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最新人教版高中数学必修5第一章《解三角形的进一步讨论》习题详解


习题详解 (课本第 10 页习题 1.1)? ?A 组? 1.(1)A≈38 cm,B≈39 cm,B≈80°;? (2)A≈38cm,B≈56 cm,C =90° .? 2.(1)A≈114°,B≈43°,A≈35 cm;A≈20°,B≈137°? ,A≈13 cm;? (2)B≈35°,C≈85°,C≈17 cm;? (3)A≈97°,B≈58°,A≈47 cm;A≈33°,B≈122°,A≈26 cm.? 3.(1)A≈49°,B≈24°,C≈62 cm;? (2)A≈59°,C≈55°,B≈62 cm;? (3)B≈36°,C≈38°,A≈62 cm.? 4.(1)A≈36°,B≈40°,C≈104°;? (2)A≈48°,B≈93°,C≈39°. ?B 组? (1) 1.证明:如图(1) ,设△ ABC 的外接圆的半径是 R,当△ ABC 是直角三角形,∠C=90° 时, △ ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 O 在 Rt△ ABC 的 斜 边 AB 上 . 在 Rt△ ABC 中 , BC AC ? sin A, ? sin B , AB AB a b ? sin A, ? sin B ,? 即 2R 2R 所以 A=2RsinA,B=2RsinB.? (2) 又 C =2R=2R· sin90° =2RsinC.? 所以 A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC.? 当△ ABC 是锐角三角形时,它的外接圆的圆心 O 在三角形内〔图(2) 〕.作过 O、B 的直径 A、B,联结 A1C,则△ A1BC 是直角三角形,∠A1CB=90° ,∠BAC=∠BA1C.在 Rt△ A1BC 中, ? a BC ? sin ?BA1C ? sin A .? ? sin ?BA1C ,即 2R A1 B 所以 A=2RsinA.? 同理,B=2RsinB,C =2RsinC.? 当△ ABC 是钝角三角形时, 不妨设∠A 为钝角, 它的外接圆的圆心 O 在△ ABC 外 〔图 (3) 〕 , 作过 O, B 的直径 A1B, 联结 A1C, 则△ A1CB 是直角三角形, ∠A1CB=90° , ∠BA1C=180° -∠BAC. 在 Rt△ A1BC 中,BC=2Rsin∠BA1C,? (3) 即 A=2Rsin(180° -∠BAC),? 即 A=2RsinA.? 类似可证,B=2RsinB,C =2RsinC.? 综上, 对任意三角形△ ABC, 如果它的外接圆半径等于 R, 则 A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC. 2.因为 A=cosA=bcosB,所以 sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,?? 因为 0<2A,2B<2π,所以 2A=2B 或 2A=π-2B,? 即 A=B 或 A+B= ? .所以三角形是等腰三角形或是直角三角形.? 2 ? 或 A-B=0,? 2 在得到 sin2A=sin2B 后,也可以化成 sin2A-sin2B=0.? 所以 cos(A+B)sin(A-B)=0,A+B= 即 A+B= ? 或 A=B.得到问题的结论.?? 2

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