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2017届辽宁省辽师大附中高三上学期期中考试试题 数学(文)

辽师大附中 2017 届高三期中考试

数学(文)试题 一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.)
1.已知集合 A ? {x ? Z | x( x ? 3) ? 0} , B ? {x | ln x ? 1} ,则 A ? B ? ( )

A. {0,1, 2}

B. {1, 2,3} )

C. {1, 2}

D. {2,3}

2.复数 i(1 ? 2i) ? ( A. 2 ? i 3 B. ?2 ? i

C. 2 ? i

D. ?2 ? i )

设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“ a 2 ? 1 ”的(

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)既非充分也非必要条件 4.在 ?ABC 中,设 CB ? a , AC ? b ,且 | a |? 2,| b |? 1, a ? b ? ?1,则 | AB |? ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 2

??? ?

?

??? ?

?

?

?

? ?

??? ?



?x ? y ? 4 ? 0 ? 5. 已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? ( x ? 1)2 ? y 2 的最大值是( ?x ?1 ? 0 ?
A. 1 B.9 C .2 D.11



6.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且是周期为 4 的周期函数,f(1)=1, 则 f(-1)+f(8)等于( A.-2 7. B.-1 ) C.0 D.1

已知 ?ABC 中, 内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,若 a2 ? b2 ? c2 ? bc, a ? 3 ,则 ?ABC 的 ) C. 3 D. 9

周长的最大值为( A. 2 3 B. 6

8. 一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积是(
-1-

)

正视图 A. 4 ? 2 6 B. 4 ? 6

侧视图 C. 4 ? 2 2

俯视图 D. 4 ? 2 )

9.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.81 B.54 C.45 D.18

10 已知三棱锥 S ? ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, AB ? 2, SA ? SB ? SC ? 2, 则三棱锥 的外接球的球心到平面 ABC 的距离是( (A) ) (D)

3 3

(B)1

(C) 3

3 3 2

11. 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=± 1 处的切线斜率均为-1,给 出以下结论:①f(x)的解析式为 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2];②f(x)的极值点有且仅有一个;③f(x)的最大值与 最小值之和等于 0.其中正确的结论有( ). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右顶点为 A,O 为坐标原点,以 A 为圆心的圆与双曲 a 2 b2 ???? ??? ? 线 C 的一条渐近线交于 P,Q 两点,若 ?PAQ ? 60? , 且OQ ? 3OP ,则双曲线 C 的离心率为( )
12 如图,已知双曲线 C :

(A)

2 3 (B) 3

7 2

(C)

39 6

(D)

3

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 f ( x) ? ln x 的图像在点 x ? 1 处的切线方程是 .

14 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为

15.已知 x ? 0, y ? 0 ,

1 2 ? ? 2 ,则 2 x ? y 的最小值为 x y ?1

.

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , A, B 是椭圆的左、右顶点, P 是椭圆上不同 2 2 a b 于 A, B 的一点,直线 PA, PB 斜倾角分别为 ? , ? ,则 | tan ? ? tan ? | 的最小值为 .
16.已知椭圆 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

-2-

17 已知函数 f ? x ? ? cos x 2 3 sin x ? cos x ? a sin 2 x 的一个零点是 期;

?

?

? .(I)求函数 f ? x ? 的最小正周 12

(II)令 x ? ? ?

? ? ?? ,求此时 f ? x ? 的最大值和最小值.( 12 分) , ? 6 4? ?

18 如图,正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD ,

AE ? 平面 CDE ,且 AE ? 1 , AB ? 2 .
(Ⅰ)求证: AB ? 平面 ADE ; (Ⅱ)求凸多面体 ABCDE 的体积. ( 12 分) 第 18 题 图

19 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn 满足 S n ? p ( S n ? an ) ? (p 为大于 0 的常数) ,且 a1 是 6a3 与 a2 的等差中项。 (I)求数列{an}的通项公式; (II)若 an·bn=2n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ( 12 分)

1 2

20.已知抛物线 C : x2 ? 4 y ,过点 P(t , 0) (其中 t ? 0 ) 两直线 l1 , l2 ,直线 l1 与抛物线 C 相切于点 Q (在第一象限 抛物线 C 相交于 A, B 两点. (Ⅰ)当 t ? 1 时,求直线 l1 的方程; (Ⅱ)求证:直线 l2 恒过定点.( 12 分) 21.设函数 f ? x ? ? ln x ?

