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湖北省华中师大一附中2015届高三上学期期中联考数学(理)试题【word解析版】


湖北省华中师大一附中 2015 届高三上学期期中检测 数学(理科)试题
考试用时 120 分钟,满分 150 分。请把试题答案填写在答题卡相应的位置上。 【试卷综述】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学 科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常 规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、 直线与圆、数列、充要条件等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷。 【题文】一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 【题文】1.已知复数 z ? (1 ? i )(2 ? i ) 的实部是 m ,虚部是 n ,则 m ? n 的值是( ) A.

3

B.

?3

C.

3i

D. ?3i

【知识点】复数的运算 L4 【答案】 【解析】A 解析:因为 z ? (1 ? i )(2 ? i ) ? 3 ? i 所以 m ? 3, n ? 1 ,即 mn ? 3 . 故选 A. 【思路点拨】直接计算即可.

【题文】2.已知集合 A ? Z,B ? x | y ? ln(9 ? x ) ,则 A
2

?

?

B 为( )
D.

A.

? 1, 0? ??2,

B.

? 1,, 0 1, 2? ??2,

C.

1, 2? ?0,

0 1, 2? ??1,,

【知识点】集合的运算 A1 【答案】 【解析】B 解析:因为 B ? x | y ? ln(9 ? x 2 ) ? x | 9 ? x 2 ? 0 ,所以

?

? ?

?

? 1,, 0 1, 2? ,故选 B. 所以 A B ? ??2, B ? ? x | ?3 ? x ? 3? ,又 A ? Z,
【思路点拨】先解出集合 B ? ? x | ?3 ? x ? 3? ,再求交集即可. 【题文】3.下列命题错误的是( ) A.命题“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为 “若 x, y 中至少有一个不为 0,则 x 2 ? y 2 ? 0 ”
2 2 B.若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件 D.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 【知识点】命题的真假判断 A2 【答案】 【解析】D 解析:A 中由逆否命题的概念可知正确;B 中特称命题的否定是全称命题,正确;C 中 根据三角形中大边对大角可知正确;D 中 p 、 q 至少有一个是假命题,所以错.故选 D. 【思路点拨】根据所学知识逐个进行检验即可得到正确答案. 【题文】4.从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:

-1-

由上表可得回归直线方程 y ? 0.56 x ? a ,据此模型预报身高为 172 cm 的男生的体重大约为( ) A.70.09 kg B.70.12 kg C.70.55 kg D.71.05 kg

【知识点】线性回归方程 I4 【答案】 【解析】B 解析:由题意可得 x ? 170, y ? 69 ,代入回归直线方程 69 ? 0.56 ?170 ? a ? a ? ?26.2 所以身高为 172 cm 的男生的体重大约为

0.56 ?172 ? 26.2 ? 70.12kg ,故选 B.
【思路点拨】由题意可得回归直线方程 y ? 0.56 x ? a 过点 ( x, y ) 可求 a ,代入身高 172 cm 即可求出男生 体重. 【题文】5.已知 ? ? ? x, y ? x ? 1, y ? 1 ,A 是曲线 y ? x 2 与 y ? 一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为( ) A.

?

?

x 围成的区域,若向区域 ? 上随机投

1 3

B.

1 4
y ? x2 y? x
1

C.

1 8

D.

1 12

【知识点】几何概型 K3

? ? 【答案】 【解析】D 解析:联立得 ? ? ?

,解得 ?

?x ? 1 ?y ?1

或?

?x ? 0 , ?y ? 0

设曲线与曲线围成的面积为 S,则 S ? ? 0(x-x )dx ?
2

? ? ? x, y ? x ? 1, y ? 1 1 ,而 , 3

?

?

表示的区域是一个边长为 2 的正方形,∴Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A(阴影部分)中的概率

1 S阴影 1 P? ? 3 ? ,故选 D. S 2 ? 2 12

【思路点拨】本题利用几何概型求解.欲求恰好落在阴影范围内的概率,只须求出阴影范围内的面积与正 方形的面积比即可.为了求出阴影部分的面积,联立由曲线 y ? x 和曲线 y ?
2

x 两个解析式求出交点坐

(0, 1) 标,然后在 x ? )区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可.

? 【题文】6.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ),x ? R (其中 A ? 0,? ? 0,
-2-

?
2

?? ?

?
2

) ,其部分图像如

图所示,将 f ( x) 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的 2 倍,再向右平移 1 个单位得到 g ( x) 的图像,则 函数 g ( x) 的解析式为( ) A. g ( x) ? sin

?
2

( x ? 1)
x ? 1)

B. g ( x) ? sin

?
8

( x ? 1)
x ? 1)
1 4 1 2? ? ? ? 1? ( ? 1) ? 2, ?? ? . 4 ? 4

C. g ( x) ? sin(

?
2

D. g ( x) ? sin(

?
8

【知识点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4 【答案】 【解析】B 解析:由函数的图象可得 A ? 1 , T ?

