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福建省厦门双十中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-Word版

福建省厦门双十中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-Word 版

2015-2016 学年(上)高二数学(理科)期中考试题

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.
1.不在不等式 3x ? 2y ? 6 所表示的平面区域内的点是( )

A. (0,0) B. (1,1) C. (0,2) D. (2,0)

2. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中,不.正确的是( )

A. 1 ? 1 a?b a

B. 1 ? 1 ab

C. a ? b

D. a2 ? b2

3.某工厂去年产值为 a,计划从今年起的今后 5 年内每年比上年产值增加 10%,则从今年起到

第 5 年,这个厂的

总产值为( )

A.1.14 a

B.1.15 a

C.11×(1.15-1)a

D . 10(1.15 -

1)a

x2 y2 4.椭圆 9 +4+k=1

的离心率为45,则

k

的值为(

)

A.-21

B.21

19 C.-25或 21

19 D.25或 21

5.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是( )

A.a>bsinA

B.a=bsinA

C.a ? bsinA

D.a≥bsinA

{ } 6. 等差数列 {an }的首项为 a1 ,公差为 d,若数列 2a1an 为递减数列,则( )

A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0

7.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( )

A . y? x?1 x

B . y ? sin x ? 1 , x ? (0, ? )

sin x

2

C . y ? x2 ? 3 x2 ? 2

D. y ? x ? 1 ?1 (x ? 2) 4(x ? 2)

8.若 m<n,p<q 且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则 m,n,p,q 从小到大排列顺序是( )

A.p<m<n<q

B.m<p<q<n C.p<q<m<n

D.m<n<p<q

9.已知 ?n 是正项等比数列{an} 的前 n 项积,且满足 a7 ? 1, a8 ? 1 ,则下列结论正确的是( )

A. ?7 ? ?8 B. ?15 ? ?16 C. ?13 ? 1 D. ?14 ? 1

10.已知 F1, F2

是椭圆

?

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,P

是椭圆 ? 上任意一点,

过 F2 作 ?F1PF2 的外角平分线 PQ 的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的轨迹为( )

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A.直线

B.圆

C.椭圆 D.四条线段

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.请把答案填在答题卷的相应位置.

11.不等式 x2 ? 2x ? 3 的解集为

(答案要求用集合形式表达)

12.在等差数列?an ?中,若 a3 和 a9 是方程 x2 ? 4x ? 3 ? 0 的两根,则 a6 的值是

.

?x ? y ?1 ? 0, 13.已知实数 x , y 满足 ??2x ? y ? 2 ? 0,则 x ? 3y 的最小值为
??x ? 2y ? 2 ? 0.

14.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若( 3b-c)cosA=acosC,则 cosA=

______.

15.直线 x ? 2y ? 3 ? 0 与椭圆 x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A,B 两点,且 P(?1,1) 恰好为 AB 中点, a2 b2
则椭圆的离心率为
16.已知正数 x,y 满足 x+y+1x+9y=10,则 x+y 的最大值为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,每小题分数见旁注,共 76 分.解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 17.(本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cos C=14.

(Ⅰ)求△ABC 的周长; (Ⅱ) 求 cos A 的值.

18.(本小题满分 12 分)

已知

Sn

是数列{an} 的前

n

项和,满足

Sn

?

1 n2 2

?

3 2

n

,正项等比数列 {bn } 的前

n

项和为 Tn

,且

满足 b3 ? 8,T2 ? 6 .

(Ⅰ) 求数列{an}和{bn}的通项公式; Gn .

(Ⅱ) 记 cn ? an ? bn , n ? N* ,求数列{cn}的前 n 项和

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19.(本小题满分 12 分)

已知实数 a ? 0 ,设函数 f (x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | .

a

(Ⅰ)证明:f(x)≥2;

(Ⅱ)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)

?x ? ny ? 0

已知

n

?

N

*

,设不等式组

? ?

y

?

2

所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内整点的个数为 an (横、纵

?? y ? 0

坐标均为整数的点称为整点).

(Ⅰ)通过研究

a1, a 2, a

的值的规律,求
3

an

的通项公式;

(Ⅱ)求证:

1 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? 1 .

a12 a22 a32

an2 12

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21.(本小题满分 14 分) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港 口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀 速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.
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22.(本小题满分 14 分)

已知 F1, F2

是椭圆 ? :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0)

的左右焦点,椭圆 ? 的离心率 e ?

2 2

,P(x0 , y0 )

是?

上异于左右顶点的任意一点,且 ?PF1F2 的面积的最大值为 1.

(Ⅰ)求椭圆 ? 的方程;

(Ⅱ)直线 l 是椭圆在点 P 处的切线,过 F2 作 PF2 的垂线,交直线 l 相交于 Q, 求证:点 Q 落在一条定直线 m 上,并求直线 m 的方程.

