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高一数学函数一二次函数知识点及测试题

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高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题
一次函数二次函数知识点: 一、定义不定义式: 自变量 x 和因变量 y 有如下关系: y=kx+b 则此时称 y 是 x 的一次函数。

特别地,当 b=0 时,y 是 x 的正比例函数。 即:y=kx (k 为常数,k≠0)

二、一次函数的性质: 1.y 的变化值不对应的 x 的变化值成正比例,比值为 k 即:y=kx+b (k 为任意丌为零的实数 b 取任何实数) 2.当 x=0 时,b 为函数在 y 轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质: 1.作法不图形:通过如下 3 个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道 2 点,并连成直线即可。(通常找函数图像不 x 轴和 y 轴的交点)

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2.性质:(1)在一次函数上的任意一点 P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2) 一次函数不 y 轴交点的坐标总是(0,b),不 x 轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像 总是过原点。 3.k,b 不函数图像所在象限:

当 k>0 时,直线必通过一、三象限,y 随 x 的增大而增大; 当 k<0 时,直线必通过二、四象限,y 随 x 的增大而减小。 当 b>0 时,直线必通过一、二象限; 当 b=0 时,直线通过原点 当 b<0 时,直线必通过三、四象限。

特别地,当 b=O 时,直线通过原点 O(0,0)表示的是正比例函数的图像。 这时,当 k>0 时,直线只通过一、三象限;当 k<0 时,直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式: 已知点 A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点 A、B 的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为 y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点 P(x,y),都满足等式 y=kx+b。所以可以 列出 2 个方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ② (3)解这个二元一次方程,得到 k,b 的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。

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五、一次函数在生活中的应用: 1.当时间 t 一定,距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度 f 一定,水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池中原有 水量 S。g=S-ft。

六、常用公式:(丌全,希望有人补充) 1.求函数图像的 k 值:(y1-y2)/(x1-x2) 2.求不 x 轴平行线段的中点:|x1-x2|/2 3.求不 y 轴平行线段的中点:|y1-y2|/2 4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)不(y1-y2) 的平方和)

二次函数

I.定义不定义表达式 一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0,且 a 决定函数的开口方向,a>0 时,开口方向向上,a<0 时, 开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.) 则称 y 为 x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式

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一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点 P(h,k)] 交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于不 x 轴有交点 A(x? ,0)和 物线] 注:在 3 种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a B(x?,0)的抛

III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x^2 的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴不抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x=0) 2.抛物线有一个顶点 P,坐标为 P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a ) 当-b/2a=0 时,P 在 y 轴上;当 Δ= b^2-4ac=0 时,P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。 当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。 当 a 不 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左;

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当 a 不 b 异号时(即 ab<0),对称轴在 y 轴右。 5.常数项 c 决定抛物线不 y 轴交点。 抛物线不 y 轴交于(0,c) 6.抛物线不 x 轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0 时,抛物线不 x 轴有 2 个交点。 Δ= b^2-4ac=0 时,抛物线不 x 轴有 1 个交点。 Δ= b^2-4ac<0 时, 抛物线不 x 轴没有交点。 的取值是虚数 X (x= -b±√b^2-4ac 的 值的相反数,乘上虚数 i,整个式子除以 2a) V.二次函数不一元二次方程 特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c, 当 y=0 时,二次函数为关于 x 的一元二次方程(以下称方程), 即 ax^2+bx+c=0 此时,函数图像不 x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数不 x 轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数 y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的 图象形状相同,只是位置丌同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 y=ax^2 y=a(x-h)^2 y=a(x-h)^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 (0,0) (h,0) (h,k) (-b/2a, 对 称 轴 x=0 x=h x=h x=-b/2a

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[4ac-b^2]/4a)

当 h>0 时,y=a(x-h)^2 的图象可由抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位得到, 当 h<0 时,则向左平行移动|h|个单位得到. 当 h>0,k>0 时,将抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位,再向上移动 k 个单位,就可 以得到 y=a(x-h)^2 +k 的图象; 当 h>0,k<0 时,将抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的图象; 当 h<0,k>0 时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动 k 个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的图象; 当 h<0,k<0 时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)^2+k 的图象; 因此, 研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象, 通过配方, 将一般式化为 y=a(x-h)^2+k 的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方 便. 2.抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当 a>0 时,开口向上,当 a<0 时开口向下,对 称轴是直线 x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a). 3.抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0),若 a>0,当 x ≤ -b/2a 时,y 随 x 的增大而减小;当 x ≥ -b/2a 时,y 随 x 的增大而增大.若 a<0,当 x ≤ -b/2a 时,y 随 x 的增大而增大;当 x ≥ -b/2a 时,y 随 x 的增大而减小. 4.抛物线 y=ax^2+bx+c 的图象不坐标轴的交点: (1)图象不 y 轴一定相交,交点坐标为(0,c);

