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【2014高考一轮理科数学人教A课程标准卷地区】第7单元-立体几何(基础梳理+考点专讲+能力提升,5讲)


第七单元

立体几何

第37讲 第38讲 第39讲 第40讲

空间几何体的结构及三视图和直观图 空间几何体的表面积与体积 空间点、直线、平面之间的位置关系 直线、平面平行的判定与性质

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

单元网络

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核心导语
一、空间几何体 1.结构特征——通过区分上下底面、侧棱是否平行或 相等以及侧面特点来给不同的几何体定义;而组合体是简 单几何体拼接或者截去、挖去一部分而成. 2.三视图问题——关键是三个图中有关线段的长度关 系,并能还原成立体模型. 二、空间点、线、面关系 1.平行关系——实现线线、线面、面面平行互化的是 相关性质定理和判定定理,关键是线线平行. 2.垂直关系——实现线线、线面、面面垂直互化的是 相关性质定理和判定定理,关键是线线垂直. 3.点面距离——可以用定义法构造直角三角形来解, 或者用等体积法. 返回目录

使用建议
1.编写意图 立体几何初步的主要内容是空间几何体和空间点、线、 面的位置关系,在高考试题中以中、低档题的形式出现, 因此,编写时主要考虑以下几方面: (1)本单元公理、定理较多,编写时注重从文字、符号、 图形这三方面进行分析,并通过典型例题达到熟练掌握及 应用. (2)空间想象能力是学习立体几何的最基本的能力要求, 选择例题时注重培养学生识图、作图、理解与应用图的能 力. (3)本单元中空间线面的垂直既是高考的重点又是学习 的一大难点,故设置了双面.
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使用建议
2.教学指导 立体几何主要是培养学生的空间想象能力、推理论证 能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力, 本单元重点是空间的元素之间的平行与垂直关系、空间几 何体的表面积与体积,并关注画图、识图、用图的能力的 提高,在复习时我们要注重以下几点: (1)立足课本,控制难度.新课标对立体几何初步的要 求,改变了经典的“立体几何”把推理论证能力放在最突 出的位置,从单纯强调几何的逻辑推理转变为合情推理与 逻辑推理并重,尤其对文科立体几何的复习,切忌盲目拔 高.
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使用建议
(2)注重提高空间想象能力.在复习过程中,要注重将 文字语言转化为图形,明确已知元素之间的位置关系及度 量关系;借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关 系;能从复杂图形中分析出基本图形和位置关系,并借助 直观感觉展开联想与猜想,进行推理与计算.

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使用建议
(3)归纳总结,规范训练.复习中要抓主线,攻重点, 针对重点内容加以训练,如平行和垂直是位置关系的核心, 而线面垂直又是核心的核心;要加强数学思想方法的总结 与提炼,立体几何中蕴含着丰富的思想方法,如转化与化 归思想,熟悉将空间问题转化成平面问题来解决,以及线 线、线面、面面关系的相互转化;要规范例题讲解与作业 训练,例题讲解要重视作、证、求三环节,符号语言表达 要规范、严谨.另外,适度关注对平行、垂直的探究,关 注对条件或结论不完备情景下的开放性问题的探究.

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使用建议
3.课时安排 本单元包括5讲、一个45分钟滚动基础训练卷和一个单 元能力检测卷,第41讲和单元能力检测卷建议各2课时完 成,其余各讲及45分钟基础滚动训练卷各1课时完成,大 约共需9课时.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第37讲 空间几何体的结构及 三视图和直观图

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考试大纲
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征, 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简单组合)的三视图,能识别上述三视图所表示 的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图 形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形 特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

—— 知 识 梳 理 —— 一、多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台

图形

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

二、线性规划的有关概念
名称 棱柱
①有两个面互相 _____,其余各个 平行 面都是 平行四边形 _______________; ②每相邻两个四边 形的公共边都互相 平行 ______.

棱锥
有一个面是 多边形 ________,其余各 面是有一个公共顶 三角形 点的________的多 面体

棱台
用一个平行于棱 锥底面的平面去 截棱锥, 底面 ________和 截面 ________之间的 部分

结构 特征

侧棱

一点 相交于______但不 延长线交于 平行且相等 ________________ 一点 ________ 一定相等
平行四边形 ______________ 三角形 ______________

侧面 形状

梯形 ______________
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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

二、线性规划的有关概念
名称 圆柱 圆锥 圆台 球

图形

平行、相等且 母线 垂直 ______于底面

相交于 一点 ________

延长线交于 一点 ________
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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

名称

圆柱 全等的

圆锥 全等的 等腰三角形 ________ 扇形 ________

圆台 全等的 等腰梯形 _______ 扇环 ________

球 大圆 ________

轴截面

矩形 ______ 矩形 ________

侧面展 开图

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

三、三视图与直观图
三视图 画法规则:长对正,高平齐,宽相等 空间几何体的直观图:常用______________来画,基本步骤是: 斜二测画法 1.画几何体的底面:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴 相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴相交 45°(或135°) 于点O′,且使∠x′O′y′=________________,它们确定的平面表示 直观图 水平面;已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成 平行于 ________x′轴或y′轴的线段;已知图形中平行于x轴的线段,在直观 不变 图中保持原长度________,平行于y轴的线段,长度为 __________________. 原来的一半

2.画几何体的高:在已知图形中过O点作垂直于xOy平面的z轴,在 直观图 直观图中对应的z′轴,也垂直于x′O′y′平面,已知图形中平行于z轴 的线段,在直观图中仍________z′轴且长度________. 平行于 相等
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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

—— 疑 难 辨 析 ——

1.对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的认识 (1)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几 何体叫棱锥.( ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平 面与底面之间的部分.( )

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案] (1)×

(2)× (3)√

[解析]

(1)可能是两个不相邻的侧面.

(2)棱锥的定义中要求各个三角形有唯一的公共顶点. (3)此为棱台的定义.

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

2.对圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的认识 (1)以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴,其余 两边旋转的曲面围成的几何体叫圆锥.( ) (2) 上 下 底 面 是 两 个 平 行 的 圆 面 的 旋 转 体 是 圆 台.( ) (3)用一个平面去截一个球,截面是一个圆.( )

[答案]

(1)× (2)×

(3)√

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

[解析]

(1)若旋转轴为直角三角形的斜边所在直线,则

形成的曲面为两个同底的圆锥. (2)所形成的旋转体可能是圆柱. (3)用一个平面无论怎么去截球,得到的截面一定是圆.

