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不等式选讲练习试题

不等式选讲练习试题

不等式选讲练习题

一、选择题(每题5分)

1.设集合

,则

=(



A.

B.

C.

D.

2.不等式

的解集为(



A.

B.

C.

3.已知 a>0,b>0,且 2a+b=ab,则 a+2b 的最小值为(

A.5+

B.

C.5

D. )

D.9

4.已知 M 是△ABC 内的一点,且

,∠BAC= ,若△MBC,△MCA,

△MAB 的面积分别为 ,x,y,则 的最小值为(

)

A.16

B.18

C.20

5.下列命题中正确的是(

)

D.24

A.当 x>0 且 x≠1 时,

B.当

C.当

的最小值为

D.当 0<x≤2 时, 无

最大值

6.设 a>b>0,则 a ? 1 ? 1 的最小值为(

)

b a?b

A.2

B.3

C.4

D.3+2

7.设 a>0,b>0 若 是 3a 与 3b 的等比中项,则

的最小值(

)

A.

B.

C.4

D.

8.已知 a>0,b>0, 2 ? 1 ? 1 ,若不等式 2a+b≥4m 恒成立,则 m 的最大值为 ab 4

(

)

1 / 12

不等式选讲练习试题

A.10

B.9

二、填空题(每题5分)

9.不等式 x+|2x+3|≥2 的解集为

C.8

D.7

10.已知 f(x)=|log3x|,若 f(a)=f(b)且 a≠b.则





的取值范围

11.下列函数中:(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

,其中最小值为 2 的函数



(填正确命题的序号)

12.已知 a>0,b>0,ab﹣(a+b)=1,则 a+b 的最小值为为

13、已知 n>0, 则 2n ? 4 的最小值为 n2

14、函数 y ? (3 ? 2x)2 x, x ? (0, 3) 的最大值为 2
15、已知扇形的周长为定值 P,则该扇形面积的最大值为

16、已知扇形的面积为定值 S,则该扇形周长的最小值为

三、解答题

17. (10 分)己知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=2。

(1)求证:ab+bc+ac≤ ;
(2)若 a,b,c 都小于 1,求 a2+b2+c2 的取值范围.

2 / 12

不等式选讲练习试题
18. (12 分)已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|. (I)求关于 x 的不等式 f(x)<2 的解集; (Ⅱ)如果关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范 围.

19. (12 分)若

,且

(Ⅰ) 求

的最小值;

(Ⅱ)是否存在 ,使得

. ?并说明理由.

20. (12 分)设函数 =

(Ⅰ)证明:

2;

(Ⅱ)若

,求 的取值范围.

3 / 12

不等式选讲练习试题 21、(12 分)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0 (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围。
22、(12 分)设 a、b、c、d 均为正数,且 a+b=c+d,证明:
(1) 若ab ? cd,则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是|a-b|<|c-d|的充要条件。(注:若 p ? q ,则称 p 是 q 的充要条件,q 也是 p 的充要条件。)
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不等式选讲练习试题

试卷答案 1. 2.D 3.D 【考点】基本不等式. 【专题】转化思想;数学模型法;不等式.

【分析】a>0,b>0,且 2a+b=ab,可得 a= >0,解得 b>2.变形

a+2b= +2b=1+ +2(b﹣2)+4,利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵a>0,b>0,且 2a+b=ab,

∴a= >0,解得 b>2.

则 a+2b= +2b=1+ +2(b﹣2)+4≥5+2×

=9,当且仅当

b=3,a=3 时取等号.

其最小值为 9.

故选:D.

【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能

力,属于中档题.

4.B

【考点】基本不等式;平面向量数量积的运算.

【专题】不等式的解法及应用;平面向量及应用.

【分析】由

,∠BAC= ,利用数量积运算可得

,即 bc=4.利用三角形的面积计算公式可得

S△ABC=

=1.已知△MBC,△MCA,△MAB 的面积分别为 ,x,y.可得

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不等式选讲练习试题

,化为 x+y= .再利用基本不等式

=

=

即可得出.

【解答】解:∵

,∠BAC= ,



,∴bc=4.

∴S△ABC=

= =1.

∵△MBC,△MCA,△MAB 的面积分别为 ,x,y.



,化为 x+y= .

∴=

=

=18,当且仅当

y=2x= 时取等号.

故 的最小值为 18. 故选:B. 【点评】本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础 知识与基本技能方法,属于中档题. 5.B 【考点】函数的值域. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】根据基本不等式 a+b≥2 的应用条件以及“=”成立的条件,判定选 项中正确的命题是哪一个即可.

【解答】解:A 中,当 x= >0 时,lg + 的;

=﹣2,命题不成立,A 是错误

B 中,根据基本不等式知, + ≥2,当且仅当 x=1 时取“=”,∴B 正确;

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不等式选讲练习试题

C 中,当 0<θ < 时,0<sinθ <1,∴sinθ + 错误;

取不到最小值 2 ,∴C

D 中,当 0<x≤2 时, 是增函数,有最大值 2﹣ ,∴D 错误;

故选:B.

【点评】本题考查了基本不等式 a+b≥2 立的条件是什么,是基础题.

的应用问题,解题时应注意“=”成

6.C 考点:基本不等式.

专题:不等式.