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(2)当△=b^2-4ac>0,图象不 x 轴交于两点 A(x?,0)和 B(x?,0),其中的 x1,x2 是一元 二次方程 ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根.这两点间的距离 AB=|x?-x?| 当△=0.图象不 x 轴只有一个交点; 当△<0.图象不 x 轴没有交点.当 a>0 时,图象落在 x 轴的上方,x 为任何实数时,都 有 y>0;当 a<0 时,图象落在 x 轴的下方,x 为任何实数时,都有 y<0. 5.抛物线 y=ax^2+bx+c 的最值:如果 a>0(a<0),则当 x= -b/2a 时,y 最小(大)值 =(4ac-b^2)/4a. 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x、y 的三对对应值时,可设解析式为一 般形式: y=ax^2+bx+c(a≠0). (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式: y=a(x-h)^2+k(a≠0). (3)当题给条件为已知图象不 x 轴的两个交点坐标时, 可设解析式为两根式: y=a(x-x?)(x-x ?)(a≠0). 7.二次函数知识很容易不其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二 次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

二次函数
1.解析式、待定系数法

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若 f ? x ? ? x ? b x ? c ,且 f ?1 ? ? 0 , f ? 3 ? ? 0 ,求 f ? ? 1 ? 的值.
2

变式 1:若二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像的顶点坐标为 ? 2, ? 1 ? ,与 y 轴的交点
2

坐标为(0,11),则 A. a ? 1, b ? ? 4, c ? ? 11 C. a ? 3, b ? ? 6, c ? 11
2

B. a ? 3, b ? 12, c ? 11 D. a ? 3, b ? ? 12, c ? 11

变式 2:若 f ? x ? ? ? x ? ? b ? 2 ? x ? 3, x ? [ b , c ] 的图像 x=1 对称,则 c=_______. 变式 3:若二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 A ? x1 , 0 ? 、
2

B ? x 2 , 0 ? ,且 x 1 ? x 2 ?
2 2

26 9

,试问该二次函数的图像由 f ? x ? ? ? 3 ? x ? 1 ? 的图像向上平移
2

几个单位得到? 2.图像特征 将函数 f ? x ? ? ? 3 x ? 6 x ? 1 配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最
2

大值或最小值,并画出它的图像. 变式 1:已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ,如果 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? (其中 x1 ? x 2 ),则
2

? x ? x2 ? f ? 1 ?? 2 ? ?
b 2a
2

A. ?

B. ?

b a

C. c

D.

4ac ? b 4a

2

变式 2:函数 f ? x ? ? x ? px ? q 对任意的 x 均有 f ? 1 ? x ? ? f ? 1 ? x ? ,那么 f ? 0 ? 、
f ? ? 1 ? 、 f ? 1 ? 的大小关系是

y B. f ? 0 ? ? f ? ? 1 ? ? f ? 1 ? D. f ? ? 1 ? ? f ? 0 ? ? f ? 1 ?
2

A. f ? 1 ? ? f ? ? 1 ? ? f ? 0 ? C. f ? 1 ? ? f ? 0 ? ? f ? ? 1 ?

变式 3:已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像如右图所示, 请至少写出三个与系数 a、b、c 有关的正确命题_________. 3. )单调性 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x , g ? x ? ? x ? 2 x ? x ? [2, 4] ? .
2 2

O

x

(1)求 f ? x ? , g ? x ? 的单调区间;(2) 求 f ? x ? , g ? x ? 的最小值.

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变式 1:已知函数 f ? x ? ? x ? 4 a x ? 2 在区间 ? ? ? , 6 ? 内单调递减,则 a 的取值范围是
2

A. a ? 3

B. a ? 3

C. a ? ? 3

D. a ? ? 3

1 2 变式 2:已知函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 1 ? x ? 5 在区间( ,1)上为增函数,那么 f ? 2 ? 的取 2 值范围是_________. 变式 3:已知函数 f ? x ? ? ? x ? kx 在 [ 2, 4 ] 上是单调函数,求实数 k 的取值范围.
2

4.最值 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x , g ? x ? ? x ? 2 x ? x ? [2, 4] ? .
2 2

(1)求 f ? x ? , g ? x ? 的单调区间;(2) 求 f ? x ? , g ? x ? 的最小值. 变式 1:已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取
2

值范围是 A. ?1, ? ? ? B. ? 0, 2 ? C. ?1, 2 ? D. ? ? ? , 2 ?

变式 2: 若函数 y ? 3 ? x 2 ? 4 的最大值为 M, 最小值为 m, M + m 的值等于________. 则 变式 3:已知函数 f ? x ? ? 4 x ? 4 ax ? a ? 2 a ? 2 在区间[0,2]上的最小值为 3,求 a 的
2 2

值. 5.奇偶性 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, x ≥0 时,f ? x ? ? x ? 1 ? x ? . 当 画出函数 f ? x ? 的图像,并求出函数的解析式. 变式 1: 若函数 f ? x ? ? ? m ? 1 ? x 2 ? ? m 2 ? 1 ? x ? 1 是偶函数, 则在区间 ? ? ? , 0 ? 上 f ? x ? 是 A.增函数 B.减函数
2

C.常数

D.可能是增函数,也可能是常数

变式 2:若函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3 a ? b ? a ? 1 ? x ? 2 a ? 是偶函数,则点 ? a , b ? 的坐标 是________. 变式 3:设 a 为实数,函数 f ( x ) ? x 2 ? | x ? a | ? 1 , x ? R . (I)讨论 f ( x ) 的奇偶性;(II)求 f ( x ) 的最小值.