) ? ? ? 0, ?? ? 再由五点法作图可得, ( ? 1 4

?

?
4

f x) ? sin ( ,函数 (

?

( 不变,横坐标变成原来的 2 倍,可得函数 y ? sin g x) ? sin[ (x ? 1) ? 再向右平移 1 个单位得到 ( 8 g x) ? sin 故 函数 g(x)的解析式为 (

?

?

?

x? ) 的图象; 8 4

?

x ? ).将 ( f x) 的图象纵坐标 4 4

?

?
8

] ? sin ( x? ) 的图象, 4 8 8

?

?

? x ? 1?

,故选:C.

【思路点拨】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数的解

(? x ? ?) 析式,再根据函数 y ? Asin 的图象变换规律,得出结论.
【题文】7.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表 A. 面积为( )

4?

B.

8?

C.

12?

D.

16?
三角形,由于 顶点在底面上 由于顶点到底 所以三棱锥的 故答案为:A.

【知识点】由三视图求面积、体积.G2 【答案】 【解析】A 解析:由已知三棱锥的高为 1,底面为一个直角 底面斜边上的中线长为 1,则底面的外接圆半径为 1, 的投影落在底面外接圆的圆心上, 面的距离,与底面外接圆的半径相等 外接球半径 R 为 1,则三棱锥的外接球表面积 S ? 4? R ? 4?
2

【思路点拨】由已知中三棱锥的三视图,我们可以求出三棱棱的高,即顶点到底面的距离,及底面外接圆 的半径,进而求出三棱锥外接球的半径,代入球的表面积公式,即可求出外接球的表面积.

?3 x ? 5 y ? 6 ? 0, ? 【题文】8.若 x, y 满足条件 ?2 x ? 3 y ? 15 ? 0 ,当且仅当 x ? y ? 3 时, z ? ax ? y 取最小值,则实数 a 的 ? y ? 0, ?
取值范围是( ) A. ? ?

? 3 2? , ? ? 4 3?

B. ? ?

? 2 3? , ? ? 3 4?

C.

? 2 3? ?? , ? ? 3 5?

D. ?

? 3 3? , ? ? 4 5?

【知识点】简单线性规划 E5

?3 x ? 5 y ? 6 ? 0, ? 【答案】 【解析】C 解析:条件 ?2 x ? 3 y ? 15 ? 0 对应的平面区域如图: ? y ? 0, ?

-3-

(3, 3) 因为目标函数 z ? ax ? y (其中 a>0 ) ,仅在 处取得最大值,令 z ? 0 得 ax ? y ? 0 ,
所以直线 ax ? y ? 0 的极限位置应如图所示,

? ? ? 故其斜率 k ? a 需满足 ? ? ? ?

a<

3 5 2 3

a>-

? 2 3? ?? , ? 2 3 ? - <a< .故答案为: ? 3 5 ? .所以选 C. 3 5

(3, 3) 【思路点拨】先画出可行域,根据题中条件目标函数 z ? ax ? y (其中 a>0 ) ,在 处取得最大值得
到目标函数所在位置,求出其斜率满足的条件即可求出 a 的取值范围 9. 【题文】 若双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 的左、 右顶点分别为 A, B , 点 P 是第一象限内双曲线上的点. 若 直线 PA, PB 的倾斜角分别为 ? , ? ,且 ? ? k? (k ? 1) ,那么 ? 的值是( ) A.

?
2k ? 1

B.

?
2k

C.

?
2k ? 1

D.

?
2k ? 2
2 2

【知识点】双曲线的简单性质 H6
2 2 2 x y 1 a>0) 【答案】 【解析】D 解析:∵双曲线方程为 x ? y ? a (a ? 0) ,即 2 ? 2 ?(

a

a

( ? a, 0) (a, 0) ∴双曲线的左顶点为 A ,右顶点为 B ,

(m,n) 设P ,得直线 PA 的斜率为 K PA ?

n n ;直线 PB 的斜率为 K PB ? m?a m?a

? K PA ? K PB

n2 ? 2 2 …(1) m ?a
2 2 2

2 2 2 2 2 2 (m,n) ∵P )是双曲线 x ? y ? a (a ? 0) 上的点? m ? n ? a ,得 n ? m ? a ,

代入(1)式得 KPA ? KPB ? 1

?tan? ? tan? ? 1, ∵直线 PA、PB 的倾斜角分别为 ?,? ,得 tan? ? KPA,tan? ? KPB,
P 是第一象限内双曲线上的点,得 ?,? 均为锐角?? ? ? ? ? k ? 1? ? ?

?
2

,解之得

??