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

3.直观图和三视图的画法 (1)在用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两 边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中 ∠A=45°.( ) (2)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三个视图均 相同.( )
[答案] (1)× (2)×

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第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

[解析]

(1)∠A=45°或135°.

(2)球的三个视图均相同,正方体三个视图不一定相 同,因为与观察的角度有关,圆锥的三个视图中最多只有 两个视图相同.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

考点统计
点 面 讲 考 向 1.空间几何体的结构特征

题型(考频)
0 选择(3) 填空(1)

题型示例(难度)

2.空间几何体的三视图

2009年T11(B) 2010年T15(B) 2011年T8(B) 2012年T7(B)

3.空间几何体的直观图

0

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.
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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

?

探究点一
例1

空间几何体的结构特征

(1)下列是关于空间几何体的四个命题:

点 面 讲 考 向

①由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正 六边形,其他各面是矩形的几何体是六棱柱; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体 一定是棱锥; ③有两个面互相平行,其余各面都是梯形的几何体一 定是棱台; ④棱锥的侧面是全等的等腰三角形,该棱锥一定是正 棱锥. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

(2)用不过球心的平面截球O,截面是一个球内的小圆 O1,若球的半径为4
点 面 讲 考 向

cm,球心O与小圆圆心O1 的距离为2

cm,则小圆的半径为________ cm.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

思考流程 (1)分析:要判断几何体的类型,应从各类 几何体的结构特征入手;推理:根据棱锥、正棱锥的概念
点 面 讲 考 向

及相关性质,逐一进行考察;结论:根据是否符合概念和 性质确定结果. (2)分析:利用球的截面性质;推理:构造直角三角 形;结论:利用勾股定理求解.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案]
[解析]
点 面 讲 考 向

(1)B (2)2 3
①是正确的,如图所示,该几何体满足有两

个面互相平行,其余六个面都是矩形,则每相邻两个面的 公共边都互相平行,故该几何体是六棱柱;

②是错误的,有一个面是多边形,其余各面都是三角 形的几何体不一定是棱锥(如图②);
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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

③是错误的,有两个面互相平行,其余各面都是梯形 的几何体不一定是棱台(如图③);
点 面 讲 考 向

④是错误的,如图④所示,AB=BC=CD=DA,AC= BD,棱锥的侧面是全等的等腰三角形,但该棱锥不是正三 棱锥.故选B.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

(2)如图,d=OO1=2,R=4,小圆O1的半径为r,则r = R2-d2= 42-22=2 3.
点 面 讲 考 向

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点评
点 面 讲 考 向

(1)准确理解几何体的定义,真正把握几何体的

结构特征是解决概念题的关键;另外,要断定命题为假 时,还可以构造反例,或借助于周围的实物判断.(2)球的 截面性质:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径 r,有下面的关系:r= R2-d2 .下面变式题复习多面体的性 质以及旋转体的结构特征.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

归纳总结 别.

①几种几何体(如正三棱锥和正四面体,正

四棱柱和正方体等)的概念容易混淆,要注意它们的定义区
点 面 讲 考 向

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

3 ②棱长为a的正方体的外接球的半径是 a,棱长为a的 2
点 面 讲 考 向

6 正四面体的外接球的半径是 a. 4

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

变式题 (1)以下有四个命题: ①用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆, 则这个几何体一定是球; ②以三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆 锥; ③以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆 台; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

点 面 讲 考 向

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

(2)给出下列命题: ①三棱柱有6个顶点,三棱锥有4个顶点; ②棱台的侧棱延长后必交于一点; ③用一个平面去截棱锥,夹在底面和截面间的几何体 是棱台; ④棱台的上、下底面边长之比等于棱台的高与截得此 棱台的棱锥的高的比. 其中正确命题的序号是________.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)B (2)②

[解析] 判断出:

(1)根据球、圆柱、圆锥、圆台的概念不难

①是正确的,当用过高线的平面截圆柱和圆锥时, 截面分别为矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆 面; ②是错误的,当以直角三角形的一条直角边所在直 线为轴旋转一周才可以得到圆锥.如图①、②所示,若 △ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是 直角边,所得的几何体都不是圆锥;

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

③是错误的,只有以直角梯形垂直于底边的一腰为 轴旋转才可得到圆台; ④是错误的,只有用平行于圆锥底面的平面截圆 锥,才可得到一个圆锥和圆台.故选B.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

(2)由棱锥定义知,棱锥只有1个顶点,故①错;去 截棱锥的平面如果与底面不平行,则截得的几何体不是 棱台,故③错;根据平面几何知识,棱台的上、下底面 边长的比应该等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之 比,故④错.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

?

探究点二
例2

空间几何体的三视图

(1)图7-37-1是一个空间几何体的三视图,则该

点 面 讲 考 向

几何体的表面积是________.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

(2)[2012· 石家庄质检] 将长方体截去一个四棱锥,得到 的几何体如图7-37-2所示,则该几何体的侧视图为( )
点 面 讲 考 向

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:根据三视图还原原来几何体;推

理:要先弄清三视图的特征:正视图反映物体的主要形状 特征,主要体现物体的长和高,不反映物体的宽;而俯视 图和正视图的长要相等;侧视图和俯视图的宽要相等;结 论:再据此得出该几何体,算出表面积. (2)分析:根据实物图得出三视图;推理:先弄清楚几 何体的结构,再选择一个合适的正视方向;结论:再画出 三视图.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)16+π

(2)D

[解析] 16+π .

由三视图可知原几何体是一个长方体中挖

去半球体,故所求表面积为S=4+8×1+4-π +2π = (2)被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方 体的面对角线,它们在右侧面上的投影与右侧面的两条 边重合,另一条为长方体的体对角线,它在右侧面上的 投影与右侧面的对角线重合,对照各图及对角线方向, 只有选项D符合.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

归纳总结

由几何体的三视图来判断原物体的形状时

的一般规律为:“长对正,高平齐,宽相等”,由此可
点 面 讲 考 向

见,正视图和侧视图的形状确定原几何体为柱体、锥体还 是台体;俯视图确定原几何体为多面体还是旋转体.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2012· 豫东、豫北模拟] 如图 7-37-4 是 某宝石饰物的三视图,已知该饰物的正视图、侧视图都是 3 面积为 2 ,且一个内角为 60°的菱形,俯视图为正方形, 那么该饰物的表面积为( ) A. 3 B.2 3 C.4 3 D.4

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

π (2)如图 7-37-5, 已知某几何体的体积为 , 它的正 4 视图、侧视图均为边长为 1 的正方形,则该几何体的俯视图 可以为(
点 面 讲 考 向

)

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案]

(1)D

(2)B

[解析]
点 面 讲 考 向

(1)依题意可知, 该饰物是两个完全相同的正

四棱锥将底面对接而成, 且正视图和侧视图的边长都是 1, 即正四棱锥的底面边长和侧面三角形底边上的高都是 1, 1 所以该饰物的表面积为 8× ×1×1=4.故选 D. 2 (2)依题意得知,该几何体可以是一个圆柱,其中该圆 柱的底面直径 2r 与高 h 相等, 此时相应的体积等于π ×r2 π 1 3 ×2r=2π r = ,r= ,相应的俯视图可以是 B.故选 B. 4 2

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

?