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6. (北师大版第 64 页 A 组第 9 题)图像变换
? x 2 ? 4 x ? 3, ? 3 ? x ? 0 ? 已知 f ( x ) ? ? ? 3 x ? 3, 0 ? x ?1. ? 2 ? ? x ? 6 x ? 5,1 ? x ? 6

(1)画出函数的图象;(2)求函数的单调区间;(3)求函数的最大值和最小值. 变式 1:指出函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 的单调区间.
2

变式 2:已知函数 f ( x ) ? | x 2 ? 2 ax ? b | ( x ? R ) . 给下列命题:① f ( x ) 必是偶函数; ② 当 f ( 0 ) ? f ( 2 ) 时, f ( x ) 的图像必关于直线 x=1 对称; ③ 若 a 2 ? b ? 0 ,则 f ( x ) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数; ④ f ( x ) 有最大值 | a 2 ? b | . 其中正确的序号是________.③ 变式 3:设函数 f ( x ) ? x | x | ? bx ? c , 给出下列 4 个命题: ①当 c=0 时, y ? f ( x ) 是奇函数; ②当 b=0,c>0 时,方程 f ( x ) ? 0 只有一个实根; ③ y ? f ( x ) 的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f ( x ) ? 0 至多有两个实根. 上述命题中正确的序号为 7. (北师大版第 54 页 A 组第 6 题)值域 .

求二次函数 f ( x ) ? ? 2 x 2 ? 6 x 在下列定义域上的值域: (1)定义域为 ? x ? Z 0 ? x ? 3? ;(2) 定义域为 ? ? 2,1? . 变式 1:函数 f ( x ) ? ? 2 x ? 6 x ? ? 2 ? x ? 2 ? 的值域是
2

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A. ? ? 2 0 ,
?

?

3

2 ? ? 2 ?

B. ? ? 2 0, 4 ?

C. ? ? 2 0 , ? 2
?

?

9? ?

D. ? ? 2 0 ,
?

?

9 ? ? 2?

变式 2:函数 y=cos2x+sinx 的值域是__________. 变式 3:已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx(a、b 为常数,且 a ≠ 0) ,满足条件 f (1 + x) = f (1-x),且方程 f (x) = x 有等根. (1)求 f (x) 的解析式; (2)是否存在实数 m、n(m < n) ,使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n], 如果 存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由.

8. (北师大版第 54 页 B 组第 5 题)恒成立问题 当 a , b , c 具有什么关系时,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的函数值恒大于零?恒小于
2

零? 变式 1:已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) . (I)若函数 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (II)若函数 f (x) 的值域为 R,求实数 a 的取值范围.

变式 2:已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? ? ? 2, 2 ? 时,有 f ( x ) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.

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变式 3:若 f (x) = x 2 + bx + c,不论 ?、? 为何实数,恒有 f (sin ? )≥0,f (2 + cos ? ) ≤0. (I) 求证:b + c = -1; (II) 求证: c≥3; (III) 若函数 f (sin ? ) 的最大值为 8,求 b、c 的值.

9. (北师大版第 54 页 B 组第 1 题)根与系数关系 右图是二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像,它与 x 轴交于点 ? x1 , 0 ? 和 ? x 2 , 0 ? ,试确
2

定 a , b , c 以及 x1 x 2 , x1 ? x 2 的符号.

y

变式 1:二次函数 y ? ax 2 ? b 与一次函数 y ? ax ? b ( a ? b ) 在同一个直角坐标系的图像为
x1

1
x
O

1

x2

y

y
O

y x
O

y x

O A.

x

O B.

x
C. D.

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2

2




2

线

y ? mx ? 3
2







线

C 1 : y ? x ? 5 mx ? 4 m , C 2 : y ? x ? ( 2 m ? 1) x ? m ? 3,
C 3 : y ? x ? 3 m x ? 2 m ? 3 中至少有一条相交,则 m 的取值范围是.
2

变式 3:对于函数 f (x),若存在 x0 ? R,使 f (x0) = x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点.如 果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1(a > 0)有两个相异的不动点 x1、x2. (I)若 x1 < 1 < x2,且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称,求证 m > (II)若 | x1 | < 2 且 | x1-x2 | = 2,求 b 的取值范围. 1 ; 2

10. (北师大版第 52 页例 3)应用 绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为 每瓶 4 元,每月可销售 400 瓶;若每瓶售价每降低 0.05 元,则可多销售 40 瓶.在每月的进

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货量当月销售完的前提下, 请你给该商店设计一个方安: 销售价应定为多少元和从工厂购进 多少瓶时,才可获得最大的利润? 变式 1:在抛物线 f ? x ? ? ? x ? ax 与 x 轴所围成图形的内接
2

y

矩形(一边在 x 轴上)中(如图), 求周长最长的内接矩形两边之比, 其 中 a 是正实数.
A D

x
O B C

变式 2:某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图一;B 产品的利润与投资的算术 平方根成正比, 其关系如图二 (注: 利润和投资单位: 万元) (1) 分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关 系式; (2) 该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资, 才能使企业获得最大利润?其最大利润约为多少 元(精确到 1 万元)?