?
2k ? 2

故选:D

-4-

(m,n) 【思路点拨】设 P ,得直线 PA、 PB 的斜率为 K PA , K PB

? K PA ? K PB ?

n2 2 2 2 2 2 2 …(1) .由点 P 是双曲线 x ? y ? a 上的点,得 n ? m ?a ,整理得 2 2 m ?a

,结合三角函数诱导公式,得 ? ? ? ? KP A ? K P B? 1 .由斜率与倾斜角的关系,得 tan? ? tan? ? 1, 后根据 ? ? k? 化简整理,即可得到本题的答案.

?
2

,最

【题文】10.函数 f ( x) 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数

f ( x) 在 D 上 为 非 减 函 数 , 设 函 数 f ( x) 在 [0,1] 上 为 非 减 函 数 , 且 满 足 以 下 三 个 条 件 : ① f (0) ? 0 ; ②

x 1 1 1 f ( ) ? f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) ,则 f ( ) ? f ( ) 等于 ( ) 3 8 3 2 4 1 D. 3
【知识点】抽象函数及其应用 B10

A.

1 2

B.

3 4

C.

f x) 1] 上为非减函数, 【答案】 【解析】 B 解析: ∵函数 ( 在 [0, ①( f 0) ? 0;②( f 1 ? x) ?( f x) ? 1, ? () f 1 ? 1,
1 1 1 f ) ? ,所以有 ( ,又 2 2 2 x 1 x 5 5 x 1 f ( ) ? f ? x ?, ?( f x) ? 2( f ), ( f ) ? 2( f )( f ) ? ( f x),令 x ? 1 ,有 3 2 3 12 36 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( f ) ? ( f 1) ? ,令 x ? ,有 ( f ) ? ( f ) ? f ) ? ( f ) ? ,( , 3 2 2 3 9 2 3 4 6 2 2 4 1 1 1 非减函数性质:当 x1<x2 时,都有 ( f x1) ?( f x2),? < < , 9 8 6 1 1 1 1 1 1 1 1 f ) ?( f ) ?( f ),而 ( f ) ? ?( f ) f ) ? , 有( ,所以有 ( 9 8 6 9 4 6 8 4 1 1 1 1 3 则 f ( )? f ( ) ? ? ? . 故选 B. 3 8 2 4 4 1 1 1 1 f 1)、( f )、( f )、( f )、( f ) 【思路点拨】由已知条件求出 ( 的值,利用当 x1<x2 时,都有 2 3 9 6 1 1 1 1 1 1 1 1 f ) ?( f ) ?( f ), f ) ? ,代入结果可求. ,? < < ,有 ( 而有 ( ( f x1) ?( f x2) 9 8 6 9 8 6 8 4
令x?

-5-

【题文】二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) (一)必考题(11 ~ 14 题) 【题文】11.已知 b 为如图所示的程序框图输出的结果,则二项式

( bx ?

1 6 ) 的展开式中的常数项是_________. (用数字作答) x

【知识点】程序框图 L1 【答案】 【解析】 ?540 解析:第一次循环: b ? 3,a ? 2 ; 次循环得: b ? 5,a ? 3 ; 第三次循环得: b ? 7,a ? 4 ;
6

第二

1 ? ? 1 ? ? 第四次循环得 :b ? 9,a ? 5 ; 不满足判断框中的条件, 输出 b ? 9 . ? bx ? ? ? ? 9x ? ? x? ? x? ?
r 的展开式的通项为: Tr ?1 ? C6 ?9x ? 6? r

6

? 1 ? r 6? r r 3? r ,令 3 ? r ? 0 得 r ? 3 , ?? ? ? ? ?1? 3 C6 x x? ?

r

3 3 ∴常数项为 ? ?1? ? 3 ? C6 ? ?540 故答案为: ?540 . 3

【思路点拨】根据题意,分析该程序的作用,可得 b 的值,再利用二项式定理求出展开式的通项,分析可 得常数项.

OC ? 12. 【题文】 在 ?OAB 中,
(用 a , b 表示)

1 1 OA, OD ? OB ,AD 与 BC 交于点 M , 设 OA = a , OB = b , 则 OM ? 4 2

【知识点】向量的线性运算性质及几何意义 F1 【答案】 【解析】

1 3 a ? b 解析:∵ B, M , C 三点共线, 7 7

a ? OM ? xOC ? (1 ? x) ? x ? ? ?1 ? x ? ? b , 4
∵ A, M .D 三点共线,? OM ? yOA ? (1 ? y)OD ? ya ? (1 ? y) 即

b , 2

x 1? y 4 1 1 3 ? y ,且 1 ? x ? ,所以 x ? , y ? , 所以 OM ? a ? b . 4 2 7 7 7 7 1 3 故答案为: a ? b 7 7
【思路点拨】由 B, M , C 三点共线,知? OM ? xOC ? (1 ? x) ? x ?

a ? ?1 ? x ? ? b ; 4

由 A, M .D 三点共线,知 OM ? yOA ? (1 ? y)OD ? ya ? (1 ? y)

b ,所以 2

x?

