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北京市丰台区2017-2018学年高三上学期期末数学(文科) 试题Word版含解析


丰台区 2017~2018 学年度第一学期期末练习 高三数学(文科)
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ??1,0,1? , B ? x x =1 ,则 A I B ? ( A. ?1? B. ??1? C. ??1,1? )

?

?



D. ??1,0,1?

2. “ x ? 2 ”是“ log2 x ? 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为-3.7,则输出的 y 值是(

A.-0.7

B.0.3

C.0.7

D.3.7

? x ? y ? 1, ? 4.若 x , y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值是( ? x ? 0, ?
A.-2 B.-1 C.1 D.2



5.已知向量 a ? ?1,1? , 4a ? b ? ? 4, 2 ? ,则向量 a 与 b 的夹角为( A.

r

r

r

r

r



? 4

B.

? 3

C.

2? 3

D.

3? 4


6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长的棱的棱长为(

A. 3

B. 2 2

C. 5

D.2 )

7.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 A 在 y 轴上,线段 AF 的中点 B 在抛物线上,则 AF ? ( A. 1 8.全集 U ? B.

3 2

C.3

D.6

?? x, y ? x ? Z, y ? Z? ,非空集合 S ? U ,且 S 中的点在平面直角坐标系 xOy 内形成的图形关

于 x 轴、 y 轴和直线 y ? x 均对称.下列命题: A.若 ?1,3? ? S ,则 ? ?1, ?3? ? S B.若 ? 0,0? ? S ,则 S 中元素的个数一定为偶数 C.若 ? 0,4? ? S ,则 S 中至少有 8 个元素 D.若

?? x, y ? x ? y ? 4, x ? Z, y ? Z? ? S ,则 ?? x, y ? x ? y ? 4, x ? Z, y ? Z? ? S
第Ⅱ卷(共 110 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上)
9.复数 z ?

i 在复平面内所对应的点在第 1? i

象限.

10.某单位员工中年龄在 20~35 岁的有 180 人,35~50 岁的有 108 人,50~60 岁的有 72 人.为了解该单位员 工的日常锻炼情况,现采用分层抽样的方法从该单位抽取 20 人进行调查,那么在 35~50 岁年龄段应抽取 人. 11.已知 sin ? ?

4 ? ?? ? , ? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? ? 5 2 4? ?
2



2 12.已知直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和圆 ? x ? 1? ? y ? 1 交于 A, B 两点,则 AB ?



13.能够说明“方程 ? m ?1? x ? ?3 ? m? y ? ? m ?1??3 ? m? 的曲线不是双曲线”的一个 m 的值
2 2





? x ? a, ?2 ? x ? 0, ? 14.设函数 f ? x ?? x ? R ? 的周期是 3,当 x ?? ?2,1? 时, f ? x ? ? ?? 1 ? x ?? ? , 0 ? x ? 1. ?? 2 ?
①f?

? 13 ? ?? ?2?



②若 f ? x ? 有最小值,且无最大值,则实数 a 的取值范围是



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
15.在 ?ABC 中, 3sin 2B ? 2sin B .
2

(Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 , b ? 2 7 ,求 c 的值. 16. 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD ,E , F 分别是 PB, PD 的中点,

PA ? AD .
(Ⅰ)求证: EF ∥ 平面 ABCD ; (Ⅱ)求证: AF ? 平面 PCD ; (Ⅲ)若 AD ? 4 , CD ? 2 ,求三棱锥 E ? ADF 的体积..

17.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 5 , a1 ? a4 ? 12 ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,且满足 bnbn?1 ? 2 n .
a

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式及数列 ?bn ? 的公比 q ; (Ⅱ)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 18.某校为了鼓励学生热心公益,服务社会,成立了“慈善义工社”.2017 年 12 月,该校“慈善义工社” 为学生提供了 4 次参加公益活动的机会,学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这 4 次活

动的情况,该校随机抽取 100 名学生进行调查,数据统计如下表,其中“√”表示参加, “×”表示未参加.