探究点三

空间几何体的直观图

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2012· 南昌三模] 如图 7-37-7 是水平放置的 平面图形 ABCD 的直观图, 则其表示的图形 ABCD 是( ) A.任意梯形 B.直角梯形 C.任意四边形 D.平行四边形

(2)已知正三角形 ABC 的边长为 1,那么△ABC 的平面 直观图△A′B′C′的面积为________.
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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:将直观图还原为平面图形; 推理:

将斜二测画法画直观图的要求逆用;结论:根据规则画出 原来图形. (2)分析:斜二测画法的运用;推理:应用斜二测画法 的规则作出直观图;结论:算出面积.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案]

6 (1)B (2) 16

[解析] (1)由图可知,边 AB,CD 平行于 x 轴,AD
点 面 讲 考 向

平行于 y 轴,根据水平放置图的画法规则知,AB⊥AD, CD⊥AD,且 AB≠CD,所以图形 ABCD 是直角梯形.故 选 B. (2)如图①、②所示的为实际图形和直观图. 1 3 由图②可知 A′B′=AB=1,O′C′= 2OC= 4 ,在图② 2 6 中作 C′P′⊥A′B′于 P′点,则有 C′P′= 2 O′C′= 8 . 1 1 6 6 ∴S△A′B′C′= |A′B′|·|C′P′|= ×1× = . 2 2 8 16
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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点评
点 面 讲 考 向

本题结论可推广为:一个平面图形的面积S与它

2 的直观图的面积S′之间的关系是S′= S;斜二测画法有两个 4 关键点:一是坐标轴夹角的变化;二是与y轴平行或在y轴上 的线段,在直观图中,长度变为原来的一半,其中第二条是 解题时最易遗漏的;当直观图还原为平面图形时,规则相 反,如下面的变式题.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

归纳总结

①用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤

是:一画轴,二画底,三画高,四成图;
点 面 讲 考 向

②斜二测画法关键是要根据图形的特点选取适当的坐标 系,尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线 上,这样可以简化作图步骤.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

变式题
点 面 讲 考 向

(1)[2011· 潍坊二模] 一个平面四边形的斜二测

直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等 于________. (2)如图7-37-8所示,已知△ABC的水平放置的直观图 是等腰Rt△A′B′C′,且∠A′=90°,A′B′= 2,则△ABC 的面积是( )

A. 2

B.2 2

C.4 2

D.1
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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案]

(1)2 2a2

(2)B

[解析]
点 面 讲 考 向

(1)一个平面图形的面积S与它的直观图的面

2 积S′之间的关系是S′= S,而直观图面积S′=a2,所以原 4 a2 平面四边形的面积为 =2 2a2. 2 4 (2)因∠A′B′C′=45°,A′B′= 2,从而B′C′=2, 所以△ABC为直角三角形,∠B=90°,AB=2A′B′ =2 2,BC=B′C′=2. 1 ∴S△ABC=2×2 2×2=2 2.
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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

易错究源14


因三视图识图不准致误

[2011· 北京卷] 某四棱锥的三视图如图7-37-9 )

所示,该四棱锥的表面积是(

多 元 提 能 力

A.32

B.16+16 2

C.48

D.16+32 2
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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

错解

A 由三视图知道,四棱锥的底面是一个正方

形,边长是4,斜高为2,故四棱锥的表面积: 1 S=S底+S侧=16+ ×16×2=32,选A. 2

多 元 提 能 力

[错因] ①不能准确地将三视图还原成实物图; ②错误地把正四棱锥的高h当成了斜高h′,认为h′=2.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

多 元 提 能 力

B 由题意可知,该四棱锥是一个底面边长a ?a? 2 =4,高h=2的正四棱锥,故其斜高h′= h +? ?2 = ?2? ?4?2 2 2 +?2? =2 2, ? ? 1 所以其表面积S=S底+S侧=4× 4+4× 2 × 2 2 =16+ 4× 16 2.故选B. [正解]

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

自我检评

(1)已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三

角形,侧视图是有一直角边为2的直角三角形,则该三棱 锥的正视图面积为________. (2)图7-37-10中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图,则高h=________ cm.
多 元 提 能 力

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案]

(1)2 (2)4

[解析]

(1)由条件知,该三棱锥底面为正三角形,

边长为2,一条侧棱与底面垂直,该侧棱长为2,故正视 1 图面积S=2×2×2=2.
多 元 提 能 力

1 1 1 (2)依题意知该几何体是三棱锥,所以V=3S底h=3×2 ×5×6×h=20,∴h=4 cm.

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

备选理由 考纲要求学生学会用平行投影与中心投影 两种方法画图,而我们在正文中没有列入相关例题,例1 考查正投影与中心投影的相关概念,可用此题作一补 充.例2为截面问题,此类问题主要考查立体图形和平面 图形互相转化.通过此例的讲解可以掌握一般截面问题的 求解方法及注意事项.

教 师 备 用 题
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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

例1

下列投影是中心投影的是(

)

A.三视图 B.人的视觉 C.斜二测画法 D.人在中午太阳光下的投影
[解析]
教 师 备 用 题
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B A,C,D均为平行投影,B为中心投影.

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

例2

一个正方体内接于一个球,过球心作一截面, )

则截面的可能图形是(

A.①② C.①②③
教 师 备 用 题

B.②④ D.②③④

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第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[解析] C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当 截面过正方体体对角线时得②,当截面不平行于任何侧面, 也不过体对角线时得①,但是无论如何都不会截得④.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第38讲 空间几何体的表面积 与体积

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考试大纲
1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式. 2.了解球、棱柱、棱锥、台的体积计算公式.