4 1 1 3 , y ? ,所以 OM ? a ? b . 7 7 7 7

-6-

【题文】13.若正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则 【知识点】基本不等式 E6

x ? 2y 的最小值为 xy



【答案】 【解析】 3 解析:∵正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0, ?3 ? 2 x ? y .

?

x ? 2y 1 1 2 1 2x 2 y 1 2x 2 y ? ? 2 x ? y ? ( ? ) ? (5 ? ? ) ? (5 ? 2 ? ) ? 3, xy 3 y x 3 y x 3 y x

当且仅当 x ? y ? 1 时取等号.则

x ? 2y 的最小值为 3. xy

【思路点拨】利用“乘 1 法”基本不等式的性质即可得出. 【题文】14.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 P (3, 0) 在圆 C : x 2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m 2 ? 28 ? 0 内,动 直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A, B 两点,若 ?ABC 的面积的最大值为 16 ,则实数 m 的取值范围是 【知识点】直线与圆相交的性质 H4 【答案】 【解析】 (3 ? 2 7,3 ? 2 3] [3 ? 2 3,3 ? 2 7)
2 2 (m, 2) 解析:圆的标准方程为 ,半径 r ? 4 2 , (x ? m) ? (y ? 2) ? 32,则圆心 C

S

ABC

?

1 2 r sin?ACB ? 16sin?ACB ,∴当 ?ACB ? 900 时 S 取最大值 16, 2

此时 ABC 为等腰直角三角形, AB ? 2,r ? 8,则 C 到 AB 距离=
2

4 2 ?4 , 2

2 (m ? 3) ? 4<32, ? 4 ? PC<4 2 ,即 4 ? ? m ? 3? ? 2 2 <4 2 ,?16 ?

2 ? ?? m ? 3? <28 (m ? 3) <28 ,? ? 即 12 ? ,解得 3 ? 2 7<m ? 3 ? 2 3 或 2 m ? 3 ? 12 ? ?? ?
2

3 ? 2 3<m ? 3 ? 2 7 ,故答案为: (3 ? 2 7,3 ? 2 3] [3 ? 2 3,3 ? 2 7) .

【思路点拨】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径,利用三角形面积 值,确定直线的位置,利用直线和方程的位置关系即可得到结论. 【题文】 (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答.如果全 按第 15 题作答结果计分) 【题文】15. (选修 4 ? 1 :几何证明选讲)
-7-

的最大 选,则

如图, PB 为△ ABC 外接圆 O 的切线, BD 平分 ?PBC ,交圆 O 于 D , C , D, P 共线.若 AB ? BD , PC ? PB , PD ? 1 ,则圆 O 的半径是 【知识点】与圆有关的比例线段 N1 【答案】 【解析】 2 解析:如图所示,连结 AD ,∵ PB 为圆 O 的切线,

BD 为 ?PBC 的平分线, ??PBD ? ?BCD ? ?BAD , ??PBD ? ?CBD ,??PDB ? ?CBD ? ?BCD ? ?PBD ? ?PBD ? 2?PBD , 又 PC ? PB ,??PBD ? ?BCD ? ?CBD ? ?BAD ? 30?,?PDB ? 60? . ? AD 是圆 O 的直径, 由 PD ? 1 , 得 BD ? 2 PD ? 2 . 在 ABD 中, AB ? BD , 且直径 AD ? 2 BD ? 4 ,
∴圆 O 的半径为 2.故答案为:2. 【思路点拨】连结 AD,由 PB 为圆 O 的切线,得??PBD ? ?BCD ? ?BAD ,结合 BD 为 ?PBC 的平分 线,可得 ?PDB ? 2?PBD ? 60? ,在 Rt BPD 中,由 PD ? 1 ,得 BD ? 2 ,由 Rt ABD 与 Rt BPD 的 内角关系得 AD 的长度,即得圆 O 的半径. 【题文】16. (选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程)
1 ? x?t? ? ? t 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程是 ? ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标 ?y ? t ? 1 ? t ?

? 系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? sin(? ? ) ? 1 ,则两曲线交点间的距离是 3
【知识点】简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程 N3
1 ? x?t? ? ? t ? ?y ? t ? 1 C t ,平方相减可得 ? 解析:由曲线 1 的参数方程是 ?

【答案】 【解析】 4 3

y 2 ? x2 ? 4 ,

曲线 C2 的极坐标方程是

? ? sin(? ? ) ? 1
3

,展开得 ? ?

?1 ? 3 sin ? ? cos ? ? ?2 ? ,化为 y ? 3x ? 2 , 2 ? ?