分析:由题意可得 a﹣b>0,a+ + =(a﹣b)+ + 得. 解答:解:解:∵a>b>0,∴a﹣b>0,

+b,由基本不等式可

∴a+ + =(a﹣b)+ + +b≥4

=4

当且即当(a﹣b)= = =b 即 a=2 且 b=1 时取等号,

∴a+ + 的最小值为:4
故选:C.
点评:本题考查基本不等式的应用,注意检验等号成立的条件,式子的变形是 解题的关键 7.B 考点:等比数列的通项公式;基本不等式.
专题:转化思想;等差数列与等比数列;不等式.
分析:利用等比数列的性质可得 a+b=5.再利用基本不等式的性质即可得出.

解答:解:∵a>0,b>0, 是 3a 与 3b 的等比中项,

∴ 化为 a+b=5.

=35,

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不等式选讲练习试题

则=

=

= ,当且仅当

a=b= 时取等号.
故选:B.
点评:本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 8.B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【专题】计算题;不等式的解法及应用.

【分析】利用 2a+b=4(2a+b)( 恒成立,即可求出 m 的最大值. 【解答】解:∵a>0,b>0, ∴2a+b>0

),结合基本不等式,不等式 2a+b≥4m





∴2a+b=4(2a+b)( )=4(5+

)≥36,

∵不等式 2a+b≥4m 恒成立,

∴36≥4m,

∴m≤9,

∴m 的最大值为 9,

故选:B.

【点评】本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化,解题的关键是

配凑基本不等式成立的条件.

9. 10.[2 ,+∞) 【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】函数的性质及应用.

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不等式选讲练习试题

【分析】根据题意,先求函数 f(x)的定义域,再由 f(a)=f(b)可得 |log3a|=|log3b|,由对数的运算性质分析可得 ab=1,又由 a、b>0 且 a≠b,结
合基本不等式的性质,可得 =b+ ≥2 ,即可得答案. 【解答】解:根据题意,对于 f(x)=|log3x|,有 x>0, 若 f(a)=f(b),则|log3a|=|log3b|, 又由 a≠b,则有 log3a=﹣log3b, 即 log3a+log3b=log3ab=0, 则 ab=1, 又由 a、b>0 且 a≠b,
∴ =b+ ≥2 ,当且仅当 b= 取等号,
即 的取值范围是[2 ,+∞); 故答案为: 【点评】本题考查基本不等式的运用,注意 a≠b 的条件.属于基础题. 11.(1)(3) 【考点】基本不等式;函数的最值及其几何意义. 【专题】转化思想;换元法;不等式. 【分析】由基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”,逐个选项验证可 得.

【解答】解:(1) 取等号,故正确;

≥2

=2,当且仅当|x|= 即 x=±1 时

(2)

=

在,故错误;

=

+

≥2,但当

=

时,x 不存

(3) 确;

≥2

﹣2=2,当且仅当 = 即 x=4 时取等号,故正

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不等式选讲练习试题

(4) 误;

的 x 正负不确定,当 x 为负数时,得不出最小值为 2,故错

(5)

,取等号的条件为 sinx= 即 sinx=1,而

当 0<x< 时 sinx 取不到 1,故错误. 故答案为:(1)(3). 【点评】本题考查基本不等式求最值,“一正、二定、三相等”是解决问题的 关键,属基础题. 12.2+2 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵a>0,b>0,ab﹣(a+b)=1,

∴1+a+b=ab



化为(a+b)2﹣4(a+b)﹣4≥0,

解得

,当且仅当 a=b=1+ 时取等号.

∴a+b 的最小值为 2+2 .

故答案为:2+2 .

【点评】本题考查了基本不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题.

13.【考点】基本不等式;二维形式的柯西不等式.

【专题】证明题;整体思想;综合法;不等式. 【分析】(1)由 a+b+c=2,得到 8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca,利用基本不等式

得以证明,

(2)由(1)和基本不等式得到 a2+b2+c2≥ ,再根据 a﹣a2=a(1﹣a),0<a <1,得到 a>a2,继而求出范围. 【解答】(1)证明:∵a+b+c=2, ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4,

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不等式选讲练习试题

∴2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca=8 ∴8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca≥6ab+6abc+6ac,当且仅当 a=b=c 时取等号,
∴ab+bc+ac≤ ; (2)解:由(1)知,a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4, ∴4≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3(a2+b2+c2),当且仅当 a=b=c 时取等号,
∴a2+b2+c2≥ , ∵a﹣a2=a(1﹣a),0<a<1,∴a>a2, 同理 b>b2,c>c2, ∴a2+b2+c2<a+b+c=2,
∴ ≤a2+b2+c2<2,
∴a2+b2+c2 的取值范围为[ ,2). 【点评】本题考查了基本不等式的应用,关键是掌握等号成立的条件,属于基 础题. 14.【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】计算题;方程思想;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)依题意,|x﹣1|+|x﹣2|<2,通过对 x 的范围分类讨论,去掉 绝对值符号,转化为一次不等式来解即可; (Ⅱ)利用分段函数 y=|x﹣1|+|x﹣2|,根据绝对值的意义,可求得 ymin,只需 a≤ymin 即可求得实数 a 的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)f(x)<2 即|x﹣1|+|x﹣2|<2,原不等式可化为:







解得: <x≤1 或 1<x<2 或 2≤x< ,

∴不等式的解集是{x| <x< }; (Ⅱ)f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|≥|(x﹣1)﹣(x﹣2)|=1, 故若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,则 a>1,

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不等式选讲练习试题

∴a 的范围是(1,+∞). 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,通过对 x 的范围分类讨论,去掉绝对 值符号是解决问题的关键,属于中档题.

15.(Ⅰ) 由

故 ∴
. …5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

使得

成立.

,得 ,且当


,且当

时等号成立,





时等号成立,





……

,由于

,从而不存在 , ……………10 分

16.

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