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(2)人教版A数学必修二综合测试题

人教版 A 数学必修二综合测试题 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.下列叙述中,正确的是( )

(A) 因为 P ? ? , Q ? ? , 所以 PQ ? ? (B) 因为 P?? , ? ? , Q 所以 ? ? ? =PQ (C)因为 AB ? ? ,C ? AB,D ? AB,所以 CD ? ? (D)因为 AB ? ? , AB ? ? ,所以 A ? (? ? ? ) 且 B ? (? ? ? ) 2.已知直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,则该直线 l 的倾斜角为( ). (A) 30? (B) 45? (C) 60? (D)135?

3.已知点 A( x,1, 2)和点B(2,3,4),且 AB ? 2 6 ,则实数 x 的值是( ). (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2 ) .

4.长方体的三个面的面积分别是 2、 3、 6 , 则长方体的体积是 ( A. 3 2 B. 2 3 C. 6 D.6 ( D、 4? a 2 )

5.棱长为 a 的正方体内切一球,该球的表面积为 A、 ? a 2 B、2 ? a 2 C、3 ? a 2

6.若直线 a 与平面 ? 不垂直, 那么在平面 ? 内与直线 a 垂直的直 ( ) (A)只有一条(B)无数条(C)是平面 ? 内的所有直线(D)不存在 7.已知直线 l 、 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,给出下列四个命题: ①若m∥ l ,n∥ l ,则m∥n ③若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n 其中假命题是( ). ... (A) ① (B) ② (C) ③ (D) ③④ ). ②若m⊥? ,m∥?, 则? ⊥? ④若 m⊥? ,? ⊥? ,则 m∥?

8.在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

9.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆, 那么这个几何体的侧面积为 ... ( (A)
? 4
5 ? 4 3 (D) ? 2

) .

主视图

左视图

(B)

(C) ?

2 2 10.直线 x ? 2y ? 3 ? 0 与圆 (x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9 交于 E、F

两点,则 ? EOF(O 是原点)的面积为( A. 2 5
3 B. 4
3 C. 2

).
俯视图

6 5 D. 5

11.已知点 A(2,?3) 、B(?3,?2) 直线 l 过点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直 线 l 的斜率的取值 k 范围是 ( A、 k ? 或 k ? ?4
3 4 3 4


1 4

B、 k ? 或 k ? ?

C、 ? 4 ? k ?

3 4

D、 ? k ? 4

3 4

2 12.若直线 y ? kx ? 4 ? 2k 与曲线 y ? 4 ? x 有两个交点,则 k 的取值

范围是( ). A. ?1, ? ? ?
3 [?1, ? ) 4 B.

3 ( , 1] C. 4

D. (??, ? 1]

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.如果对任何实数 k, 直线(3+k)x+(1-2k)y+1+5k=0 都过一个定 点 A,那么点 A 的坐标是 .

14.空间四个点 P、A、B、C 在同一球面上,PA、PB、PC 两两垂直, 且 PA=PB=PC=a,那么这个球面的面积是 .

2 2 15.已知圆O1 : x2 ? y2 ? 1与圆O2 (x-3)? y+4)? 9 ,则圆O1与圆O2 的位置 : (

关系为



16.如图①,一个圆锥形容器的高为 a ,内装 一定量的水.如果将容器倒置,这时所形成的 圆锥的高恰为 (如图②),则图①中的水面高度 为 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.
y

a

a 2





17.(本小题满分 12 分) 如图,在 ? OABC 中,点 C(1,3). (1)求 OC 所在直线的斜率; (2) 过点 C 做 CD⊥AB 于点 D, CD 所在直线的方程. 求 18. 本小题满分 12 分) ( 如图, 已知正四棱锥 V- ABCD 中, AC与BD交于点M,VM 是棱锥的高 ,若 AC ? 6cm ,
VC ? 5cm ,求正四棱锥 V - ABCD 的体积.
A D M B C
O C B D

1

A

x

V

19.(本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.
E A D F B C A1 D1 B1 C1

20. (本小题满分 12 分)已知直线 l1 :mx-y=0 , l2 :x+my-m-2=0 (Ⅰ)求证:对 m∈R, l1 与 l2 的交点 P 在一个定圆上; (Ⅱ)若 l1 与定圆的另一个交点为 P1 , l2 与定圆的另一交点为 P2 , 求当 m 在实数范围内取值时,△ PP1 P2 面积的最大值及对应的 m.
新疆

王新敞
学案

21. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 a 的正方体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 中, (1)作出面 A1BC1 与面 ABCD 的交线 l ,判断 l 与 线 AC1 位置关系,并给出证明; 1 (2)证明 B1D ⊥面 A1BC1 ; (3)求线 AC 到面 A1BC1 的距离; (4)若以 D 为坐标原点,分别以 DA, DC, DD1 所在的 直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系, 试写出 B, B1 两点的坐标. 22.(本小题满分 14 分) 已知圆 O: x2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P(a, b) 向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q,且满足
PQ ? PA .
Q
0 2 2

y

A

x P

(1) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值;

(3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点, 试求半径取最小值时 圆 P 的方程.