(Ⅰ)从该校所有学生中任取一人,试估计其 2017 年 12 月恰参加了 2 次学校组织的公益活动的概率; (Ⅱ)若在已抽取的 100 名学生中,2017 年 12 月恰参加了 1 次活动的学生比 4 次活动均未参加的学生多 17 人,求 a , b 的值; (Ⅲ)若学生参加每次公益活动可获得 10 个公益积分,试估计该校 4000 名学生中,2017 年 12 月获得的公 益积分不少于 30 分的人数. 19.已知椭圆 C : 等边三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,点 B 0, 3 在椭圆 C 上,?F1BF2 是 a 2 b2

?

?

2 : 3 ,求点 (Ⅱ)点 A 在椭圆 C 上,线段 AF1 与线段 BF2 交于点 M ,若 ?MF 1F2 与 ?AF 1 F2 的面积之比为
M 的坐标.
20.已知函数 f ? x ? ? a ln x ? x ? ax ? a ? R ? .
2 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ? x ? 在 ?1,e ? 上有零点,求实数 a 的取值范围.

丰台区 2017-2018 学年度第一学期期末练习 2018.01 高三数学(文科)答案及评分参考

一、选择题
1-4:CABD 5-8:DACC

二、填空题
9.二 10.6 11.

2 10
14.

12.2

13. 1 ? m ? 3 之间的数即可

2 ? 5? , ?1, ? 2 ? 2?

三、解答题
15.解: (Ⅰ)因为 3sin 2B ? 2sin B ,
2

所以 2 3 sin B cos B ? 2sin B .
2

因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 0 , 所以 tan B ? 3 , 所以 B ?

?
3

.

(Ⅱ)由余弦定理可得 2 7 所以 c ? 4c ? 12 ? 0 ,
2

?

?

2

? 42 ? c 2 ? 2 ? 4 ? c ? cos

?
3



解得 c ? 6 或 c ? ?2 (舍). 解得 c ? 6 . 16.解: (Ⅰ)证明:连接 BD , 因为 E , F 分别是 PB, PD 的中点, 所以 EF ∥ BD . 又因为 EF ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , 所以 EF ∥ 平面 ABCD .

(Ⅱ)证明:因为 PA ? AD , F 为 PD 中点. 所以 AF ? PD .

又因为 ABCD 是矩形, 所以 CD ? AD . 因为 PA ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD . 因为 PA I AD ? A , 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 AF ? 平面 PAD , 所以 CD ? AF . 又因为 PD I CD ? D , 所以 AF ? 平面 PCD . (Ⅲ)由(Ⅱ)知 CD ? 平面 PAD . 因为 AB ∥ CD , 所以 AB ? 平面 PAD . 因为点 E 是 PB 的中点, 所以点 E 到平面 AFD 的距离等于 所以 VE ? ADF ? 即 VE ? ADF ?

1 AB . 2

1 4 ?1 ? 1 S?ADF ? ? AB ? ? ? 4 ?1 ? , 3 3 ?2 ? 3

4 . 3

17.解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 依题意 ?

?a1 ? d ? 5 ? a1 ? 3 ,解得 ? . ?d ? 2 ?a1 ? a1 ? 3d ? 12

所以 an ? 2n ? 1. 设等比数列 ?bn ? 的公比为 q , 由 bnbn?1 ? 22n?1 ,得 bn?1bn?2 ? 22n?3 . 因为

bn ?1bn ? 2 bn ? 2 b b 22 n ? 3 ? ? q 2 ,且 n?1 n? 2 ? 2 n?1 ? 4 ,所以 q2 ? 4 . bnbn ?1 bn bnbn?1 2

因为数列 ?bn ? 的各项均为正数,所以 q ? 2 .

(Ⅱ)因为 bnbn?1 ? 22n?1 , 令 n ? 1 ,得 b1b2 ? 23 , 因为 b1b2 ? b1b1q ? 2b12 ? 23 , 所以 b1 ? 2 ,所以 bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n . 所以 Sn ? ? a1 ? b1 ? ? ? a2 ? b2 ? ? L ? ? an ? bn ? ? ? a1 ? a2 ? L ? an ? ? ?b1 ? b2 ? L ? bn ?
n 3 ? 2n ? 1? ? n 2 ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? n2 ? 2n ? 2n?1 ? 2 .