2015-2016 学年(上)高二数学(理科)期中考参考答案
一.选择题:DACCD DDBCB

{2 } 6.若数列

a1an 为递减数列,令 2a1an ? 2a1(an ?an?1) ? 2a1d ? 1 得 2a1an?1

7.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( )

A. y ? x ? 1 不是正数, x

B. y ? sin x ? 1 , x ? (0, ? ) 等号取不到

sin x

2

C. y ? x2 ? 3 等号取不到 x2 ? 2

D. y ? x ? 1 ?1 =(x-2)+ 1 ? 1 ? 2 1 ? 1 ? 2, 且

4(x ? 2)

4(x ? 2)

2

等号取得到

8. 不妨令 m=1,n=2 且(p-1)(p-2)<0,得

(q-1)(q-2)<0,得

9.等比数列的前

n

项积类比于等差数列的前

n

项和 ?n ?n

? ?

a1a2...an , an an ?1...a1

,所以 ?n2

?

(a1

? an )n ,





n
所以 ?n ? (a1 ? an )2 ,

13
?13 ? (a1 ? a13 ) 2 ?

>1, 而 ?7 ? ?8 ? a8 1 不正确.

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10.连接 F2Q 并延长交 F1P 于 M 点,

Q



M

MF2

中点,连接,OM,则

OM=

1 2

|

MF1

|

=

所以 M 表示以 O 为圆心 a 为半径的圆.

,所以 ?F2PM 是等腰三角形

+

= 1 ? 2a ? a ,

2

二.填空题: (?3,1) 2 -4 3 2 8
32

15.解

1:利用 kOP

? kAB

?

?

b2 a2

?

1? ?1

1 2

?

?

b2 a2

?

a2

?

2b2

?

a2

?

2(a2

? c2) ?

a2

?

2c2

?

e

?

解 2 : 联 立 得 : b2 ( 2 y? 32)? a2 y2? a2 b?2 ( 4 b?2 a2) y?2 1 2 b2?y 9 ?b2 ,a2 ?b又2 0

y1 ? y2 ? 1 ,所以… 16.8 [解析] ∵1x+9y=10-(x+y),∴(x+y)1x+9y=10(x+y)-(x+y)2.又(x+y)1x+9y=10

+9yx+yx≥10+6=16,∴10(x+y)-(x+y)2≥16,即(x+y)2-10(x+y)+16≤0,∴2≤x+

y≤8,∴x+y 的最大值为 8.

17.解:(Ⅰ)∵c2=a2+b2-2abcos C=1+4 -4×14=4.-----------2 分

∴c=2.∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5.-----------4 分

(Ⅱ) ∵cos C=14,∴sin C= 1-cos2C=

1-

1 4

2= 415.---6 分

15

∴sin

A=asicn

C =

4 2



815.-------------------------------8 分

∵a<c,∴A<C.故 A 为锐角,------------------------------10 分

∴c os A= 1-sin 2A=

1-

15 8

2=78.----------------12 分

18.解:(1) n ? 1, a1 ? S1 ? 2

n ? 2, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 1 所以 an ? n ? 1--------------------------3 分

设等比数列{bn}的公比为

q,首项为

b1

,依题意可知

?????bb11q(112???qq82 )

?

6

?

q

?

2



q

?

?

2 3

(舍)

----5 分

所以 bn ? b2 ? 2n?2 ? 2n --------------------6 分
(2) 则 Gn ? 2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1 +(n+1)×2n, 2 Gn ? 2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n+(n+1)2n+1,
----8 分

所以-Tn=2×2+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1,

即 - Tn = 2×2 +

22 (1 ? 2n?1) 1? 2

- (n + 1)×2n +

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1,--------------------10 分

-Tn=2×2+ 2n?1 ? 4 -(n+1)×2n+1

-Tn= 2n?1 -(n+1)×2n+1

-Tn=-n×2n+1

Tn



n·2n



1



n



N*.----------------------------------------12 分

19.(Ⅰ)解:(1)证明: f (x) ?| x ? 1 | ? | x ? a |?| (x ? 1) ? (x ? a) |?| 1 ? a |? 1 ? a ? 2 --------5 分

a

a

a

a

(Ⅱ)∵f(3)<5, | 3 ? 1 | ? | 3 ? a |? 5 a

a ? 0 ∴ 3 ? 1 ? | 3 ? a |? 5 ?| 3 ? a |? 2 ? 1 ?| a ? 3|? 2 ? 1 --------------------------7 分

a

a

a

?

???a ? ???a

? ?

3 3

? ?

2
1 a

? ?

1 a
2

a

?

0

?

?? ? ??

a a

2 2

? ?

5a ? 1 ? 0 a ?1? 0

-----------------------9



得: 1? 5 ? a ? 5 ? 21 -----------------------------------12 分

2

2

20. a1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 a2 ? 1 ? 3 ? 5 ? 9 a3 ? 1 ? 4 ? 7 ? 12

-------3 分 ① y ? 2 时的整点个数为 1,

y=2 与 x-ny=0 的交点为 2n,所以 y=0 的整点个数

为 2n+1

② y ? 1 时的整点个数为 n+1,

y=1 x-ny=0 的交点为 n,所以 y=0 的整点个数为 n+1

③ y ? 0 时的整点个数为 2n+1





an ? 1

-------------------------------------------------------------------------6 分 ? (n

(Ⅱ)

要证 1 a12

?