作互相垂直的 内),直线 l2 与

k ,k?R . x

(1)若曲线 y ? f ? x ? 在点 e, f ? e? 处的切线与直线 x ? 2 ? 0 垂直,求 f ? x ? 的单调递减区间和极小 值(其中 e 为自然对数的底数); (2)若对任何 x1 ? x2 ? 0, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? x2 恒成立,求 k 的取值范围.( 12 分) 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清题号
-3-

?

?

22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ,以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为极点, x 轴 3 4

的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l : ? (2cos? ? sin ? ) ? 6 . (1)试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C1 的参数方程;
(2)在曲线 C1 上求一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. ( 10 分) 23.选修 4-5:不等式选讲

已知 a 和 b 是任意非零实数.(1)求 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值; |a| (2)若不等式 | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| a | (| 2 ? x | ? | 2 ? x |) 恒成立,求实数 x 的取值范围. ( 10 分)

2016-2017 学年度上学期高三年级期中考试 数学试题(文科)答案 一、选择题 CAACBB DAAACB

二、填空题 13. y ? x ? 1 14.28 15.3 16.1

三、解答题 17.解:(Ⅰ) f ( x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? a sin 2 x

? 2 3 sin x cos x ? cos2 x ? a sin 2 x
1 1 ? 3 sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? a(1 ? cos 2 x) 2 2
1 1 ? 3 sin 2 x ? (a ? 1) cos 2 x ? (a ? 1) , 2 2
????????????2 分
-4-

由已知 f (

π ) ? 0 ,即 12

3 sin
a ?1.

π 1 π 1 ? (a ? 1) cos ? (a ? 1) ? 0 ,解得 6 2 6 2
??????4 分

所以 f ( x) ? 3 sin 2 x ?

1 1 (1 ? 1) cos 2 x ? (1 ? 1) 2 2
???6 分

π ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 2 sin( 2 x ? ) . 6
所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)? x ? [ ?

2π ? π. 2

??7 分

π π π π π π , ] ,? ? ? 2 x ? ? ? ,???????????8 分 6 4 2 6 3 2

所以 f ( x) 在 [? , ] 上是增函数, 当x?? 当x?

π π 6 4

?????????10 分

π π π 时, f ( x) min ? f (? ) ? 2 sin( ? ) ? ?2 ; 6 2 6

π π π 时, f ( x) max ? f ( ) ? 2 sin( ) ? 3 .????????????12 分 4 3 4

18 解:(1)证明: AE ? 平面CDE, CD ? 平面CDE

? AE ? CD,
又在正方形 ABCD 中, CD ? AD

AE ? AD ? A

?CD ? 平面ADE ,
又在正方形 ABCD 中, AB / / CD

? AB / / 平面 ADE .????????????6 分
(2)法一: 连接 BD ,设 B 到平面 CDE 的距离为 h ,

? AB / /CD, CD ? 平面CDE,
-5-

? AB / /平面CDE ,又 AE ? 平面CDE ,

? h ? AE ? 1 又 S?CDE ? 1 CD ? DE ? 1 ? 2 ? 4 ? 1 ? 3 ,?VB?CDE ? 1 ? 3 ?1 ? 3
2 2

3

3

1 1 1 3 又 VB ? ADE ? ? S?ADE ? AB ? ? ?1? 3 ? 2 ? 3 3 2 3

所以 VABCDE ?

2 3 ????????????12 分 3

(19)

解: (I)当 n=1 时, 当 n≥2 时, , ,

,得



两式相减得 an=pan﹣1,即 故{an}是首项为 ,公比为 p 的等比数列, ∴ .



由题意可得:2a1=6a3+a2, 化为 6p +p﹣2=0. 解得 p= 或 ∴ (II)由(I)得 则 (舍去) . =
2



. --------------------------------------------(6 分) , , +(2n﹣1)× 2 +(2n+1)× 2
2 3 n n n+1



两式相减得﹣Tn=3× 2+2× (2 +2 +…+2 )﹣(2n+1)× 2

n+1

-6-

= =﹣2﹣(2n﹣1)× 2 ∴
n+1

, . --------------------------------------------(12 分)

20 【解析】(Ⅰ)当 t ? 1 时,设直线 l1 的斜率为 k,则直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 与抛物线方程联立 ?