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第38讲
双 向 固 基 础

空间几何体的表面积与体积

—— 知 识 梳 理 —— 一、柱体、锥体、台体的表面积 1.多面体的表面积 (1)我们可以把多面体展成________,利用________求 平面图形 平面图形 面积的方法,求多面体的表面积; (2)棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体, 它们的侧面积就是各________之和,表面积是 侧面面积 ___________之和,即________与________之和. 各个面的面积 侧面积 底面积

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第38讲
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空间几何体的表面积与体积

2.旋转体的面积
名称 图形 侧面积 表面积

2πr2+2πrl S=________
圆柱 2πrl S侧=______ 2πr(r+l) 或S=________

圆锥

πrl S侧=______

πr2+πrl S=________ π(r+l)r 或S=________

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空间几何体的表面积与体积

二、线性规划的有关概念
名称 图形 侧面积 表面积 π(r′2+r2+ r′l+rl) S=________

圆台

π(r+r′)l S侧=________





4πR2 S=________

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空间几何体的表面积与体积

二、柱体、锥体、台体的体积 1.设棱(圆)柱的底面积为S,高为h,则体积V= Sh ________.
1 2.设棱(圆)锥的底面积为S,高为h,则体积V= Sh ________. 3 3.设棱(圆)台的上、下底面面积分别为S′,S,高为h, 1 则体积V=______________. 4 3(S′+ SS′+S)h π R3 4.设球半径为R,则球的体积V=________. 3 注:对于一些不规则几何体,常用割补的方法,转化 成已知体积公式的几何体求体积.

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空间几何体的表面积与体积

—— 疑 难 辨 析 ——

1.对柱体、锥体、台体的展开图的认识 (1)圆柱的侧面展开图是矩形.( (2)圆锥的侧面展开图是圆.( (3)圆台的侧面展开图是圆环.( (4)棱柱的侧面展开图是矩形.( ) ) ) )

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空间几何体的表面积与体积

[答案] (1)√ (2)×

(3)×

(4)×

[解析]

(1)圆柱的侧面展开图是以底面圆的周长为一

边长,母线长为另一边长的矩形. (2)圆锥的侧面展开图是扇形. (3)圆台的侧面展开图是扇环. (4)直棱柱的侧面展开图是矩形,而斜棱柱的侧面展开 图则不是矩形.

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第38讲
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空间几何体的表面积与体积
2.了解柱体、锥体、台体、球的体积求法

(1)正方体的表面积是6,则正方体的体积为 12.( ) (2)若圆锥的轴截面是正三角形,则它的侧面积是底 面积的2倍.( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计 算.( ) (4)球的体积之比等于半径比的平方.( )

[答案]

(1)× (2)√

(3)√

(4)×

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空间几何体的表面积与体积

[解析]

(1)设该正方体的棱长为a,则其表面积S=6a2

=6,故a=1,其体积V=a3=1. (2)设圆锥的底面半径为r,则圆锥的母线长为2r,S侧= π r·2r=2π r2,S底=π r2,所以S侧=2S底. (3)台体可看作平行于锥体底面的平面截锥体所得的几 何体. (4)半径长分别为r1,r2的球的体积之比等于半径比的立 4 3 4 3 3 3 方:V1∶V2=3π r1∶3π r2=r1∶r2=(r1∶r2)3.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

考点统计
点 面 讲 考 向 1.几何体表面积

题型(考频)
选择(2) 填空(1) 解答(2) 0 0

题型示例(难度)
2009年T11(B), 2010年T7(B) 2009年T18(B), 2011年T16(B), 2012年T19(2)(B)

2.几何体的体积
3.几何体中的最值 4.几何体的展开与折叠

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.
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空间几何体的表面积与体积

?

探究点一
例1

几何体表面积的计算
某三棱锥的三视图如图7-38 )

(1)[2012· 北京卷]

点 面 讲 考 向

-1所示,该三棱锥的表面积是(

A.28+6 5 B.30+6 5 C.56+12 5 D.60+12 5
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

(2)[2011· 温州二模] 一个空间几何体的三视图(单位: cm)如图7-38-2所示,则该几何体的表面积为________ cm2.
点 面 讲 考 向

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空间几何体的表面积与体积

思考流程 (1)分析:把三视图还原为直观图;推理: 把三视图中的条件转化为直观图的条件;结论:几何体为
点 面 讲 考 向

一个侧面和底面垂直的三棱锥,根据条件求解得. (2)分析:由题意知这是组合体的结构;推理:把三视 图中的条件转化为直观图的条件;结论:几何体是一个以 棱长为1的正方体的上底面、下底面分别为底面放置了一 个正四棱锥的组合体,根据条件可求.

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空间几何体的表面积与体积

[答案]
[解析]
点 面 讲 考 向

(1)B (2)4+2 5
(1)本题考查三棱锥的三视图与表面积公式.

由三视图可知,几何体为一个侧面和底面垂直的三棱 1 锥,如图所示,可知S底面=2×5×4=10, 1 S后= ×5×4=10, 2 1 S左= ×6×2 5=6 5, 2 1 S右=2×4×5=10, 所以S表=10×3+6 5=30+6 5.
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)依题意可知,该几何体是一个以棱长为1的正方体的 上底面、下底面分别为底面放置了一个正四棱锥的组合 体,其中这两个正四棱锥的高均为1,因此该几何体的表面 积S=4×1
2

?1 +8×? ×1× ?2 ?

1

2

? 1?2? ? +? ? ?=4+2 ? 2? ?

5.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

归纳总结

以三视图为载体考查几何体的表面积,关键

是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几
点 面 讲 考 向

何体中各元素间的位置关系及数量关系.

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空间几何体的表面积与体积

变式题

(1)[2012· 安徽卷] 某几何体的三视图如图 7

-38-3 所示,该几何体的表面积是________.
点 面 讲 考 向

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空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 江门一模] 某型号的儿童蛋糕上半部分是半 球,下半部分是圆锥,其三视图如图 7-38-4 所示,则该型 号蛋糕的表面积 S=( )

A.115π

B.110π

C.105π

D.100π
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空间几何体的表面积与体积

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)92 (2)A

[解析]

(1)本题考查三视图的识别, 四棱柱等空间几

何体的表面积. 如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的 直四棱柱,其表面积为 1 ?? ? 2+5??×4×2+4×2+5×4+4×4+5×4=92. S=2×?

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空间几何体的表面积与体积

(2)由三视图可知,圆锥的母线长为 122+52=13,该 1 型号蛋糕的表面积 S=2×4π ×52+π ×5×13=115π .
点 面 讲 考 向

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

?

