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2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆练习 理


2017 版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第 5 讲 理
基础巩固题组 (建议用时:45 分钟) 一、填空题 1.椭圆 + =1(m>0)的焦距为 2,则 m 的值等于________. m 4 解析 当 m>4 时,m-4=1,∴m=5;当 0<m<4 时,4-m=1,∴m=3. 答案 5 或 3

椭圆练习

x2 y2

2.设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,OM=3, 25 16 则 P 点到椭圆左焦点的距离为________. 1 解析 由题意知,在△PF1F2 中,OM= PF2=3, 2 ∴PF2=6,∴PF1=2a-PF2=10-6=4. 答案 4 1 3.(2016?苏州调研)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的 2 方程是________.

x2

y2

c 1 2 2 2 解析 依题意,所求椭圆的焦点位于 x 轴上,且 c=1,e= = ? a=2,b =a -c =3, a 2
因此其方程是 + =1. 4 3 答案

x2 y2

x2 y2
4

+ =1 3 +

4.若椭圆

x2
25

y2
16

=1 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是

________. 解析 由椭圆定义知 PF1+PF2=10,又 PF1=6,∴PF2=4. 答案 4 5.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6,1)、P2(- 3,- 2), 则椭圆的方程为________. 解析 设椭圆方程为 mx +ny =1(m>0,n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过点 P1、P2,∴点 P1、P2 的坐标适合椭圆方程.
2 2

1

? ?6m+n=1, 则? ? ?3m+2n=1, ②



1 ? ?m=9, ①、②两式联立,解得? 1 ? ?n=3. ∴所求椭圆方程为 + =1. 9 3 答案

x2 y2

x2 y2
9

+ =1 3

6.(2015?南京师大附中调研)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右 顶点为 A,上顶点为 B,若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 =________. 解析 设椭圆 C 的焦距为 2c(c<a), 由于直线 AB 的方程为 bx+ay-ab=0, ∴ 6 F1F2,则椭圆 C 的离心率 e 6

x2 y2 a b

ab 6 2 2 2 4 2 2 4 = c,∵b =a -c ,∴3a -7a c +2c =0, 2 2 3 a +b
2 2 2 2

解得 a =2c 或 3a =c (舍去),∴e= 答案 2 2
2 2

2 . 2

x y 1 7.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率等于 ,其焦点分别为 A,B,C 为椭圆上异于长轴端 a b 3
sin A+sin B 点的任意一点,则在△ABC 中, 的值等于________. sin C sin A+sin B CB+CA 解析 在△ABC 中,由正弦定理得 = ,因为点 C 在椭圆上,所以由椭 sin C AB sin A+sin B 2a 1 圆定义知 CA+CB=2a,而 AB=2c,所以 = = =3. sin C 2c e 答案 3

x2 y2 → → 8.(2016?遵义联考)已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点,若PF1?PF2= a b
0,tan∠PF1F2=2,则椭圆的离心率为________. → → → → 解析 ∵PF1+PF2=2a,∵PF1?PF2=0,∴PF1⊥PF2, → 2 → 2 → 2 2 ∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c ,∵tan∠PF1F2=2,

2

∴PF2=2PF1, |PF1|+|PF2| 5 2 PF1 4 4 c 5 5 2 ∴e = 2= = = ,∴e= . a 2 9 9 3 ?PF1+PF2? PF2 1 ? 2 ? 4 ? ?
2 2 2

答案

5 3

二、解答题

x2 y2 9.如图所示,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),F1,F2 分别为椭圆的左、 a b
右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; → → (2)若椭圆的焦距为 2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程. 解 (1)∵AF1=AF2=a,

且∠F1AF2=90°,F1F2=2c, ∴2a =4c ,∴a= 2c,∴e= =
2 2

c a

2 . 2

(2)由题知 A(0,b),F2(1,0),设 B(x,y), 3 b → → 由AF2=2F2B,解得 x= ,y=- , 2 2 4 x2 y2 代入 2+ 2=1,得 2+ 2=1, 9 4

b2 b

a

b

a



9 1 2 2 2 2 2+ =1,解得 a =3,∴b =a -c =2. 4a 4

所以椭圆方程为 + =1. 3 2 10.(2014?江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b), 连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一 点 C,连接 F1C.

x2 y2

x2 y2 a b

?4 1? (1)若点 C 的坐标为? , ?,且 BF2= 2,求椭圆的方程; ?3 3?
(2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 解 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0).
2 2

(1)因为 B(0,b),所以 BF2= b +c =a.
3

又 BF2= 2,故 a= 2.

