆 ? 的长轴( A1 在 A2 的左侧) P 是抛物线 C 在第一象限的一 , 点,过 P 作抛物线 C 的切线,若切线经过 A1 ,求证: tan?A1 PA2 ? 2 . 21. 本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x) ? m ln(x ? 1) ? (m ? 1) x , m ? R 是常数. ⑴若 m ?
1 ,求函数 f (x) 的单调区间; 2

⑵若函数 f (x) 存在最大值,求 m 的取值范围; ⑶若对函数 f (x) 定义域内任意 x1 、 x2 ( x1 ? x 2 ) , 恒成立,求 m 的取值范围.
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 2 2

高二数学(理科)试题

第 4 页 共 8 页

评分参考
一、选择题 二、填空题 BACD ADBC ⒐ ?x ? R (3 分) x 2 ? 1 ? 0 , ⒒7 ⒕ 14 三、解答题 ⒗⑴由正弦定理
a c ? ??2 分,得 c sin A ? a sin C ??3 分,由已知得 sin A sin C

⒑ ? 252 (负号 1 分, “252”3 分)
n

⒓5



x (分子 1 分,分母每项 2 分) (2 ? 1) x ? 2 n

⒖ 30 m (数值 4 分,单位 1 分)

a sinC ? 3a cosC , tanC ? 3 ??4 分,因为 0 ? C ? ? ,所以 C ?

?
3

??5 分

⑵由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ??7 分,得 ( 7 ) 2 ? a 2 ? 2 2 ? 4a ? cos

?
3

??9 分,即 a 2 ? 2a ? 3 ? 0 ??10 分,解得 a ? 3 或 a ? ?1 ??11 分,负值舍去, 所以 a ? 3 ??12 分
24 ? 5 ? 3(名)??3 分(列式 2 分,计算 1 分) 40

⒘⑴应抽取大于 40 岁的观众人数为 ⑵根据列联表中的数据,得 K 2 ?

100? (40 ? 24 ? 16 ? 20) 2 1600 ? ? 6.926 ? 6.635 56 ? 44 ? 60 ? 40 231

??7 分(列式 2 分,计算 1 分,判断 1 分) 所以,有 99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关??8 分 ⑶ ? 的可能值为 0、1、2、3??9 分
1 2 1 3 C8 C12 44 C82 C12 28 C12 11 , P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? , P(? ? 0) ? 3 ? ? ? 3 3 95 95 C 20 57 C 20 C20 3 C8 14 ??11 分(每个 0.5 分,四舍五入) P(? ? 3) ? 3 ? C20 285

? 的分布列为

?
P

0 11 57

1 44 95

2 28 95

3 14 285

??12 分

? 的数学期望 E? ? 0 ?

11 44 28 14 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? ??14 分 (每个等号 1 分) 57 95 95 285 5
第 5 页 共 8 页

高二数学(理科)试题

⒙⑴ AA1 ? 底面 ABCD ,所以 CC1 ? A1C1 ??1 分, 取 A1 B1 的中点 E ,连接 EC1 ??2 分,则 A1 EC1 D1 是正方形,?A1C1 E ? 3 分,又 B1 E ? C1 E ? 1 , ?B1C1 E ?

?
4

??

?
4

,所以 ?A1C1 B1 ?

?
2

, A1C1 ? B1C1 ??4 分,

因为 CC1 ? B1C1 ? C1 ,所以 A1C1 ? 平面 BCC1 B1 ??5 分. ⑵(法一)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建 立空间直角坐标系??6 分, D(0 , 0 , 0) ,A(1 , 0 , 0) ,B(1 , 2 , 0) ,A1 (1 , 0 , 1) , 则

C1 (0 , 1 , 1) ??7 分,DA1 ? (1 , 0 , 1) ,DB ? (1 , 2 , 0) ,A1C1 ? (?1, 1, 0) ??8 分,
由⑴知, 平面 BCC1 B1 的一个法向量为 n1 ? A1C1 ? (?1 , 1 , 0) ??9 分, 设平面 A1 BD

?n ? DB ? 0 ?a ? 2b ? 0 ? 的一个法向量为 n2 ? (a , b , c) ,则 ? 2 ,即 ? ??11 分,不妨设 a?c ?0 ?n2 ? DA1 ? 0 ? ?
b ? 1 , a ? ?2 ,c ? 2 , 则 从而 n2 ? (?2 , 1 , 2) ??12 分, 设所求二面角的大小为 ? ,

则 cos? ?

| n1 ? n2 | | n1 | ? | n2 |

??13 分, ?

? 2 ,所求二面角的大小为 ??14 分. 4 2

EF DF DF (法二) AB 的中点 F , 取 连接 D1 E 、 、 ??6 分, EF // BB1 、 // BC , 则

因为 DF ? EF ? F , 所以平面 DD1 EF // 与平面 BCC1 B1 ??7 分, 所以平面 A1 BD 与 平面 BCC1 B1 所成二面角等于平面 A1 BD 与平面 DD1 EF 所成二面角??8 分。设 连接 DG , A1 M ? DG , 作 垂足为 M , 连接 HM , EF ? A1 B ? G ,D1 E ? A1C1 ? H , 由 ⑴ 知 A1C1 ? 平 面 DD1 EF , A1C1 ? DG , A1 M ? A1 H ? A1 , 所 以 DG ? 平 面

A1 HM ??9 分,DG ? HM , A1 MH 是平面 A1 BD 与平面 BCC1 B1 所成二面角?? ?
10 分。 DM ? x , A1 D 2 ? x 2 ? A1G 2 ? GM 2 ? A1M 2 ??11 分, 设 则 其中 A1 D ? 2 ,
A1G ?
3 1 3 1 5 A1 B ? , DG ? DF 2 ? FG2 ? ( 2 ) 2 ? ( ) 2 ? , GM ? ? x ,代入 2 2 2 2 2
A1 D 2 ? DM
2

解 得 x ? 1 ?? 12 分,在 ?A1 MH 中, A1 H ? MH , A1 M ?
A1 H ?