探究点二
例2

几何体体积的计算

(1)[2012· 广东卷] 某几何体的三视图如图7-38-5 )

点 面 讲 考 向

所示,它的体积为(

A.12π

B.45π

C.57π

D.81π
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空间几何体的表面积与体积

(2)[2012· 浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如 图7-38-6所示,则该三棱锥的体积等于________ cm3.
点 面 讲 考 向

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:把三视图还原为直观图;推理:

把三视图中的条件转化为直观图的条件;结论:该几何体 是由圆柱与圆锥构成(共底面),根据条件可求. (2)分析:根据三视图易知这是三棱锥的结构;推理: 把三视图中的条件转化为直观图的条件;结论:根据底面 是直角三角形,高为2的三棱锥,即可求出答案.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)C (2)1

[解析]

(1)根据三视图知该几何体是由圆柱与圆锥

构成,圆柱与圆锥的半径R=3,圆锥的高h=4,圆柱的 1 2 高为5,所以V组合体=V圆柱+V圆锥=π ×3 ×5+ ×π ×32× 3 4=57π ,所以选择C. (2)本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式,考查 学生对数据的运算处理能力和空间想象能力.由三视图 1 1 1 可知,几何体为一个三棱锥,则V= 3 Sh= 3 × 2 ×1×3×2 =1.
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空间几何体的表面积与体积

点评

正确的识图是解决三视图问题的关键,同时要

注意棱长的长度、关系等.
点 面 讲 考 向

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空间几何体的表面积与体积

归纳总结

①在以三视图为载体的试题中融入简单几

点 面 讲 考 向

何体的表面积与体积是高考课标卷的热点题型,解题的关 键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置 关系和数量关系,利用表面积与体积公式求解; ②组合体的表面积的重合部分容易产生重复计算的错 误.

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空间几何体的表面积与体积

变式题

(1)[2012· 湖州模拟] 如图7-38-7所示,已

点 面 讲 考 向

知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个 边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是 ________.

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空间几何体的表面积与体积

(2)[2011· 湖南卷] 图7-38-8是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为( )
点 面 讲 考 向

A.9π +42 9 C. 2π +12

B.36π +18 9 D. 2π +18
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

[答案]

2 (1) 6

(2)D

[解析]
点 面 讲 考 向

(1)由题知该多面体为正四棱锥,底面边长

3 为1,侧棱长为1,斜高为 2 ,连接顶点和底面中心即为 2 1 2 2 高,可求得高为 ,所以体积V= ×1×1× = . 2 3 2 6 (2)由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3 的球,下面是一个长、宽都为3,高为2的长方体所构成
?3? 3 4 的几何体,则其体积为V=V1+V2= ×π × ? ? + 3 2? ? 9 3×3×2=2π +18,故选D.
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

?

探究点三
例3

几何体中的最值问题

点 面 讲 考 向

四面体的六条棱中,有五条棱长都等于 a.

(1)求该四面体的体积的最大值; (2)当四面体的体积最大时,求其表面积.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:有五条棱相等的四面体;目标:求

四面体的体积的最大值及其取最大值时四面体表面积的大 小;方法:将四面体分成两个三棱锥,运用函数思想求体 积的最大值,并可以得到当体积取得最大值时对应的四面 体另外一条棱的长,从而求出此时四面体的表面积.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

解:(1)如图,在四面体 ABCD 中,设 AB=BC=CD =AC=BD=a,AD=x,取 AD 的中点为 P,BC 的中点为
点 面 讲 考 向

E,连接 BP,EP,CP,得到 AD⊥平面 BPC, 1 1 ∴VA-BCD=VA-BPC+VD-BPC=3·△BPC· S AP+3S△BPC· PD 1 1 1 x2 a2 = ·S△BPC·AD= · ·a a2- - ·x 3 3 2 4 4 a a 3a2 = 12 (3a2-x2)x2 ≤ 12 · 2
? 6 a ?当且仅当x= a时取等号 ?. ? 2 ? ?
3?



1 8

?

1 3 ∴该四面体的体积的最大值为8a .
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)由(1)知,△ABC 和△BCD 都是边长为 a 的正三角形, △ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形,其腰长为 a,底 6 边长为 2 a, 6 ?2 ? a a? 4 ? 3 2 6 10a 3 2 15a2 2 3+ 15 2 = 2 a + 2 a× 4 = 2 a + 4 = a. 4 3 2 1 6 ∴S 表=2× 4 a +2×2× 2 a×
2

? -? ? ?

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

归纳总结

解决立体几何最值问题的两种思路:

①函数法,即通过建立相关函数式,将所求的最值问题转
点 面 讲 考 向

化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛. ②枚举法,给出几何体中三视图中的两个视图求其体积 (或表面积)的最值时,一般将符合条件的所有几何体都列出, 再从中找出体积(或表面积)最大(或最小)的几何体.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

变式题

(1)若一个几何体是由若干个棱长为1的正方体

点 面 讲 考 向

组成的,其正视图和侧视图相同,均如图7-38-9所示,则 该几何体体积的最大值为( )

A.11 B.12 C.13 D.14 (2)棱长为a的正方体框架,其内放置一个气球,使其充 气且尽可能地膨胀但保持球的形状,则气球表面积的最大值 为________.
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

[答案]

(1)C (2)2π a2

点 面 讲 考 向

[解析] (1)结合该几何体的正视图和侧视图,可知该 几何体最少可由5个(底层3个,上层2个)棱长为1的正方体 组合而成,最多可由13个(底层9个,上层每个角各1个共4 个)棱长为1的正方体组合而成,因此其体积的最大值是 13×13=13.(2)当气球与正方体框架的棱相切时,气球表 2 面积最大,此时气球的半径为 a,所以气球表面积的最 2 2 ?2 ? 2 大值S=4π a? =2π a . 2 ?
? ? ? ?

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

?

探究点四
例4

几何体的展开与折叠问题

点 面 讲 考 向

(1)如图7-38-10,已知正三棱柱ABC-A1B1C1

的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点A出发,沿 着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为 ________ cm.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)如图7-38-11所示,在边长为4的正方形纸片 ABCD中,AC与BD相交于O,剪去△AOB,将剩余部分沿 OC,OD折叠,使OA,OB重合,则以A(B),C,D,O为顶 点的四面体的体积为________.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:将三棱柱沿某条侧棱展开成平面

图形去求解;推理:平面图形中两点之间线段最短;结 论:直接用勾股定理求解. (2)分析:将平面图形按要求折叠成空间图形去求解; 推理:折叠后的空间几何体是三棱锥;结论:利用锥体体 积公式直接去求.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

[答案]
点 面 讲 考 向

8 2 (1)13 (2) 3

[解析]

(1)根据题意,利用分割法将原三棱柱分割

为两个相同的三棱柱,然后将其展开为长方形,则可知 所求最短路线的长为13 cm. (2)在折叠过程中OC⊥OB,OD⊥OA始终没有改变, 所以最后形成的四面体A(B)-CDO中,OA⊥底面CDO, 1 1 8 2 2 故其体积V= 3×2×(2 2) ×2 2= 3 .