变式 3:设 a 为实数,记函数 f ( x ) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a) .

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(Ⅰ)求 g(a); (Ⅱ)试求满足 g ( a )

? g(

1 a

)

的所有实数 a.

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二次函数答案
1. (人教 A 版第 27 页 A 组第 6 题)解析式、待定系数法
? b ? ? 2 ? 2a ? ?a ? 3 2 ? ? 4ac ? b ? ? 1 ,解得 ? b ? ? 1 2 ,故选 D. 变式 1: 解:由题意可知 ? 4a ? ?c ? 11 ? ?c ? 11 ? ?

变式 2: 解:由题意可知

b? 2 2

? 1 ,解得 b=0,∴

0?c 2

? 1 ,解得 c=2.
2

变式 3:解:由题意可设所求二次函数的解析式为 f ? x ? ? ? 3 ? x ? 1 ? ? k , 展开得 f ? x ? ? ? 3 x ? 6 x ? 3 ? k ,
2

∴ x1 ? x 2 ? 2 , x1 x 2 ?

3?k 3
2


26 9

2 2 ∴ x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 ?

,即 4 ?

2 ?3 ? k 3

?

?

26 9

,解得 k ?

4 3



4 2 所以,该二次函数的图像是由 f ? x ? ? ? 3 ? x ? 1 ? 的图像向上平移 单位得到的,它的 3 解析式是 f ? x ? ? ? 3 ? x ? 1 ? ?
2

4 3

2 ,即 f ? x ? ? ? 3 x ? 6 x ?

5 3



2. (北师大版第 52 页例 2)图像特征 变式 1: 解:根据题意可知
x1 ? x 2 2

4ac ? b ? x ? x2 ? ? ? ,∴ f ? 1 ?? 2a 4a 2 ? ?
b
2

2

,故选 D.

变式 2: 解: f ? 1 ? x ? ? f ? 1 ? x ? , ∵ ∴抛物线 f ? x ? ? x ? px ? q 的对称轴是 x ? 1 , ∴ ?
p 2 ? 1 即 p ? ?2 ,
2

∴ f ? x ? ? x ? 2 x ? q ,∴ f ? 0 ? ? q 、 f ? ? 1 ? ? 3 ? q 、 f ? 1 ? ? ? 1 ? q , 故有 f ? ? 1 ? ? f ? 0 ? ? f ? 1 ? ,选 C. 变式 3: 解:观察函数图像可得: ① a>0(开口方向);② c=1(和 y 轴的交点); ③ 4 a ? 2 b ? 1 ? 0 (和 x 轴的交点);④ a ? b ? 1 ? 0 ( f ?1 ? ? 0 ); ⑤ b 2 ? 4 a ? 0 (判别式);⑥ 1 ? ?
b 2a ? 2 (对称轴).

y

3. (人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)单调性

O

x

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变式 1:解: 函数 f ? x ? ? x ? 4 a x ? 2 图像是开口向上的抛物线, 其对称轴是 x ? ? 2 a ,
2

由已知函数在区间 ? ? ? , 6 ? 内单调递减可知区间 ? ? ? , 6 ? 应在直线 x ? ? 2 a 的左侧, ∴ ? 2 a ? 6 ,解得 a ? ? 3 ,故选 D. 1 2 变式 2:解:函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 1 ? x ? 5 在区间( ,1)上为增函数,由于其图像(抛物 2 线)开口向上,所以其对称轴 x ? 有
a ?1 2 ? 1 2 a ?1 2

或与直线 x ?

1 2

重合或位于直线 x ?

1 2

的左侧,即应

,解得 a ? 2 ,



f ? 2 ? ? 4 ? ? a ? 1 ? ? 2 ? 5 ? 7 ,即 f ? 2 ? ? 7 .
2

变式 3:解:函数 f ? x ? ? ? x ? kx 的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称 轴是 x ?
k 2


k 2

∵ 已知函数在 [ 2, 4 ] 上是单调函数,∴ 区间 [ 2, 4 ] 应在直线 x ? 即有
k 2 ? 2或 k 2 ? 4 ,解得 k ? 4 或 k ? 8 .

的左侧或右侧,

4. (人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题)最值 变式 1: 解:作出函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 3 的图像,
2

y

O 开口向上,对称轴上 x=1,顶点是(1,2),和 y 轴的交点是(0,3), ∴m 的取值范围是 1 ? m ? 2 ,故选 C. 变式 2: 解:函数有意义,应有 ? x 2 ? 4 ? 0 ,解得 ? 2 ? x ? 2 , ∴
0 ? ?x ? 4 ? 4 ? 0 ?
2

x

?x ? 4 ? 2 ? 0 ? 3 ?x ? 4 ? 6,
2 2

∴ M=6,m=0,故 M + m=6.
a ? ? 变式 3: 解:函数 f ? x ? 的表达式可化为 f ? x ? ? 4 ? x ? ? ? ? 2 ? 2 a ? . 2? ?
2

① 当0 ?

a 2

? 2 ,即 0 ? a ? 4 时, f

? x ? 有最小值 2 ? 2 a ,依题意应有 2 ? 2 a

?3,

很好很强很全

解得 a ? ? ②当
a 2

1 2

,这个值与 0 ? a ? 4 相矛盾.
? 0 ,即 a ? 0 时, f

?0? ?

a ? 2 a ? 2 是最小值,依题意应有 a ? 2 a ? 2 ? 3 ,
2
2

解得 a ? 1 ? ③当
a 2

2 ,又∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 ?
? 2 ,即 a ? 4 时, f

2 为所求.
2

? 2 ? ? 16 ? 8 a ? a

? 2 a ? 2 是最小值,

依题意应有 16 ? 8 a ? a 2 ? 2 a ? 2 ? 3 ,解得 a ? 5 ? 10 ,又∵ a ? 4 ,∴ a ? 5 ? 10 为所求. 综上所述, a ? 1 ?
2 或a ? 5 ?
10 .