2 2 ? ? ?x ? 0 ?y ? x ? 4 ?x ? 2 3 2 联立 ? ,化为 x ? 2 3x ? 0 ,得 x ? 0 或 2 3 ,? ? 或? ? ? y ? ?4 ? ?y ? 2 ? ? y ? 3x ? 2

此两曲线交点间的距离为 12 ? 62 ? 4 3 ,故答案为: 4 3 .
1 ? x?t? ? ? t ? ?y ? t ? 1 C t , 平方相减可得 ? 【思路点拨】由曲线 1 的参数方程是 ?

y 2 ? x2 ? 4 ,曲线 C2 的极坐标方程是

? ? sin(? ? ) ? 1
3

,展开得 ? ?

2 2 ? ?1 ? 3 ?y ? x ? 4 sin ? ? cos ? ,化为 ,联立 即可求出两交点 y ? 3 x ? 2 ? ? ?2 ? 2 y ? 3 x ? 2 ? ? ? ?

坐标,利用两点间距离公式即可求解. 【题文】三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 【题文】17. (本小题满分 12 分)
-8-

设角 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,已知向量 m ? (sin A ? sin C ,sin B ? sin A) ,

n ? (sin A ? sin C ,sin B) ,且 m ? n . (Ⅰ)求角 C 的大小;
(Ⅱ)若向量 s ? (0, ?1), t ? (cos A, 2 cos 【知识点】正弦定理 余弦定理 C8 【答案】 【解析】 (Ⅰ) C ?
2

B ) ,试求 s ? t 的取值范围 2

?
3

(Ⅱ)

2 5 ? s?t ? 2 2

2 2 2 解析:(Ⅰ)由题意得 m ? n ? (sin A ? sin C ) ? (sin B ? sin A sin B ) ? 0 ,

? a2 ? b2 ? c2 1 ? ,? 0 ? C ? ? ,? C ? .?????6 分 3 2ab 2 2 B (Ⅱ)? s ? t ? (cos A,2 cos ? 1) ? (cos A, cos B) , 2 2 2? ? s ? t ? cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 A ? cos 2 ( ? A) 3 4? 1 ? cos( ? 2 A) 1 ? cos 2 A 1 3 1 ? 3
再由余弦定理得 cos C ?

即 sin 2 C ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin A sin B ,由正弦定理得 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ,

?

?0 ? A ?

1 ? 2? ? ? 7? ?? ? sin(2 A ? ) ? 1 , ,? ? ? 2 A ? ? 2 6 3 6 6 6 2 1 5 2 5 所以 ? s ? t ? ,故 .????????12 分 ? s?t ? 2 4 2 2

2

?

2

?

4

cos 2 A ?

4

sin 2 A ? 1 ? ? sin(2 A ? ) ? 1 2 6

2 2 2 【思路点拨】 :(Ⅰ)由题意得 m ? n ? (sin A ? sin C ) ? (sin B ? sin A sin B ) ? 0 ,

即 sin C ? sin A ? sin B ? sin A sin B 再结合正弦定理余弦定理即可求出角 C .
2 2 2

(Ⅱ)? s ? t ? (cos A,2 cos
2

2

B ? 1) ? (cos A, cos B) , 2
2? 1 ? ? A) ? ? sin(2 A ? ) ? 1 , 2 6 3

? s ? t ? cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 A ? cos 2 (

0? A?

2 1 ? 1 5 2? , 可求?? ? sin(2 A ? ) ? 1 ,所以 ? s ? t ? . 2 6 2 4 3

【题文】18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,且 a1 ? b1 ? 2 , b4 ? 54 ,

a1 ? a2 ? a3 ? b2 ? b3 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式 (Ⅱ)数列 {cn } 满足 cn ? an bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n .
【知识点】等差数列性质,等比数列性质,错位相减法求和 D2 D3 D4
n n ?1 【答案】 【解析】 (Ⅰ) an ? 6n ? 4 , bn ? 2 ? 3 (Ⅱ) Sn ? 4Tn ? 7 ? (6n ? 7) ? 3

-9-

q 3 a b 解析: (Ⅰ)设 ? n ? 的公差为 d , ? n ? 的公比为 q ,由 b4 ? b1q ,得

3

?

54 ? 27 2 ,

从而 q ? 3 ,因此 bn ? 2 ? 3 (Ⅱ) cn ? an bn ? 4 ? (3n ? 2) ? 3
0 1 2 1 2 n ?1

n ?1

,又 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? b2 ? b3 ? 6 ? 18 ? 24 ,

? a2 ? 8 , d ? a2 ? a1 ? 6 ,故 an ? 6n ? 4 , bn ? 2 ? 3n?1 ????????6 分

令 Tn ? 1? 3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 3 ? … ? (3n ? 5) ? 3
3

n?2

? (3n ? 2) ? 3n ?1 ? (3n ? 2) ? 3n ?????9 分
7 (6n ? 7)3n ? 2 2

则 3Tn ? 1? 3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 3 ? … ? (3n ? 5) ? 3

n ?1

两式相减得 ?2Tn ? 1 ? 3 ? 31 ? 3 ? 32 ? … ? 3 ? 3n ?1 ? (3n ? 2) ? 3n ? ?