2

1? 2

所以 Sn ? n2 ? 2n ? 2n?1 ? 2 . 18.解: (Ⅰ)设“从该校所有学生中任取一人,其 2017 年 12 月恰有 2 次参加公益活动”为事件 A , 则 P ? A? ?

20 ? 30 1 ? . 100 2 1 . 2

所以从该校所有学生中任取一人,其 2017 年 12 月恰有 2 次参加公益活动的概率为

(Ⅱ)依题意 ?

?a ? b ? 13 , ?10 ? a ? b ? 17

所以 ?

?a ? 10 . b ? 3 ?
12 ? 15 ? 1080 . 100

(Ⅲ) 4000 ?

所以估计该校 4000 名学生中,12 月获得的公益积分不少于 30 分的人数约为 1080 人. 19.解: (Ⅰ)由题意 B 0, 3 是椭圆 C 短轴上的顶点, 所以 b ? 3 , 因为 ?F1BF2 是正三角形,

?

?

c ? 1. 所以 F 1F 2 ? 2 ,即
2 2 2 由 a ? b ? c ? 4 ,所以 a ? 2 .

所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)设 M ? x0 , y0 ? , A ? xA , yA ? ,依题意有 x0 ? 0 , y0 ? 0 , xA ? 0 , yA ? 0 . 因为 S ?MF1F2 ?

2 x ?1 2 y 2 S ?AF1F2 ,所以 0 ? ,且 0 ? , 3 xA ? 1 3 yA 3

所以 x A ?

3 x0 ? 1 3 ? 3x ? 1 3 ? , y A ? y0 ,即 A ? 0 , y0 ? . 2 2 2 ? ? 2
2 2

? 3x0 ? 1 ? ? 3 ? 2 2 ? ? ? y ? xA y A 2 ? ?2 0? ? ? ? 1 ,即 因为点 A 在椭圆上,所以 ? ? 1. 4 3 4 3
2 所以 15x0 ? 22x0 ? 7 ? 0 ,解得 x0 ? 1 ,或 x0 ?

7 . 15

因为线段 AF1 与线段 BF2 交于点 M , 所以 x0 ? 1 ,所以 x0 ?

7 . 15

因为直线 BF2 的方程为 y ? ? 3 ? x ? 1? , 将 x0 ?

7 8 3 代入直线 BF2 的方程得到 y0 ? . 15 15

所以点 M 的坐标为 ?

? 7 8 3? ? 15 , 15 ? ?. ? ?

20.解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? ,

f ?? x? ?

a 2 ? ax ? 2 x 2 ? a ? x ?? a ? 2 x ? ? . x x
a . 2

由 f ? ? x? ? 0 得 x ? a 或 x ? ?

当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 在 ? 0, ??? 上恒成立, 所以 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ??? ,没有单调递增区间.

当 a ? 0 时, x, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

所以 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0, a ? ,单调递减区间是 ? a, ??? . 当 a ? 0 时, x, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

所以 f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0, ?

? ?

a? ? a ? ? ,单调递减区间是 ? ? , ?? ? . 2? ? 2 ?

(Ⅱ)当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递增区间是 ? 0, a ? ,单调递减区间是 ? a, ??? . 所以 f ? x ? 在 ?1,e ? 上有零点的必要条件是 f ? a ? ? 0 , 即 a ln a ? 0 ,所以 a ? 1 .
2

而 f ?1? ? a ?1,所以 f ?1? ? 0 . 若 a ? 1 , f ? x ? 在 ?1,e ? 上是减函数, f ?1? ? 0 , f ? x ? 在 ?1,e ? 上没有零点. 若 a ? 1 , f ?1? ? 0 , f ? x ? 在 ?1, a ? 上是增函数,在 ? a, ??? 上是减函数, 所以 f ? x ? 在 ?1,e ? 上有零点等价于 ?

? ? f ?e? ? 0 , 1 ? a ? e ? ?
5 ?1 e 2

?a 2 ? e2 ? ea ? 0 即? ,解得 1 ? a ? ?1 ? a ? e

?

?

.

? 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? 1, ? ?

?

5 ?1 e ? ?. ? 2 ?

?


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