?4 1? 因为点 C? , ?在椭圆上, ?3 3?
16 1 9 9 2 所以 2 + 2=1,解得 b =1.

a

b

故所求椭圆的方程为 +y =1. 2 (2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, 所以直线 AB 的方程为 + =1.

x2

2

x y c b

? ? ? ? ? ?x =0, ? 解方程组? 得? ?y =b. x y b(c -a ) ? ? ?a +b =1, ? ?y = a +c ,
x y + =1, c b
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2

2 2a c x1= 2 2, a +c

所以点 A 的坐标为?

a c b(c -a )? ?2 . 2 2, a2+c2 ? ?a +c ? a c b(a -c )? ?2 . 2 2, a2+c2 ? ?a +c ?
2 2 2

2

2

2

又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为?

b(a2-c2) -0 a2+c2 b(a2-c2) b 因为直线 F1C 的斜率为 2 = 2 3 ,直线 AB 的斜率为- ,且 F1C⊥AB, 2a c 3a c+c c -(-c) a2+c2
所以

b(a2-c2) ? b? 2 2 2 2 2 2 3 ??- ?=-1.又 b =a -c ,整理得 a =5c . 3a c+c ? c?

1 5 2 故 e = ,因此 e= . 5 5

能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 11.(2016?汕头一模)已知椭圆 + =1 上有一点 P,F1,F2 是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2 4 2 为直角三角形,则这样的点 P 有________个. 解析 当∠PF1F2 为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点 P 有 2 个;同理当∠PF2F1 为 直角时,这样的点 P 有 2 个;当 P 点为椭圆的短轴端点时,∠F1PF2 最大,且为直角,此时 这样的点 P 有 2 个.故符合要求的点 P 有 6 个. 答案 6

x2 y2

4

12.(2016?苏北四市模拟)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,若 F 关于直线 3x+y =0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点,则椭圆 C 的离心率为________.

x2 y2 a b

解析 法一

n ? ?m+c?(- 3)=-1, 设 A(m,n),则? m-c n ? 3? 2 +2=0, ?

3 ? ?c 解得 A? , c?, ?2 2 ?

c 3c 代入椭圆 C 中,有 2+ 2=1, 4a 4b
∴b c +3a c =4a b , ∴(a -c )c +3a c =4a (a -c ), ∴c -8a c +4a =0,∴e -8e +4=0, ∴e =4±2 3,∵0<e<1,∴e= 3-1. 法二 借助于椭圆的定义, 本题还有如下简洁解法: 设 F′是椭圆的右焦点, 连接 AF, AF′. 由已知得△AFF′是直角三角形,其中∠A=90°,∠AFF′=30°,∵FF′=2c, ∴AF= 3c,AF′=c, 2c FF′ 2c ∴e= = = = 3-1. 2a AF+AF′ c+ 3c 答案 3-1
2 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

13.(2016?云南统一检测)设 F1, F2 分别是椭圆 + =1 的左、 右焦点, P 为椭圆上任一点, 25 16 点 M 的坐标为(6,4),则 PM+PF1 的最大值为________. 解析 PF1+PF2=10,PF1=10-PF2,

x2

y2

PM+PF1=10+PM-PF2,
易知 M 点在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点, 此时 PM-PF2 取最大值 MF2, 故 PM+PF1 的最大值为 10+MF2=10+ (6-3) +4 =15. 答案 15 14.(2015?南京模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P(-1,-1),c 为椭圆的半焦 距,且 c= 2b.过点 P 作两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程;
5
2 2

x2 y2 a b

(2)若直线 l1 的斜率为-1,求△PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程. 解 1 1 2 2 (1)由条件得 2+ 2=1,且 c =2b ,

a

b

4 2 2 2 2 所以 a =3b ,解得 b = ,a =4. 3 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 4 (2)设 l1 的方程为 y+1=k(x+1),联立?
2 2

x2 3y2

?y=kx+k-1, ? ?x +3y =4, ?
2 2 2

消去 y 得(1+3k )x +6k(k-1)x+3(k-1) -4=0. 因为 P 为(-1,-1), 解得 M? +1 3k +2k-1? ?-3k +6k , . 2 2 1+3k ? ? 1+3k ?
2 2

1 当 k≠0 时,用- 代替 k,

k

得 N?

6k-3 -k -2k+3? ?k - , 2 k + 3 k2+3 ? ? ?

2

2

将 k=-1 代入,得 M(-2,0),N(1,1). 因为 P(-1,-1),所以 PM= 2,PN=2 2, 1 所以△PMN 的面积为 ? 2?2 2=2. 2 (3)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则?
?x1+3y1=4, ? ? ?x2+3y2=4,
2 2 2 2

两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0, 因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 y1+y2=0, 从而可得(x1+x2)(x1-x2)=0. 若 x1+x2=0,则 N(-x1,-y1). → → 2 2 因为 PM⊥PN,所以PM?PN=0,得 x1+y1=2. 又因为 x1+3y1=4,所以解得 x1=±1, 所以 M(-1,1),N(1,-1)或 M(1,-1),N(-1,1). 所以直线 MN 的方程为 y=-x. 若 x1-x2=0,则 N(x1,-y1), → → 2 2 因为 PM⊥PN,所以PM?PN=0,得 y1=(x1+1) +1. 1 2 2 又因为 x1+3y1=4,所以解得 x1=- 或-1, 2
6
2 2

1 经检验:x1=- 满足条件,x1=-1 不满足条件. 2 1 综上,直线 MN 的方程为 x+y=0 或 x=- . 2

7


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