7 3n (6n ? 7) n ? ,故 Sn ? 4Tn ? 7 ? (6n ? 7) ? 3 ?????????12 分 4 4 【思路点拨】 (Ⅰ)由数列通项公式分别设出通项,根据题意直接求解即可. ? Tn ?
(Ⅱ)数列 {cn } 满足 cn ? an bn ,可知数列 {cn } 为差比数列,此类数列求和一般应用错位相减法. 【题文】19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,Q
0

为 AD 的中点, PA ? PD ? AD ? 2 , ( ? )点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB . (II)在( ? )的条件下,若平面 PAD ? 平面 ABCD ,求二面角 M ? BQ ? C D 的大小.

【知识点】线面平行,二面角 G4 G10 【答案】 【解析】 (Ⅰ) t ? 解析: (I)当 t ?

1 (Ⅱ) 60 0 3

1 时, PA // 平面 MQB 3 证明:连 AC 交 BQ 于 N ,连 MN .由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC , AN 1 PM 1 AN AQ AN 1 1 ? ? ? ,所以 ? .若 t ? ,即 ? ? , BC NC 2 3 AC 3 PC 3 AC ? PA // MN ,由 MN ? 平面 PAC ,故 PA // 平面 MQB .????????6 分 (II)由 PA ? PD ? AD ? 2 , Q 为 AD 的中点,则 PQ ? AD 又平面 PAD ⊥平面 ABCD ,所以 PQ ⊥平面 ABCD ,连 BD ,∵四边形 ABCD 为菱形, ? AD ? AB , 由 ?BAD ? 60? 得 ?ABD 为正三角形,又 Q 为 AD 的中点, ? BQ ? AD ,以 Q 为坐标原点,分别以 QA, QB, QP 所在的直线为 x, y, z 轴,建立如图
所示的坐标系,则各点坐标为 A(1, 0, 0) , B (0, 3, 0) , Q (0, 0, 0) , P (0, 0, 3)

- 10 -

?n ? QB ? 0 ?n ? QB ? 0 ? ? , PA // MN ,? ? 设平面 MQB 的法向量为 n ? ? x , y , z ? ,可得 ? , ?n ? MN ? 0 ?n ? PA ? 0 ? ?

? ? 3y ? 0 令 z=1,解得 n ? ( 3, 0,1) ,取平面 ABCD 的法向量 QP ? 0,0, 3 , ? ? ? x ? 3z ? 0

?

?

设所求二面角为 ? ,而 ? 为锐角,则 cos ? ?

| QP ? n | 1 ? , | QP || n | 2
可 得 ,

故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60°.????12 分 【思路点拨】 (I)连 AC 交 BQ 于 N ,连 MN .由 AQ // BC

?ANQ ∽ ? BNC ,?

AN 1 AQ AN 1 ? ? ,所以 ? ,即 BC NC 2 AC 3

t?

1 .(II)由 3

PA ? PD ? AD ? 2 , Q 为 AD 的中点,则 PQ ? AD ,设平面 MQB 的法向量为 n ? ? x , y , z ? ,平面 ABCD
的法向量 QP ? 0,0, 3 ,则 cos ? ?

?

?

| QP ? n | 1 ? ,即可求出二面角. | QP || n | 2

【题文】20. (本小题满分 12 分) 节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段

[80,85), [85,90), [90,95), [95,100), [100,105), [105,110) 后得到如下图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法? (Ⅱ)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (Ⅲ)若从车速在 [80,90) 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出 的 2 辆车中车速在 [85,90) 的车辆数 ? 的分布列及 数学期望. 【知识点】频率分布直方图,分布列与数学期望 I2 K6 【答案】 【解析】 ( Ⅰ ) 系 统 抽 样 ( Ⅱ ) 中 位 数 的 估 计 值 为 97.5 ( Ⅲ ) ? 的 分 布 列 为

均值 E (? ) ? 0 ? 1?

8 6 4 ? 2? ? . 15 15 3

解析: (I)系统抽样

????????2 分
- 11 -

(II)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 97.5 , 设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为 0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ( x ? 95) ? 0.5 ,解得 x ? 97.5 即中位数的估计值为 97.5 ????????6 分 (Ⅲ)从图中可知,车速在 ?80,85? 的车辆数为 m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆). 车速在 ?85,90? 的车辆数为 m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) ,?? ? 0,1, 2

P ?? ? 0 ? ?

