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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第六篇 数列第1讲 数列的概念与简单表示法)


第1讲 数列的概念与简单表示法

【2013年高考会这样考】 1.以数列的前几项为背景,考查“归纳—推理”思想. 2.考查已知数列的通项公式或递推关系,求数列的某项. 3.考查由数列的递推关系式求数列的通项公式,已知Sn与an的关系求 an等. 【复习指导】 1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主. 2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证. 3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通 项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.

基础梳理 1.数列的定义

一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列 按照一
的项.

2.数列的分类

分类原 则
按项数 分类 按项与 项间 的大小 关系 分类 递增数列

类型
有穷数列 无穷数列 an+1 > an

满足条件
项数 项数无限
有限

递减数列
常数列

an+1 < an
an+1=an

其中
n∈N+

按其他 标准分 类

有界数列

存在正数M,使 |an|≤M an的符号正负相间 ,如1,-1,1,- 1,?

摆动数列

3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是 列表法 、 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子 an=f(n) 来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

图象法和 解析法 .

5.Sn与an的关系 已知Sn,则an=
?a ≥a ? n n-1, ? ?an≥an+1. ? ?S ,n=1, ? 1 ? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

在数列{an}中,若an最大,则

?a ≤a ? n n-1, ? 若an最小,则 ?an≤an+1. ?

一个联系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集 上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是 数列.因此,在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考 虑数列方法的特殊性. 两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两 个数列,这有别于集合中元素的无序性. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现.

三种方法 由递推式求通项an的方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法; an+1 (2) =f(n)型,采用叠乘法; an (3)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型,采用待定系数法转化为等比数列解 决.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)已知数列{an}的前4项分别为2,0,2,0,则下 列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是( A.an=1+(-1)n+1 C.an=1-cos nπ B.an=2sin nπ 2 ).

?2,n为奇数 ? D.an=? ?0,n为偶数 ?

解析 根据数列的前4项验证. 答案 B

2.在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1,则a5的值为( A.30 解析 B.31 C.32 D.33

).

a5=2a4+1=2(2a3+1)+1=22a3+2+1=23a2+22+2+1=24a1+

23+22+2+1=31. 答案 B

3.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.不确定

).

解析 ∵an+1-an-3=0,∴an+1-an=3>0,∴an+1>an. 故数列{an}为递增数列. 答案 A

4.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( A.15 B.16 C.49 D.64

).

解析 由于Sn=n2,∴a1=S1=1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,又a1=1适合上式. ∴an=2n-1,∴a8=2×8-1=15. 答案 A

5.(2012· 泰州月考)数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,?中x的值为 ________. 解析 观察数列中项的规律,易看出数列从第三项开始每一项都是其 前两项的和. 答案 21

考向一 由数列的前几项求数列的通项 【例 1】?写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2)2,4,8,16,32,?; 3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , ,?; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,?. [审题视点] 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项之间 的关系,项与前后项之间的关系.

解 (1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1. (2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23,24,?,所以 an 2n-1 = n . 2 (3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n;各项绝对值 的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数 项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1,偶数项为 2+1,所以 an=(- 2+?-1?n 1)n· . n ? 1 ?-n,n为正奇数, 也可写为 an=? ?3,n为正偶数. ?n

9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为: , , , ,?, 3 3 3 3 分母都是 3,而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?,所以 an 1 = (10n-1). 3

根据数列的前几项求通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下 几方面的特征:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3) 拆项后的特征:把数列的项分成变化的部分和不变的部分;(4)各项符号 特征.若关系不明显时,应将部分项作适当的变形,统一成相同的形式, 让规律凸现出来.

【训练 1】 已知数列{an}的前四项分别为 1,0,1,0,给出下列各式: 1-?-1?n 1+?-1?n 1-cos nπ 2nπ ①an= ;②an= ;③an=sin 2 ;④an= ;⑤ 2 2 2
?1?n为正偶数? ? an=? ?0?n为正奇数? ?

1+?-1?n+1 ;⑥an = +(n-1)(n-2).其中可以作为 2

数列{an}的通项公式的有________(填序号). 答案 ①③④

考向二 由 an 与 Sn 的关系求通项 an 【例 2】?已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n-1,则它的通项公式为 an =________. [审题视点] 利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)求解. 解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=2·n-1;当 n=1 时, 3 a1=S1=2 也满足 an=2·n-1. 3 故数列{an}的通项公式为 an=2·n 1. 3 答案 2·n-1 3


?S ,n=1, ? 1 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=? ?Sn-Sn-1, ?

n≥2.