?1,

AH ? 2 2 ??13 分,所以 sin ?A1 MH ? 1 ? ,所求二面角的大小为 ?? 4 2 A1 M 2

14 分.

高二数学(理科)试题

第 6 页 共 8 页

?a ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ?3 ⒚⑴设 ?an ? 的公差为 d ( d ? 0 ) ,依题意, ? 1 ??2 分, ?a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? 8
?a1 ? ?4 ?a1 ? 2 ?a ? d ? ?1 即? 1 ,解得 ? 或? ??4 分,因为 d ? 0 ,所以 ?d ? 3 ? d ? ?3 ?a1 ? (a1 ? 2d ) ? ?8 ?a1 ? ?4 , ?an ? 的通项 an ? ?7 ? 3n ??5 分 ? ?d ? 3

⑵由⑴得 a1 ? ?4 , | a1 |? 4 ; a2 ? ?1 , | a2 |? 1 ??6 分;当 n ? 3 时, an ? 0 ,

| an |? an ??7 分,所以 S1 ? 4 , S 2 ? 5 ??8 分
当 n ? 3 时, S n ? S 2 ? (a3 ? ?an ) ? 5 ? [2 ? ? ? (?7 ? 3n)] ??9 分,
? 5? 2 ? (?7 ? 3n) 3 11 ? (n ? 2) ? n 2 ? n ? 10 ??11 分, 2 2 2 ? ?4 , n ? 1, ? n ? 2, ??12 分. 综上所述, S n ? ?5 , ?3 11 ? n 2 ? n ? 10 , n ? 3. 2 ?2

⒛⑴依题意,设椭圆 ? 的标准方程为
2 p ? 8 ,所以 p ? 4 ,
e?

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )??1 分, a2 b2

p ? 2 ??2 分, F (2 , 0) , c ? 2 ??3 分, 2

c 1 ? ,所以 a ? 4 ??4 分, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12 ??5 分, a 2

x2 y2 ? ? 1 ??6 分 所以椭圆 ? 的标准方程为 16 12

⑵抛物线 C 在第一象限的部分可看作函数 y ? 8x ? 2 2 ? x 的图象??7 分,
y 1 2 依题意,不妨设 P( 0 , y 0 ) ( y0 ? 0 ) ,因为 y / ? 2 2 ? ??8 分,所以 ? 8 x 2 x 2 y0 4 4 / 切线 PA 的斜率 k PA1 ? y | x ? x0 ? ??9 分, PA : y ? y0 ? (x ? ) ??10 分, 1 1 y0 y0 8
2

由⑴得 A1 (?4 , 0) ,代入解得 y0 ? 4 2 ??11 分,则 P(4 , 4 2 ) , A2 (4 , 0) ??12 分, PA2 ? A1 A2 ??13 分,在 Rt?PA1 A2 中, A1 A2 ? 8 , PA2 ? 4 2 , ?PA2 A1 是直 AA 角,所以 tan?A1 PA2 ? 1 2 ? 2 ??14 分. PA2

高二数学(理科)试题

第 7 页 共 8 页

21.⑴ f (x) 的定义域为 (1 , ? ?) ??1 分
m? 1 1 1 1 1 2? x 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? x , f / ( x) ? ??2 分 ? ? 2 2 2 2( x ? 1) 2 2( x ? 1)

解 f / ( x) ? 0 得 x ? 2 。 x ? (1 , 2) 时,f / ( x) ? 0 , f (x) 在 (1 , 2) 单调递增?? 当 即 3 分;当 x ? (2 , ? ?) 时, f / ( x) ? 0 ,即 f (x) 在 (2 , ? ?) 单调递减??4 分。 ⑵ f / ( x) ?
m (m ? 1) x ? 1 ? (m ? 1) ? x ?1 x ?1

若 m ? 1 ,则 f / ( x) ? 0 , f (x) 单调递增,不存在最大值??5 分 若 m ? 0 ,则 f / ( x) ? 0 , f (x) 单调递减,不存在最大值??6 分 若 0 ? m ? 1 , f / ( x) ? 0 得 x ? 由
1 1 ) 时, f / ( x) ? 0 , f (x) 单 , x ? (1 , 当 1? m 1? m

1 , ? ?) 时, f / ( x) ? 0 , f (x) 单调递减??8 分,所以 f (x) 在 调递增,当 x ? ( 1? m x? 1 取得最大值,所求 m 的取值范围为 (0 , 1) ??9 分 1? m

⑶由

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 m ln(x1 ? 1) ? m ln(x 2 ? 1) x ? x2 ? f( 1 )得 ? m ln( 1 ? 1) 2 2 2 2

??10 分,依题意 x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 且 x1 ? 1 ? x2 ? 1,所以
x1 ? x 2 ( x ? 1) ? ( x 2 ? 1) ?1 ? 1 ? ( x1 ? 1)(x 2 ? 1) ??11 分, 2 2

y ? ln x 是增函数,所以 ln(
?

x1 ? x 2 ? 1) ? ln ( x1 ? 1)(x 2 ? 1) ??12 分, 2

1 1 ln[( x1 ? 1)( x 2 ? 1)] ? [ln( x1 ? 1) ? ln( x 2 ? 1)] ??13 分,所求 m 的取值范围为 2 2

(?? , 0) ??14 分.

高二数学(理科)试题

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