5. (人教 A 版第 43 页 A 组第 6 题)奇偶性 变 式 1: 解 : 函 数 f ? x ? ? ? m ? 1 ? x 2 ? ? m 2 ? 1 ? x ? 1 是 偶 函 数 ? m 2 ? 1 ? 0 ?
m ? ?1 ,

当 m ? 1 时,f ? x ? ? 1 是常数; m ? ? 1 时,f ? x ? ? ? 2 x ? 1 , 当 在区间 ? ? ? , 0 ? 上 f ? x ?
2

是增函数,故选 D. 变式 2:解:根据题意可知应有 a ? 1 ? 2 a ? 0 且 b ? 0 ,即 a ?
?1 ? ,0? . ?3 ?
1 3

且 b ? 0 ,∴点 ? a , b ?

的坐标是 ?

变式 3: 解: (I)当 a ? 0 时,函数 f ( ? x ) ? ( ? x ) 2 ? | ? x | ? 1 ? f ( x ) ,此时, f ( x ) 为 偶函数; 当 a ? 0 时, f ( a ) ? a 2 ? 1 , f ( ? a ) ? a 2 ? 2 | a | ? 1 ,
f ( a ) ? f ( ? a ) , f ( a ) ? ? f ( ? a ) ,此时 f ( x ) 既不是奇函数,也不是偶函数.
2 (II) (i)当 x ? a 时, f ( x ) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ?

1 2

)

2

? a ?

3 4



若a ?

1 2

,则函数 f ( x ) 在 ( ?? , a ] 上单调递减,从而函数 f ( x ) 在 ( ?? , a ] 上的

最小值为 f ( a ) ? a 2 ? 1 . 若 a ?
f( 1 2
2 (ii)当 x ? a 时,函数 f ( x ) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ?

1 2

, 则 函 数 f ( x ) 在 ( ?? , a ] 上 的 最 小 值 为 f ( ) ?
2

1

3 4

? a ,且

) ? f (a ) . 1 2
2

)

? a ?

3 4



很好很强很全

若 a ? ?
f (? 1 2 ) ? f (a ) ,

1 2

, 则 函 数 f ( x ) 在 ( ?? , a ] 上 的 最 小 值 为 f ( ?

1 2

) ?

3 4

? a ,且

若a ? ?

1 2

,则函数 f ( x ) 在 [ a , ?? ) 上单调递增,从而函数 f ( x ) 在 [ a , ?? ) 上的

最小值为 f ( a ) ? a 2 ? 1 . 综上,当 a ? ? 当?
1 2 1 2 ? a ? 1 2 1 2

时,函数 f ( x ) 的最小值为

3 4

? a;

时,函数 f ( x ) 的最小值为 a 2 ? 1 ;
3 4 ? a .

当a ?

时,函数 f ( x ) 的最小值为

6. (北师大版第 64 页 A 组第 9 题)图像变换 变式 1: 解:函数可转化为二次函数,作出函数图像, 由图像可得单调区间. 当 x ? 0 时, y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ? ? x ? 1 ? ? 4 ,
2

y x

当 x ? 0 时, y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ? ? x ? 1 ? ? 4 .
2

作出函数图像,由图像可得单调区间.

O

x

在 ? ?? , ? 1 ? 和 ? 0,1 ? 上,函数是增函数;在 ? ? 1, 0 ? 和 ? 1, ? ? ? 上,函数是减函数. 变式 2: 解:若 a ? 1, b ? 1, 则 f ( x ) ? | x 2 ? 2 x ? 1 |? x 2 ? 2 x ? 1 ,显然不是偶函数,所以① 是不正确的; 若 a ? ? 1, b ? ? 4, 则 f ( x ) ? | x 2 ? 2 x ? 4 | ,满足 f ( 0 ) ? f ( 2 ) ,但 f ( x ) 的图像不关于 直线 x=1 对称,所以②是不正确的; 若 a 2 ? b ? 0 ,则 f ( x ) ? | x 2 ? 2 ax ? b |? x 2 ? 2 ax ? b ,图像是开口向上的抛物线,其 对称轴是 x ? a ,∴ f ( x ) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数,即③是正确的; 显然函数 f ( x ) ? | x ? 2 ax ? b | ? x ? R ? 没有最大值,所以④是不正确的.
2

很好很强很全

变式 3: 解: f ( x ) ? x | x | ? b x ? c ? ?