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

点评

几何体的展开与折叠问题,要注意在图形的折

叠与展开过程中,线与线之间的关系(如平行、垂直)、大小
点 面 讲 考 向

关系等有没有发生变化.把几何体展开可以把空间问题转 化成平面问题,可以求有关最值问题,请看下面的变式.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

归纳总结

①有关几何体展开图与平面图形折成几何体

点 面 讲 考 向

问题,在解决的过程中要注意按什么线作轴来展或折; ②注意被展或被折的面,在变换前后该面内的大小关系 与位置关系有没有发生变化,忽略条件的变化必将误解题 意.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

变式题
点 面 讲 考 向

如图7-38-12,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱

AB=AA1=4,M在AA1上,AM=3,P在BC上,由P沿棱柱的 侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为3 5 ,设这条路线与 CC1的交点为N.求: (1)三棱柱的侧面展开图的对角线的长; (2)PC与CN的长.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个 矩形,长为12,宽为4,其对角线的长为 122+42=4 10.
点 面 讲 考 向

(2)如图,将矩形BB1C1C绕棱CC1旋转120°,使其与 侧面AA1C1C在同一平面内,点P运动到P1,连接MP1,则 MP1就是点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线,设 PC=x,则P1C=x.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

在Rt△MAP1中,有(4+x)2+32=(3 2(舍去x=-10),∴PC=P1C=2.
点 面 讲 考 向

5 )2,解得x=

CN P1C 2 由Rt△P1CN∽Rt△P1AM,得 = = ,解得CN MA P1A 6 =1.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

思想方法14


化归与转化思想在立体几何中的应用
如图7-38-13,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱

AA1与侧面BCC1B1的距离为2,侧面BCC1B1的面积为4,此 三棱柱ABC-A1B1C1的体积为________.

多 元 提 能 力

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

[分析] 此问题是求斜三棱柱的体积问题,必须要求底 面积和高,可以通过割补法将图形转化为熟悉的几何体, 且体积易求.

多 元 提 能 力

[答案] 4

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

[解析] 方法一(补形法):将三棱柱补成四棱柱,如图 7-38-14 所示.

多 元 提 能 力

记 A1 与平面 BCC1B1 的距离为 d,则 d=2. 1 1 1 则 V 三棱柱= V 四棱柱= S 四边形 BCC1B1·d= ×4×2= 2 2 2 4.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

方法二(分割法):连接A1B,A1C,BC1,如图7-38- 15所示.

多 元 提 能 力

则A1B,A1C,BC1将三棱柱ABC-A1B1C1分割成三个小 三棱锥A1-ABC,B-A1B1C1,A1-BCC1, 1 ∴VA1-ABC=VB-A1B1C1=VA1-BCC1= 3 VABC- A1B1C1, 1 ∴VABC-A1B1C1=3VA1-BCC1=3×3S△BCC1×d=4.
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

自我检评 (1)[2011· 陕西卷] 某几何体的三视图如图7 -38-16所示,则它的体积为( )

多 元 提 能 力

2π A.8- 3

π B.8- 3

C.8-2π

2π D. 3
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

(2)在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂 直,PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为 ________.
3 a 3

[答案]
多 元 提 能 力

(1)A (2)

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

[解析]

(1)正视图与侧视图一样是边长为2的正方

形,里面有两条虚线,俯视图是边长为2的正方形与直径 为2的圆相切,其直观图为棱长为2的正方体中挖掉一个 底面直径为2的圆锥,故其体积为正方体的体积与圆锥的 2π 1 2 体积之差.V正=2 =8,V锥= π r h= (r=1,h=2), 3 3
3

多 元 提 能 力

2π 故体积V=8- 3 ,故答案为A.

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

(2)设点P到平面ABC的距离为h,则由VP-ABC=VA-PBC 1 1 1 2 得 ·h·S△ABC= ·a· a , 3 3 2 1 3 2a 3 ∴h= = 3 a,因此点P到平面ABC的距离为 3 ×2a2 4 3 a. 3

多 元 提 能 力

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第38讲

空间几何体的表面积与体积

备选理由 例1主要考查学生的观察能力和直觉解题 能力;例2是一个折叠问题,主要考查学生对平面图形到 空间图形的转化的认识,具有一定的难度,意在训练学生 的解题灵活性和空间想象能力.

教 师 备 用 题
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

例1

正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, N, M, P,

Q 分别在棱 A1D1, 1B1, 1C1, 上移动, A B BC 则四面体 MNPQ 的最大体积是( ) 1 3 1 3 1 3 A. 6a B.4a C.3a 1 3 D.2a

教 师 备 用 题
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

[解析] A 即求三棱锥 Q-MNP 的最大体积,由图可 知,高为 Q 到平面 A1B1C1D1 的距离,即为正方体的棱长, 只需△MNP 的面积最大,观察知,当点 M 在点 A1、点 N 在 点 B1、点 P 在点 C1 时(还有其他情况),△MNP 的面积最大, 1 2 1 1 2 1 3 最大值为2a ,所以最大体积为3×2a ×a=6a .故选 A.

教 师 备 用 题
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

例 2

已知△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AC

=2,M 是 AB 的中点.将△ACM 沿 CM 折起,使 A,B 间 的距离为 2 2,求三棱锥 A-BCM 的体积.

教 师 备 用 题
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

解: Rt△ABC 中, 在 ∵CM 为斜边 AB 上的中线, AC=2, ∠B=30°, 1 ∴MA=MB=MC=2AB=2, ∴三棱锥 A-BCM 中,点 M 在平面 ABC 内的射影是△ ABC 的外心. 又折叠后的△ABC 中有 AC2 +AB2 =BC2 ,故折叠后的 △ABC 也为直角三角形,∠BAC=90°.
教 师 备 用 题

所以取 BC 的中点 E,连接 ME,则 E 为 M 在面 ABC 上 的射影,即 ME 为三棱锥 M-ABC 的高.又 ME 为△MBC 的 高,MB=MC=2,∠MBE=30°,
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第38讲

空间几何体的表面积与体积

1 ∴ME=2MB=1, 1 ∴VA-BCM=VM-ABC= S△ABC·ME 3 1 1 2 2 = × ×2×2 2×1= . 3 2 3

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第39讲 空间点、直线、平面 之间的位置关系

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考试大纲
1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图 形的位置关系的简单命题.