1 a22

?

1 a32

?

...

?

1 an2

?

1 12

,即证:

1 22

?

1 32

?

1 42

?

...

?

(n

1 ? 1)2

?3 4

-------------8



1 22

?

1 32

?

1 42

? ... ?

1 (n ?1)2

?

1 22

?

1 2?3

?

1 3?4

? ... ?

1 n(n ?1)

------------------------------1

0分

? 1 ? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ... ? (1 ? 1 ) ? 3 ? 1 ? 3 -------------12 分

4 23 34

n n ?1 4 n ?1 4

21.解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为

正北方向.

如图所示,设小艇与轮船在 C 处相遇.------------------2 分

在 Rt△OAC 中,OC=20cos 30°=10 3,AC=20sin 30°=10.---------2 分

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又 AC=30t,OC=vt.此时,轮船航行时间 t=3100=13,v=101 3=30 3, 3

即小艇以 30 3海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.-----6 分

(2)如图所示,设小艇与轮船在 B 处相遇. 由题意,可得(vt)2=202+(30t)2-2·20·30t·cos(90°-30°),---8 分

化简,得

v2=4t020-6t00+900=

400(1 t

?

3)2 4

?

675

,由于

0<t≤12,即1t≥2,----12



所以当1t=2 时,v 取得最小值 10 13,即小艇航行速度的最小值为 10 13海里/时.---14



22.(Ⅰ)依题意可知当 P 在短轴端点时, ?PF1F2 的面积最大

? ??

1 2

?

2c

?

b

?

?c ?? a

?

2 2

?1 ?

??a2 ???b2

? 2 所以椭圆 ? : ?1

x2 2

?

y2

? 1----------------4



(Ⅱ)根据椭圆的对称性可知,点 Q 所在的定直线与 x 轴垂直

令 P 为短轴端点,则 PQ : y ? 1,直线 QF2 : y ? x ?1,此时 Q(2,0),猜想直线 m:x ? 2 ---6 分

设直线

l:

y?

y0

? k(x ?

x0 )

与椭圆 ? :

x2 2

?

y2

? 1联立得: x2

? 2[kx ? ( y0

? kx0 )]2

?

2

( 1? 2k 2 x)2 ? 4k 0y( ? k0 x )?x 20 (y? 0k2 x ?) ?2 0

? ?1 6k 2 (y0 ? k 0x 2) ? 4 ( 1? k22 ) (0y2 ?( k0 x2 ?) ?2 ) 0

? ? ?4(2( y0 ? kx0 )2 ? 2 ? 4k 2 ) ? 0 ,

( y0 ? kx0 )2 ?1 ? 2k 2 ? 0

(x02 ? 2 )k 2 ? 2x0 y0 ? k? 0y2 ?1 ?,0

?2 y02k 2

? 2x0 y0

?k

?

x02 2

?0

y02k 2

? x0 y0 ? k ?

x02 4

? 0,

( y0k

?

x0 2

)2

?

0

所以 k

?

?

x0 2 y0

,所以直线

l:

y

?

?

x0 2 y0

(x

?

x0 ) ?

y0

----------------------------------------10



直线

QF2

:

x

y ?1

?

?

x0 ?1 y0

消去 y 得:

? x0 2 y0

(x ? x0 ) ?

y0

??

x0

?1 ,

x ?1

y0

要证:x=2,只需证: QF2

:

? x0 2 y0

(2 ? x0 ) ? 2 ?1

y0

?

?

x0 ?1 成立-------12 y0



即证:

?

x0 2 y0

(2

?

x0 )

?

y0

?

?

x0 ?1 y0

即证: ?x0 (2 ? x0 ) ? 2 y02 ? ?2(x0 ?1)

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即证: x02 ? 2 y02 ? 2 显然成立 所以原命题得证.---------------------------------------------------------------14 分

x2 y2

1.

已知椭圆
a2

? b2

?1

(a>b>0)A、B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 P(x0,0)。

a2 ? b2

a2 ? b2

证明:- a <x0< a (提示:点差法可以得到中点坐标与 AB 斜率关系)

2.已知椭圆 x2 ? y2 ? 1 的左焦点为 F,过 F 的直线交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 G, 43
AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于点 D,E 两点. (1)若 G 的横坐标为 ? 1 ,求直线 AB 的斜率;
4
(2)记 ?GFD 的面积为 S1 ,?OED 的面积为 S2 ,试问,是否存在直线 AB,使得 S1 ? S2 ,说明
理由?

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2015-2016 厦门双十中学高二(上)期中考试数学答卷

说明:大题的答案必须写在虚线内,否则无效;必须用黑色签字笔书写 一、选择题:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

总成绩 10

二、填空题: 11、
17、

12、

13、

14、

15、

16、

- 10 - / 14

座号

姓名

班级

福建省厦门双十中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-Word 版 18、
19、
- 11 - / 14

福建省厦门双十中学 2015-2016 学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-Word 版 20、
21、 - 12 - / 14

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22、 - 13 - / 14

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