2 0 1 1 0 2 C2 C4 1 C2 C4 8 C2 C4 6 ? , P ? ? 1 ? ? , P ? ? 2 ? ? , ? ? ? ? 2 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

? 的分布列为

均值 E (? ) ? 0 ? 1?

8 6 4 ? 2? ? . 15 15 3

????????12 分

【思路点拨】 (II)众数的估计值为最高的矩形的中点(Ⅲ)由题意求出

P ?? ? 0 ? ?

2 0 1 1 0 2 C2 C4 1 C2 C4 8 C2 C4 6 ? , P ? ? 1 ? ? , P ? ? 2 ? ? , ? ? ? ? 2 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

即可求得分布列与期望. 【题文】21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

1 x2 y2 的离心率为 ,以原点 O 为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 a2 b2 x ? y ? 6 ? 0 相切
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程 (Ⅱ)若直线 L: y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 kOA ? kOB ? ?

?求证: ?AOB 的面积为定值. ?在椭圆上是否存在一点 P,使 OAPB 为平行四边形,若存在,求出 OP 的取
值范围,若不存在说明理由. 【知识点】直线与椭圆 H8 【答案】 【解析】 (Ⅰ)

b2 a2

x2 y2 ? ? 1 (Ⅱ)?略?不存在 P 在椭圆上的平行四边形 4 3

c 1 |0?0? 6 | ? 3 , ? ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 , a 2 2 2 x y2 联立解得 a 2 ? 4, b 2 ? 3 ,? 椭圆的方程为 ? ? 1 .????????3 分 4 3 ? x2 y2 ? ? ?1 (Ⅱ)?设 A( x1, y1 ) , B( x 2, y 2 ) 则 A,B 的坐标满足 ? 4 3 ? ? y ? kx ? m
解析: (Ⅰ)由题意得, b ?
- 12 -

消去 y 化简得, 3 ? 4k 2 x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0

?

?

? x1 ? x 2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 , , ? ? 0 得 4k 2 ? m 2 ? 3 ? 0 x x ? 1 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 y1 y 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? k x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2
=k2

4m 2 ? 12 8km 3m 2 ? 12k 2 2 。 ? km ( ? ) ? m ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 3 y y 3 ? K OA ? K OB ? ? , 1 2 ? ? ,即 y1 y 2 ? ? x1 x 2 4 4 4 x1 x 2
?

3m 2 ? 12k 2 3 4m 2 ? 12 即 2m 2 ? 4k 2 ? 3 ? ? ? 2 2 4 3 ? 4k 3 ? 4k

? AB ? (1 ? k 2 ) ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? (1 ? k 2 ) ?
=

?

?

48(4k 2 ? m 2 ? 3) (3 ? 4k 2 ) 2

48(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2 ? ? 2 (3 ? 4k 2 ) 2
1 1 d AB ? 2 2

m 24(1 ? k 2 ) .O 到直线 y ? kx ? m 的距离 d ? 3 ? 4k 2 1? k 2

? S ?AOB ?
=

m 1? k 2

24(1 ? k 2 ) 1 m 2 24(1 ? k 2 ) = ? 2 1 ? k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

1 3 ? 4k 2 24 = 3 为定值. ??????????8 分 ? 2 2 3 ? 4k 2

?若存在平行四边形 OAPB 使 P 在椭圆上,则 OP ? OA ? OB
8km 6m , y 0 ? y1 ? y 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 2 2 2 2 16k m 12m 2 x0 y0 ? ?1 由于 P 在椭圆上,所以 ? ? 1 ,从而化简得 (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4k 2 ) 2 4 3 化简得 4m 2 ? 3 ? 4k 2 ???????(1) 3 由 K OA ? K OB ? ? 知 2m 2 ? 4k 2 ? 3 ????(2) 4
设 P ( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 ? x1 ? x 2 ? ? 解(1) (2)知无解,故不存在 P 在椭圆上的平行四边形. ????????13 分 【思路点拨】 (Ⅰ)利用条件直接求解即可 . (Ⅱ) ? 设 A( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) 则 A,B 的坐标满足

? x2 y2 ? ? ?1 ?4 3 ? ? y ? kx ? m
? S ?AOB ?
=











?3 ? 4k ?x
2

2

? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0



1 1 d AB ? 2 2

m 1? k 2

24(1 ? k 2 ) 1 m 2 24(1 ? k 2 ) = ? 2 1 ? k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

1 3 ? 4k 2 24 = 3 为定值. ?假设存在平行四边形 OAPB 使 P 在椭圆上,则 OP ? OA ? OB , ? 2 2 3 ? 4k 2 8km 6m 设 P ( x 0 , y 0 ) , 则 x 0 ? x1 ? x 2 ? ? , y 0 ? y1 ? y 2 ? ,由于 P 在椭圆上,化简得 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 3 4m 2 ? 3 ? 4k 2 ,由 K OA ? K OB ? ? 知 2m 2 ? 4k 2 ? 3 ,联立无解,故不存在 P 在椭圆上的平行四边形. 4
【题文】22. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)求 a, b 的值;
- 13 -