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第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

—— 知 识 梳 理 —— 一、平面的概念及其表示 1.平面的概念 几何里所说的“平面”就是从一些物体(课桌面、海平 无限延展 面等)抽象出来的,平面有两个特征:(1)________,即平 面是无边界且无限延展的;(2)__________________,即平 平的(没有厚度) 面是无厚薄、无大小、无数个平面重叠在一起,仍然是一 个平面,平面是无所谓面积的. 一个平面把空间分成两部分,一条直线把平面分成两 部分.

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第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

2.平面的表示法 通常画___________表示平面,平面可用小写希腊字母 平行四边形 表示,如________、平面β;或用表示平行四边形的顶点 平面α 平面AC 平面ABCD 的大写英文字母表示,如________、___________.(如图 7-39-1)

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第39讲
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空间点、直线、平面之间的位置关系

3.空间直线之间的关系
平行 相交 无交点 不同在

(2)异面直线所成的角: 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作 直线a′∥a,b′∥b,把a′,b′所成的___________叫做异面 锐角或直角 直线a,b所成的角. (0°,90°] 范围:________.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

二、平面的基本性质
名称 内容 图形表示 数学语言表 示 作用 ①判定直 线在平面 内;②判 定点在平 面内

如果一条直线上 的________在一 两点 公理 个平面内,那么 1 这条直线在此平 面内

A∈l,B∈l 且A∈α, B∈α?l?α

不在 过________一条 公理 直线上的 三点 2 _______,有且 只有一个平面

若A,B,C 三点不同在 ①确定平 一条直线上, 面;②证 则A,B,C 明点、线 三点确定一 共面 个平面α
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空间点、直线、平面之间的位置关系
数学语 言表示

名称

内容

图形表示

作用

如果两个 不重合 ________的平 一个 面有______公 公理 共点,那么它 3 们有且只有一 条过该点的公 共直线

①判定两个 平面是否相 交;②证明 P∈α,且 点在直线上; P∈β?α∩ ③证明三点 β=l,且 共线;④证 P∈l 明三线共点; ⑤画两个相 交平面的交 线

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空间点、直线、平面之间的位置关系

注:公理2有以下三个推论:
名称 内容 图形表示 数学语言表示 若A?l,则点A 和直线l确定一 个平面α ①确定 若a∩b=P,则 平面; a与b确定一个 ②证明 平面α,使a?α, 点、线 b?α 共面 若a∥b,则a与 b确定一个平面 α,使a?α, b?α
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作用

经 一条直 线和直线 ___________ 外一点 推论1 _______,有 且只有一个 平面
经过 两条相交 _________直 推论2 线有且只有 一个平面 经过两条 平行直线 ________有 推论3 且只有一个 平面

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空间点、直线、平面之间的位置关系

三、空间中直线和平面的位置关系
位置关系 直线a在 平面α内 直线a与平 面α平行 直 线 在 直线a与平 平 面α斜交 面 外 直线a与平 面α垂直 图形表示 符号表示 公共点 无数个 有________ 公共点

a?α ________

________ a∥ α

没有 ______公共点

a∩α=A ________ 有且只有 一个 ______公共点 ________ a⊥α
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空间点、直线、平面之间的位置关系

四、空间中两个平面的位置关系
位置关系 两平面 平行 图形表示 符号表示 α∥β ________ 公共点

没有 ______ 公共点

斜 交
两平 面相 交 垂 直

α∩β=l ________

α⊥β且α∩β ________ =a

有一条 公共 ______ 直线
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空间点、直线、平面之间的位置关系

—— 疑 难 辨 析 ——

1.平面的概念 (1)三角形一定是平面图形.( ) (2)正方体各面所在平面将空间分成9部 分.( )

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空间点、直线、平面之间的位置关系

[答案]

(1)√

(2)×

[解析] 平面.

(1)由公理2可知,不共线的三点确定唯一一个

(2)正方体各面所在平面将空间分成27部分.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

2.平面的基本性质 (1)若点A在直线l上,直线l在平面α内,则点A在平面 α内.( ) (2)两个不重合的平面只能把空间分成四个部 分.( ) (3)两个相交平面只有有限个公共点.( ) (4)若A∈l,B∈l,A∈α,B∈α,则l?α .( ) (5)设平面α与平面β相交于l,直线a?α ,直线b? β ,a∩b=M,则点M一定不在直线l上.(
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×

)

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空间点、直线、平面之间的位置关系

[解析]

(1)由公理1可知此命题正确.

(2)两个平面能把空间分成四个部分或三个部分. (3)由公理3可知,两个相交平面交于一条直线,故有无 穷多个公共点. (4)此即为公理1的数学语言. (5)因为a∩b=M,a?α ,b?β ,所以M在α内,M在β 内.又因为平面α与平面β相交于l,所以M在l上.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系
题型 (考频)

考点统计 点 面 讲 考 向

题型示例(难度)

1.平面的基本性质
2.空间两条直线的位置关系 3.异面直线所成角的计算

0
0 0

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

?

探究点一
例1

平面的基本性质及其应用

(1)下列命题:

点 面 讲 考 向

①公理 1 可结合符号叙述为:若 A∈l,B∈l 且 A∈α, B∈α,则必有 l∈α; ②四边形的两条对角线必相交于一点; ③用平行四边形表示平面, 以平行四边形的四条边作为 平面的边界线; ④梯形是平面图形. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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空间点、直线、平面之间的位置关系

(2)如图 7-39-2,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且 C?l, 直线 AB∩l=M,过 A,B,C 三点的平面记作 γ,则 γ 与 β 的交线必通过( )
点 面 讲 考 向

A.点 A B.点 B C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M

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空间点、直线、平面之间的位置关系

思考流程 (1)分析: 注意空间图形和平面图形的异同; 推理:利用相关定义和平面性质来分析;结论:对照平面
点 面 讲 考 向

的定义和性质逐题辨析对错. (2)分析:公理 3 的应用;推理:过点 A,B,C 的 平面与面的交线是 AB;结论:则 A,B,M 点都在两个平 面的交线.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

[答案]

(1)A (2)D

[解析]
点 面 讲 考 向

(1)对于①注意到直线是点集,平面也是点集,

当直线在平面上时,直线是平面的真子集,应表示为 l?α , 而不应表示成 l∈α,所以①不正确; 对于②,当四边形是平面图形时,两条对角线必相交于 一点, 当四边形是空间四边形时, 两条对角线是不能相交的, 所以②不正确; 对于③,平面是可以无限延伸的,用平行四边形表示的 平面同样是无限延伸的,平行四边形的边并不表示平面的边 界,所以③不正确;
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空间点、直线、平面之间的位置关系