当 n=1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.

【训练 2】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为 ________. 解析 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当 n≥2 时,n=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5, a 显然当 n=1 时,不满足上式. 故数列的通项公式为
?2,n=1, ? an=? ?6n-5,n≥2. ?

答案

?2,n=1 ? an=? ?6n-5,n≥2 ?

考向三 由数列的递推公式求通项 【例 3】?根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; n-1 (2)a1=1,an= a (n≥2); n n-1 (3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an. [审题视点] (1)可用构造等比数列法求解.(2)可转化后利用累乘法求 解.(3)可利用累加法求解.

解 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), an+1+1 ∴ =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, an+1 又 a1+1=2,∴an+1=2·n-1,∴an=2·n-1-1. 3 3 n-1 n-2 1 (2)∵an= an-1(n≥2),∴an-1= an-2,?,a2=2 a1.以上(n-1)个 n n-1 式子相乘得 n-1 a1 1 12 an=a1··· ?· = = . 23 n n n (3)∵an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2), n?3n+1? ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1= (n≥2). n 当 2 1 3 n =1 时,a1=2×(3×1+1)=2 符合公式,∴an=2n2+2.

已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、 构造法求解.当出现an=an-1+m时,构造等差数列;当出现an=xan-1 +y时,构造等比数列;当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解;当出 an 现 =f(n)时,用累乘法求解. an-1

【训练3】 根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式,求其通项公 式. (1)a1=1,an=an-1+3n 1(n≥2);
? 1? (2)a1=2,an+1=an+ln?1+n?. ? ?


解 (1)∵an=an-1+3n 1(n≥2),∴an-1=an-2+3n 2, an-2=an-3+3n-3, ? a2=a1+31, 以上(n-1)个式子相加得 an=a1+3 +3 +?+3
1 2 n-1





=1+3+3 +?+3

2

n-1

3n-1 = 2 .

? 1? ?1+ ?, (2)∵an+1=an+ln n? ? ? n+1 1? ?1+ ?=ln ∴an+1-an=ln , n? n ?

n-1 n ∴an-an-1=ln ,an-1-an-2=ln , n-1 n-2 ? 2 a2-a1=ln , 1 以上(n-1)个式相加得, n-1 n 2 ∴an-a1=ln +ln +?+ln =ln n.又a1=2, 1 n-1 n-2 ∴an=ln n+2.

考向四 数列性质的应用 【例4】?已知数列{an}的通项an=(n+1)
?10? ? ? n(n∈N+),试问该数列{an} ?11 ?

有没有最大项?若有,求最大项的项数;若没有,说明理由. [审题视点] 作差:an+1-an,再分情况讨论. 解
?10? + ?10? ?10? 9-n n 1 n ∵an+1-an=(n+2)?11 ? -(n+1)?11 ? =?11 ?n 11 . ? ? ? ? ? ?

当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an; 故a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?,所以数列中有最大项为第 9,10项.

(1)数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的知识, 函数的思想方法来解决. (2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数 列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用①作 差法,②作商法,③结合函数图象等方法.

【训练4】 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+24n(n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少? 解 (1)n=1时,a1=S1=23. n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25.经验 证,a1=23符合an=-2n+25, ∴an=-2n+25(n∈N*). (2)法一 ∵Sn=-n2+24n,∴n=12时,Sn最大且Sn=144. 法二 ∵an=-2n+25, 25 ∴an=-2n+25>0,有n< 2 .∴a12>0,a13<0, 故S12最大,最大值为144.

难点突破13——数列中最值问题的求解 从近几年新课标高考可以看出,对求数列中的最大项是高考的热点, 一般难度较大.解决这类问题时,要利用函数的单调性研究数列的最 值,但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同,其自变量的取 值是不连续的,只能取正整数,所以在求数列中的最大(小)项时,应 注意数列中的项可以是相同的,故不应漏掉等号.

an 【示例1】? (2010· 辽宁)已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则 n 的最小值为________.

【示例2】? ________.

? ?2? ? (2011· 浙江)若数列 ?n?n+4??3?n? 中的最大项是第k项,则k= ? ? ? ?

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