? x ? bx ? c, x ? 0 ?
2

?? x ? bx ? c, x ? 0 ?
2



(1)当 c=0 时, f ( x ) ? x x ? bx ,满足 f ( ? x ) ? ? f ? x ? ,是奇函数,所以①是正确的;
? x ? c, x ? 0 ? (2)当 b=0,c>0 时, f ( x ) ? x x ? c ? ? 2 , ?? x ? c, x ? 0 ?
2

方程 f ( x ) ? 0 即 ?
2

?x ? c ? 0
2

?x ? 0

或?

?? x ? c ? 0
2

?x ? 0 ?? x ? c ? 0
2



显然方程 ? 的; (3) 设

?x ? c ? 0 ?x ? 0

无解;方程 ?

?x ? 0

的唯一解是 x ? ? c ,所以② 是正确

? x0 , y 0 ? 是 函 数

f ( x) ?

x| x| ?

b x 像 上 的 任 一 点 , 应 有 ? 图 c

y 0 ? x 0 | x 0 | ? bx 0 ? c ,

而该点关于(0,c)对称的点是 ? ? x 0 , 2 c ? y 0 ? ,代入检验 2 c ? y 0 ? ? x 0 | x 0 | ? bx 0 ? c 即 ? y 0 ? ? x 0 | x 0 | ? bx 0 ? c , 也 即 y 0 ? x 0 | x 0 | ? bx 0? c , 所 以 ? ? x 0 , 2 c ? y 0 ? 也 是 函 数
f ( x ) ? x | x |? b x? 图像上的点,所以③是正确的; c

(4)若 b ? ? 1, c ? 0 ,则 f ( x ) ? x | x | ? x ,显然方程 x | x | ? x ? 0 有三个根,所以④ 是 不正确的. 7. (北师大版第 54 页 A 组第 6 题)值域 变式 1: 解: 作出函数 f ( x ) ? ? 2 x ? 6 x ? ? 2 ? x ? 2 ? 的图象, 容易发现在 ? ? 2 , ? 上 2
2

? ?

3? ?

是增函数,在 ? , 2 ? 上是减函数,求出 f ( ? 2 ) ? ? 2 0 , f ( 2 ) ? 4 , f ( ) ?
?2 ?
2

?3

?

3

9 2

,注意到函

数定义不包含 x ? ? 2 ,所以函数值域是 ? ? 2 0 , ? . 2
? ?

?

9?

变式 2:解:∵ y= cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1,令 t= sinx ? [-1,1], 则 y=-2t2+t+1,其中 t? [-1,1], 9 9 ∴y ? [-2, ],即原函数的值域是[-2, ]. 8 8 变式 3: 解:(I) ∵ f (1 + x) = f (1-x), b ∴ - = 1, 2a

很好很强很全

又方程 f (x) = x 有等根 ? a x 2 + (b-1) x = 0 有等根, 1 ∴ △= (b-1) 2 = 0 ? b = 1 ? a = - , 2 1 ∴ f (x) = - x 2 + x. 2 (II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线,对称轴为 x = 1, 1? 当 m≥1 时,f (x) 在 [m,n] 上是减函数, 1 ∴ 3m = f (x)min = f (n) = - n 2 + n (*), 2 1 3n = f (x)max = f (m) = - m 2 + m, 2 两式相减得:3 (m-n) = - 1 (n 2-m 2) + (n-m), 2

∵ 1≤m < n,上式除以 m-n 得:m + n = 8, 代入 (*) 化简得:n 2-8n + 48 = 0 无实数解. 2? 当 n≤1 时,f (x) 在 [m,n] 上是增函数, 1 ∴ 3m = f (x)min = f (m) = - m 2 + m, 2 1 3n = f (x)max = f (n) = - n 2 + n, 2 ∴ m = -4,n = 0. 3? 当 m≤1≤n 时,对称轴 x = 1 ? [m,n], ∴ 3n = f (x)max = f (1) = 1 2 ?n= 1 与 n≥1 矛盾. 6

综合上述知,存在 m = -4、n = 0 满足条件. 8. (北师大版第 54 页 B 组第 5 题)恒成立问题 变式 1: 解:(I) 函数 f (x) 的定义域为 R,即不等式 a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R, ∴应有 ?
? a>0 ? △= 4-4a < 0

? a > 1,

∴ 实数 a 的取值范围是(1,+?) . (II) 函数 f (x) 的值域为 R,即 a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+?) 的所有值. 1? 当 a = 0 时,a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1 满足要求; 2? 当 a ≠ 0 时,应有?
? a>0 ? △= 4-4a ≥0

? 0 < a≤1.

∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] . 变式 2: 解法一:(转化为最值)
f ( x ) ? 2 在 ? ? 2, 2 ? 上恒成立,即 f ( x ) ? x ? ax ? 1 ? a ? 0 在 ? ? 2, 2 ? 上恒成立.
2

⑴ ? ? a ? 4 ?1 ? a ? ? 0 , ? ? 2 ? 2 2 ? a ? ? 2 ? 2 2 ;
2

很好很强很全

? ? ? a ? 4 (1 ? a ) ? 0 ? ? f (2) ? 0 ? ⑵ ? f (?2) ? 0 ,? ? 5 ? a ? ? 2 2 ? 2 . ? ? ? a ? 2或 ? a ? ? 2 ? 2 ? 2
2

综上所述 ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 . 解法二: (运用根的分布) ⑴当 ? 在; ⑵当 ? 2 ? ?
a 2 ? 2 ,即 ? 4 ? a ? 4 时,应有 g ( a ) ? f ( ?
a 2 ? ? 2 ,即 a ? 4 时,应有 g ( a ) ? f ( ? 2) ? 7 ? 3 a ? 2 , 即 a ? 5 3

,? a 不存

a 2

) ? ?

a

2

?a?3 ? 2 ,

4

即 - 2 2 ? 2 ? a ? 2 2 ? 2 ,? ? 4 ? a ? 2 2 ? 2 ; ⑶当 ?
a 2 ? 2 , 即 a ? ? 4 时 , 应 有 g ( a )?

f ( 2? )

? a ? , 即 a ? ?5 7 2



? ?5 ? a ? ?4

综上所述 ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 . 变式 3: 证明:(I) 依题意,f (sin

?
2

) = f (1)≥0,f (2 + cos ?) = f (1)≤0,

∴ f (1) = 0 ? 1 + b + c = 0 ? b + c = -1, (II) 由 (I) 得: f (x) = x 2-(c + 1) x + c (*) ∵ f (2 + cos ? )≤0 ? (2 + cos ? ) 2-(c + 1) (2 + cos ? ) + c≤0 ? (1 + cos ? ) [c-(2 + cos ? )]≥0,对任意 ? 成立. ∵ 1 + cos ? ≥0 ? c≥2 + cos ? , ∴ c≥(2 + cos ? )max = 3. (III) 由 (*) 得:f (sin ? ) = sin 2?-(c + 1) sin ? + c, 设 t = sin ? ,则 g(t) = f (sin ? ) = t 2-(c + 1) t + c,-1≤t≤1, 这是一开口向上的抛物线,对称轴为 t = 3+1 由 (II) 知:t≥ = 2, 2 ∴ ∴ ∴ ∴ g(t) 在 [-1,1] 上为减函数. g(t)max = g(-1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8, c=3 b = -c-1 = -4. c+1 , 2

9. (北师大版第 54 页 B 组第 1 题)根与系数关系 变 式 1: 解 : 二次函数 y ? ax 2 ? b 与一次函 数图象 y ? ax ? b 交于两点 ( o , b ) 、

很好很强很全

(1, a ? b ) ,由二次函

数图象知 a , b 同号,而由 B , C 中一次函数图象知 a , b 异号,互相矛盾,故舍去 B , C . 又由 a ? b 知,当 a ? b ? 0 时, ?
? b a ? ? 1 ,与 D 中图形相符. b a ? ? 1 ,此时与 A 中图形不符,当 0 ? a ? b 时,

变 式

2 :
2

解 : 原 命 题 可 变 为 : 求 方 程 mx ? 3 ? x 2 ? 5 mx ? 4 m ,
2

mx ? 3 ? x ? ( 2 m ? 1) x ? m
mx ? 3 ? x
2

? 3,

“三个方程 ? 3 mx ? 2 m ? 3 中至少有一个方程有实数解,而此命题的反面是:

均无实数解” ,于是,从全体实数中除去三个方程均无实数解的 m 的值,即得所求.
?( 4 m ) ? 4 ( ? 4 m ? 3) ? 0, ? 3 2 2 解不等式组 ? ( m ? 1) ? 4 m ? 0 , 得 ? ? m ? ?1 , 2 ? 2 4 m ? 4(?2 m ) ? 0, ?
2

故符合条件的 m 取值范围是 m ? ?

3 2

或 m ? ?1 . b , 2a

变式 3: 解:(I) 由 f (x) 表达式得 m = -

∵ g(x) = f (x)-x = a x 2 + (b-1) x + 1,a > 0, 由 x1,x2 是方程 f (x) = x 的两相异根,且 x1 < 1 < x2, b b 1 1 ∴ g(1) < 0 ? a + b < 0 ? - > 1 ? - > ,即 m > . a 2a 2 2 (II) △= (b-1) 2-4a > 0 ? (b-1) 2 > 4a, x1 + x2 = 1-b 1 ,x1x2 = , a a

1-b 2 4 ∴ | x1-x2 | 2 = (x1 + x2) 2-4x1x2 = ( ) - = 2 2, a a ∴ (b-1) 2 = 4a + 4a 2 (*) 又 | x1-x2 | = 2, ∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 1-b 的距离都为 1, 2a

要 g(x) = 0 有一根属于 (-2,2), 则 g(x) 对称轴 x = ∴ -3 < 1-b ? (-3,3), 2a

b-1 1 < 3 ? a > | b-1 |, 2a 6 2 1 | b-1 | + (b-1) 2, 3 9

把代入 (*) 得:(b-1) 2 >

很好很强很全

解得:b <

1 7 或 b> , 4 4 1 7 )∪( ,+?). 4 4

∴ b 的取值范围是:(-?,

10. (北师大版第 52 页例 3)应用 变式 1: 解:设矩形 ABCD 在 x 轴上的边是 BC,BC 的长是 x(0<x<a),
?a? x a ? x ? ? a ? x ? , , 0 ? ,A 点的坐标为 ? 则 B 点的坐标为 ? ?. 2 4 ? 2 ? ? ?
2 2

设矩形 ABCD 的周长为 P, 则 P=2 ? x ?
? ? a ? x ? 1 2 a 1 a 2 ? ? ?x ? 2? ? ? 2 (0<x<a). ? ? ? x ? 2x ? 4 2 2 2 2 ?
2 2 2 2

① 若 a>2, 则当 x=2 时, 矩形的周长 P 有最大值, 这时矩形两边的长分别为 2 和 两边之比为 8: ? a 2 ? 4 ? ; ②若 0 <a≤2,此时函数 P= ? 矩形不存在.
1 2

a ? x
2

2



4

?x ? 2?