? x2 ? 4 y ? y ? k ( x ? 1)

可得: x 2 ? 4kx ? 4k ? 0 ,????????2 分

由于直线 l1 与抛物线 C 相切,所以 ? ? 16k 2 ? 16k ? 0 , 求得: k ? 0 或 k ? 1 ,根据点 Q 在第一象限内,所以 k ? 1 , 从而直线 l1 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ????????5 分 (Ⅱ)设直线 l1 的斜率为 k,则 l1 直线的方程为 y ? k ( x ? t ) ,
?x 2 ? 4 y 与抛物线方程联立 ? 可得: x 2 ? 4kx ? 4kt ? 0 , y ? k ( x ? t ) ?

由于直线 l1 与抛物线 C 相切,所以 ? ? 16k 2 ? 16kt ? 0 ,解得: t ? k ?????8 分 故 Q 点坐标为 Q (2t , t 2 ) ,所以直线 l1 的斜率为

t2 ? 0 ? t ?????10 分 2t ? t

1 1 又 l1⊥l2,故设 l2 的方程为: y ? ? ( x ? t ) ,即 y ? ? x ? 1 , t t

所以直线 l2 恒过定点(0,1) ?????12 分

21.解:(1)由条件得 f ? ? x ? ?

1 k ? ? x ? 0? , x x2

∵曲线 y ? f ? x ? 在点 e, f ? e? 处的切线与直线 x ? 2 ? 0 垂直,∴此切线的斜率为 0,即

?

?

1 k f ? ? e? ? 0 ,有 ? 2 ? 0 ,得 k ? e , e e
∴ f ?? x? ?

1 e x?e ? ? 2 ? x ? 0 ? ,由 f ? ? x ? ? 0 得 0 ? x ? e ,由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? e . x x2 x

-7-

∴ f ? x ? 在 ? 0, e ? 上单调递减,在 ? e, ??? 上单调递增,当 x ? e 时, f ? x ? 取得极小值

f ? x ? ? ln e ?

e ? 2. e

故 f ? x ? 的单调递减区间为 ? 0, e ? , 极小值为 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 分 (2)条件等价于对任意 x1 ? x2 ? 0, f ? x1 ? ? x1 ? f ? x2 ? ? x2 恒成立, 设 h ? x ? ? f ? x ? ? x ? ln x ?

k ? x ? x ? 0? . x

则 h ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减, 则 h? ? x ? ?

1 k ? ? 1 ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立, x x2
2

1? 1 ? 得 k ? ? x ? x ? ? ? x ? ? ? ? x ? 0 ? 恒成立, 2? 4 ?
2

∴k ?

1 1 1 (对 k ? , h? ? x ? ? 0 仅在 x ? 时成立), 4 4 2

故 k 的取值范围是 ? , ?? ? .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 分 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清题号 (22)解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0,

?1 ?4

? ?

∴曲线 C1 的参数方程为: ?

? ? x ? 3 cos ? (? 为参数) .5 分 y ? 2sin ? ? ?

(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 cos? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | d? ? 5
∴当 sin(

| 4sin( ? ? ) ? 6 | 3 , 5

?

?

3 |4?6| ? ? ) ? ?1 时,点 P ( ? ,1) ,此时 d max ? ? 2 5 .10 分 2 3 5
-8-

(23)解:(I)? | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| 2a ? b ? 2a ? b |? 4 | a | 对于任意非零实数 a 和 b 恒成立, 当且仅当 (2a ? b)(2a ? b) ? 0 时取等号, ? | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4.5 分
|a|

(II)?| 2 ? x | ? | 2 ? x |?

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 恒成立, |a|

故 | 2 ? x | ? | 2 ? x | 不大于 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值
|a|

由(I)可知 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4.
|a|

实数 x 的取值范围即为不等式 | 2 ? x | ? | 2 ? x |? 4 的解.
解不等式得 ? 2 ? x ? 2. 10 分

-9-


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