已知函数 f ? x ? ? a ln x ? bx 2 图象上一点 P (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? ?3 x ? 2 ln 2 ? 2

1 (Ⅱ)若方程 f ? x ? ? m ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围 e e (其中 为自然对数的底, e ? 2.7 ) ;

(Ⅲ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? nx ,如果 g ? x ? 图象与 x 轴交于 A? x1 ,0 ?, B? x 2 ,0 ?? x1 ? x 2 ? ,

AB 中点为 C ? x0 ,0 ? ,求证: g ? ? x0 ? ? 0 .

【知识点】导数应用,函数综合 B12 B14

1 (Ⅱ) 1 ? m ? 2 ? 【答案】 【解析】 (Ⅰ) a=2,b=
解析: (Ⅰ) f ? ? x ? ? ∴

1 (Ⅲ)略 e2

a a ? 2bx , f ? ? 2 ? ? ? 4b , f ? 2 ? ? a ln 2 ? 4b . x 2

a ? 4b ? ?3 ,且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2 ln 2 ? 2 . 解得 a=2,b= 1 .?????3 分 2 2 2 (Ⅱ) f ? x ? ? 2ln x ? x ,令 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x ? m ,

2 2(1 ? x 2 ) ,令 h? ? x ? ? 0 ,得 x= . ( 1 x=- 1舍去) ? 2x ? x x 1 1 在 [ , e] 内,当 x∈ [ , 1) 时, h? ? x ? ? 0 ,∴h(x)是增函数; e e 当 x∈ (1, e] 时, h? ? x ? ? 0 ,∴h(x)是减函数.

则 h? ? x ? ?

? 1 ? h( e ) ≤ 0, ? 1 ? 则方程 h ? x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是 ? h(1) ? 0, e ? h(e) ≤ 0. ? ? ?
即1 ? m ? 2 ?

1 . e2
2

????????8 分
'

2 ? 2x ? n x ?2 ln x1 ? x12 ? nx1 ? 0 ① ? 2 ?2 ln x2 ? x2 ? nx2 ? 0 ② ? 假设结论不成立,则有 ? x1 ? x2 ? 2 x0 ③ ? ? 2 ? 2x ? n ? 0 ④ 0 ? ? x0
(Ⅲ) g ? x ? ? 2 ln x ? x ? nx, g ? x ? ?

x1 x x2 ①-②,得 2 ln 1 ? ? x12 ? x2 2 ? ? n ? x1 ? x2 ? ? 0 ? n ? 2 ? 2 x0 x2 x1 ? x2 ln
x x1 2 1 ?2 x1 ln 2 x x x2 1 x2 2 .即 ln 1 ? 2 由④得 n ? ? 2 x0 ,∴ .⑤ ? .即 x ? x0 x2 1 ?1 x1 ? x2 x0 x1 ? x2 x1 ? x2 x2
ln

令t ?

x1 (t ? 1) 2 2t ? 2 , u (t ) ? ln t ? (0<t<1),则 u ?(t ) ? >0. x2 t ?1 t (t ? 1) 2

∴ u (t ) 在 0<t<1 上增函数. u (t ) ? u (1) ? 0 , ∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴ g ? ? x0 ? ? 0 .????????14 分

- 14 -

【思路点拨】 (Ⅰ)由条件直接求解即可.
2 2 (Ⅱ) f ? x ? ? 2ln x ? x ,令 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x ? m , h? ? x ? ?

2 2(1 ? x 2 ) ? 2x ? x x 1 2 可求函数 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x ? m 的单调性, 从而列出方程 h ? x ? ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充 e

?2 ln x1 ? x12 ? nx 1 ? 0 ? 2 ?2 ln x2 ? x 2 ? nx 2 ? 0 ? 要条件,求解即可 . (Ⅲ)利用反证法假设结论不成立,则有 ? x1 ? x 2 ? 2 x 0 ? ? 2 ? 2x ? n ? 0 0 ? ? x0
x1 ?2 x1 x2 ln ? ⑤ x1 x2 ?1 x2 2

① ② ③ ④


令t ?

x1 (t ? 1) 2 2t ? 2 , u (t ) ? ln t ? (0<t<1),则 u ?(t ) ? >0. x2 t ?1 t (t ? 1) 2

∴ u (t ) 在 0<t<1 上增函数. u (t ) ? u (1) ? 0 , ∴⑤式不成立,与假设矛盾.∴ g ? ? x0 ? ? 0 .

- 15 -


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