2

?

a

2

? 2 无最大值,也就是说周长最大的内接

2

综上所述,当 a>2 时,周长最大的内接矩形两边之比为 8: ? a 2 ? 4 ? ;当 0 <a≤2 时,周 长最大的内接矩形不存在. 变式 2: 解:(I) 依题意设 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为 f (x) = kx,g(x) = m x , 由 f (1) = k = 0.25, g(4) = 2m = 2.5 ? m = ∴ f (x) = 1 5 x(x≥0) ,g(x) = 4 4 1 5 (10-x) + 4 4 x . 5 , 4

(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元,则在 A 产品投资 10-x 万元, ∴ 企业的利润 y = ∴ x = x = 1 5 65 [-( x - ) 2 + ](0≤x≤10) , 4 2 4

5 65 ,即 x = 6.25 万元时,企业获得最大利润 ≈4 万元. 2 16

答: A 产品投资 3.75 万元, B 产品投资 6.25 万元, 在 在 企业获得最大利润约 4 万 元. 变式 3: 解:设 t ? ?1 ? x ? 1,
1? x ? 1 ? x ,要使 t 有意义,必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 ,即

∵ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ? [ 2 , 4 ] ,且 t ? 0 ??① ∴ t 的取值范围是 [ 2 , 2 ] .
2 由①得: 1 ? x ?

1 2

t

2

? 1,

很好很强很全

2 不妨设 m ( t ) ? a ( t ? 1 ) ? t ?

1

1 2

at

2

? t ? a , t ? [ 2 ,2 ] .
2

2

(I)由题意知 g ( a ) 即为函数 m (t ) ?

1 2

at

? t ? a , t ? [ 2 , 2 ] 的最大值,

当 a ? 0 时, m ( t ) ? t , t ? [ 2 , 2 ] ,有 g ( a ) =2; 当 a ? 0 时,此时直线 t ? ?
1 a

是抛物线 m (t ) ?

1 2

at

2

? t ? a 的对称轴,

∴可分以下几种情况进行讨论: (1)当 a ? 0 时,函数 y ? m (t ) , t ? [ 2 , 2 ] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t ? ?
1 a ? 0 知 m (t ) 在 t ? [ 2 , 2 ] 上单调递增,故 g ( a ) ? m ( 2 ) ? a ? 2 ;

(2)当 a ? 0 时, ,函数 y ? m (t ) , t ? [ 2 , 2 ] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若t ? ? 若t ? ? 若t ? ?
1 a 1 a 1 a

? (0,

2] 即a ? ?

2 2

时, g ( a ) ? m ( 2 ) ?
,? 1 2 ] 时, g ( a ) ? m ( ?

2 ,
1 a ) ? ?a ? 1 2a

? ( 2 ,2 ] 即 a ? ( ?
? ( 2 , ?? ) 即 a ? ( ?
1 2

2 2



, 0 ) 时, g ( a ) ? m ( 2 ) ? a ? 2 .

? a ? 2 ? ? 1 ? 综上所述,有 g ( a ) = ? ? a ? 2a ? ? 2 ? ?

(a ? ? , (? 2 2 (a ? ?

1 2

) 1 2 ).

? a ? ? 2 2

)

1 1 1 1 (II)若 a>0,则 >0,此时 g(a)=g( ) ? a+2= +2 ? a = ?a =1(舍去 a=-1); a a a a 1 1 1 1 若- <a<0,则 <-2,此时 g(a)=g( ) ? a+2= 2 ? a=-2+ 2 <- (舍 2 a a 2 去); 2 1 1 <a≤- ,则-2≤ <- 2 , 2 2 a 1 1 2 此时 g(a)=g( ) ? -a- = 2 ? a=- (舍去); a 2a 2 2 1 2 若- 2 ≤a≤- ,则- 2 ≤ ≤- , 2 a 2 1 此时 g(a)=g( ) ? 2 = 2 恒成立; a 2 1 1 若-2≤a<- 2 ,则- < ≤- , 2 a 2 1 1 2 此时 g(a)=g( ) ? 2 =-a- ? a=- (舍去); a 2a 2 1 1 若 a<-2,则- < <0, 2 a 1 此时 g(a)=g( ) ? 2 = a+2? a=-2+ 2 >-2 (舍去) . a 若-

很好很强很全

综上所述,满足 g ( a )

? g(

1 a

)

的所有实数 a 为: ?

2 ? a ? ?

2 2

或a ? 1 .


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