参考答案 一.选择题 二.填空题 16.
(1 ?
3

DBACA

BDCCD

AB
2 14. 3?a

13. (?1, 2)

15. 相 离

7 )a 2

三.解答题 17. 解: (1)? 点 O(0,0),点 C(1,3),
?

OC 所在直线的斜率为 kOC ? 3 ? 0 ? 3 .
1? 0

(2)在 ? OABC 中, AB // OC ,
?
?

CD⊥AB,? CD⊥OC.
3

CD 所在直线的斜率为 kCD ? ? 1 .
1 3

? CD 所在直线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1), x ? 3 y ?10 ? 0 . 即

18. 解法 1:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,
V

D A M B

C

且 S ABCD

1 1 1 AC ? BD ? ? 6 ? 3 (cm). 2 2 2 1 1 2 ? ? AC ? BD ? ? 6 ? 6 ? 18 (cm ). 2 2 ? MC ?

? VM是棱锥的高 ,
? Rt△VMC 中, VM ? VC2 ? MC2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm).

? 正四棱锥 V- ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm ).

1 3

1 3

3

解法 2:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形,
? MC ? 1 AC ? 1 BD ? 1 ? 6 ? 3 (cm).
2 2 2

且 AB ? BC ?

2 AC ? 3 2 (cm) 2
2

.

? SABCD ? AB2 ? (3 2)2 ? 18 (cm ).

? VM是棱锥的高 ,
? Rt△VMC 中, VM ? VC2 ? MC2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm). ? 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm ).
1 3 1 3
3

19. (1)证明:连结 BD.
y

在长方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又? E、F 为棱 AD、AB 的中点,
? EF // BD .
P1 O

P P2(2,1)

? EF // B1D1 .

x

又 B1D1∥平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,
?

EF∥平面 CB1D1.

(2)? 在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1∥平面 A1B1C1D1,
?

AA1⊥B1D1.

又? 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1,

?

B1D1⊥平面 CAA1C1.

又? B1D1∥平面 CB1D1,
? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

20. 解:(Ⅰ) l1 与 l2 分别过定点(0,0)、(2,1),且两两 垂直,∴ l1 与 l2 的交点必在以(0,0)、(2,1)为一条直径的圆: x( x ? 2) ? y( y ? 1) ? 0 即
x 2 ? y 2 ? 2x ? y ? 0
新疆

王新敞
学案

(Ⅱ)由(1)得 P1 (0,0)、 P2 (2,1),
4 1 此时 OP 与 P1 P2 垂直,由此可得 m=3 或 ? . 3

∴⊿ PP1 P2 面积的最大值必为 1 ? 2r ? r ? 5 .
2

21.解:(1)在面 ABCD 内过点 B 作 AC 的平行线 BE ,易知 BE 即为直 线l , ∵ AC ∥ AC1 , AC ∥ l ,∴ l ∥ AC1 . 1 1 (2)易证 AC1 ⊥面 DBB1D1 ,∴ AC1 ⊥ B1D ,同理可证 A1 B ⊥ 1 1 B1D , 又 AC1 ? A1 B = A1 ,∴ B1D ⊥面 A1BC1 . 1 (3)线 AC 到面 A1BC1 的距离即为点 A 到面 A1BC1 的距离,也 就是点 B1 到面 A1BC1 的距离,记为 h ,在三棱锥 B1 ? BAC1 中有 1
1 1 3a . VB1 ?BA1C1 ? VB? A1B1C1 ,即 S?A1BC1 ? h ? S ?A1B1C1 ? BB1 ,∴ h ? 3 3 3

(4) C(a, a,0), C1 (a, a, a) 22. 解:(1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ , 由勾股定理有
PQ ? OP ? OQ
2 2 2

y
2

A

.
O 2
2

又由已知 PQ ? PA ,故 PQ

? PA

2

.

x P

Q

即: (a2 ? b2 ) ?12 ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 . 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? 5 5

.

故当 a ? 6 时, PQ min ? 2
5

5

5. 即线段

PQ 长的最小值为 2
5

5.

解法 2:由(1)知,点 P 在直线 l:2x + y-3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ,即求点 A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min = | 2×2 + 1-3 | 2 5 = . 5 22 + 12

(3)设圆 P 的半径为 R ,
? 圆 P 与圆 O 有公共点,圆

O 的半径为 1,

? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ? 1 .

而 OP

6 9 ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? , 5 5
5
5 5.

故当 a ? 6 时, OP min ? 3 此时,
b ? ?2 a ? 3 ?

3 , Rmin ? 3 5 ? 1 . 5 5
5 5 5 5 ? 1) 2 .

得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 )2 ? ( y ? 3 )2 ? ( 3

解法 2: 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切(取 小者) 的情形, 而这些半径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1, 圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l’ 与

l 的交点 P0. r =
3 3 5 -1. 2 2 -1 = 5 2 + 1
Q
2

y

A
P0
O 2

又 l’:x-2y = 0, 解方程组
? x ? 2 y ? 0, ? ?2 x ? y ? 3 ? 0

x P

,得

6 ? ?x ? 5 , ? ? ?y?3 ? 5 ?

.即

l

P0(

6 3 , ). 5 5
5 5 5 5 ? 1) 2 .

∴ 所求圆方程为 ( x ? 6 )2 ? ( y ? 3 )2 ? ( 3


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