对于④,梯形的两底是两条平行线,它们可唯一确定一 个平面,由于腰的两个端点均在该平面上,故腰也在这个平 面上,即梯形的四边共面,所以梯形是平面图形,所以④正
点 面 讲 考 向

确. (2)∵直线 AB?γ ,M∈AB,∴M∈γ. 又 α∩β=l,M∈l,∴M∈β. 根据公理 3 可知,M 在 γ 与 β 的交线上,同理可知,点 C 也在 γ 与 β 的交线上.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

归纳总结

三个公理是立体几何的基础,公理 1 的作用

是确定直线在平面内的依据;公理 2 是确定平面的依据;公
点 面 讲 考 向

理 3 是确定两个平面有一条交线的依据,同时也是证明多点 共线、多线共点的依据.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

变式题 (1)对于空间三条直线,有下列四个条件: ①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平 行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和 这两条直线都相交. 其中,使三条直线共面的充分条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

点 面 讲 考 向

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空间点、直线、平面之间的位置关系

(2)如图7-39-3是正方体或四面体,P,Q,R,S分别 是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是( )
点 面 讲 考 向

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空间点、直线、平面之间的位置关系

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)B (2)D

[解析] (1)条件①和④可分别推得三条直线共面.由 条件②和③都不能推出三条直线共面,例如正方体中从 一个顶点出发的三条棱,它们就不共面;正方体中三条 互相平行的棱也不共面.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

(2)在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR, ∴P,S,R,Q共面;
点 面 讲 考 向

在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS, ∴P,Q,R,S共面. 如图,在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故 四点共面,D图中PS与RQ为异面直线, ∴四点不共面,故选D.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

?

探究点二
例2

空间两条直线的位置关系

(1)[2012· 大连模拟] 若空间中有两条直线,则“这

点 面 讲 考 向

两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)给出下列四个命题: ①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直 线平行; ②若两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线平行; ③若两条直线和第三条直线平行,则这两条直线平行; ④若两条直线和一个平面平行,则这两条直线互相平 行. 其中不正确的说法是________.
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空间点、直线、平面之间的位置关系

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:利用异面直线定义;推理:没有

交点的两条直线不一定是异面关系;结论:前面的能推出 后面,反之不一定. (2)分析:利用空间直线之间、线面之间的关系判定; 推理:数形结合;结论:逐题判断对错.

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空间点、直线、平面之间的位置关系

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A (2)①②④

[解析] (1)两条直线异面,则肯定没有交点,但没有 交点的直线不一定是异面直线,因为可能是平行关系; (2)①错误.可能平行,可能相交,也有可能异面;② 错.可能平行,但也可能相交或异面;③正确.直线平 行具有传递性;④错.可能平行,可能相交或异面.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点评

判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一

是利用排除法,二是构造几何体(如正方体、空间四边形等)
点 面 讲 考 向

模型来推断.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

归纳总结

①判定空间两直线是异面直线的方法: (i)

依据异面直线的定义判定;(ii)反证法.
点 面 讲 考 向

②要正确理解异面直线的定义,其特征是既不相交又 不平行.要弄清楚“不同在任何一个平面内的两条直线” 与 “分别在两个平面内的两条直线” 这两种说法的区别. 前 者所指的两条直线是异面直线,后者所指的两条直线不一 定是异面直线. ③找出两平行直线的常见方法:利用公理 4;利用平 行四边形的性质;利用中位线或线段成比例.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

变式题 (1)已知直线 a,b 是两条异面直线,直线 c 平行于直线 a,则直线 c 与直线 b( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 (2)不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定 ________个平面;若相交于两点,最多能确定________个 平面;若相交于三点,最多能确定________个平面.

点 面 讲 考 向

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空间点、直线、平面之间的位置关系

[答案]

(1)C (2)3

2

1

[解析] (1)易知 c 与 b 有可能相交,也有可能异面.
点 面 讲 考 向

(2)三条直线相交于一点,最多可确定 3 个平面,如图 ①; 三条直线相交于两点, 最多可确定 2 个平面, 如图②; 三条直线相交于三点,最多可确定 1 个平面,如图③.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

?

探究点三
例3

异面直线所成角的计算
已知正方体ABCD-A1B1C1D1

(1)[2012· 全国卷]

点 面 讲 考 向

中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F 所成角的余弦值为________. (2)如图7-39-4,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,且 PA=AC=BC=a,则异面直线PB与AC所成的角的正切值 等于________.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

思考流程
点 面 讲 考 向

(1)分析:利用直线平行移动求异面直线之

间所成的角;推理:把异面直线所成的角构造到三角形 中,利用解三角形知识求解;结论:注意异面直线所成角 的范围. (2)分析:构造成正方体(构造法);推理:利用平移方 法求解;结论:在直角三角形中求解.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

[答案]
点 面 讲 考 向

3 (1)5 (2) 2

[解析]

(1)连接DF,显然有DF∥AE,所以∠DFD1 5 2 ,由余弦定理可求得∠DFD1的余弦值为

为所求异面直线所成角或其补角.设正方体棱长为1,则 DF=FD1= 3 3 5,故填5.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

(2)如图,将此几何体补形成一个正方体DBCA- D1B1C1P,PB与AC所成的角的大小即此正方体体对角线 PD PB与棱BD所成角的大小.容易求得tan∠DBP= = 2. DB

点 面 讲 考 向

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点评

本例平移直线的策略分别是直接平移、补形平

移,若题设中出现等分点(尤其是中点),有时也可利用等分
点 面 讲 考 向

点(尤其是中点)构造平行线(如中位线)达到平移的目的.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

归纳总结

①平移线段法是求异面直线所成角的常用方

点 面 讲 考 向

法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问 题来解决,具体步骤如下: (i)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线 所成的角; (ii)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; (iii)计算:求该角的值,常利用解三角形; ? π? (iv)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是 ?0,2? ,当 ? ? 所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的 角. ②求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角 的范围.
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空间点、直线、平面之间的位置关系

变式题
点 面 讲 考 向

(1)[2011· 青岛二模]

已知正方体ABCD-

A1B1C1D1,则异面直线BD1与AC所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° (2)[2012· 唐山模拟] 四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都为 5 ,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA所成角的余 弦值为( ) 5 A. 5 4 C.5 2 5 B. 5 3 D.5

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空间点、直线、平面之间的位置关系

[答案]

(1)D (2)A

[解析]
点 面 讲 考 向

(1)如图,在该正方体的右侧补一个棱长相

等的正方体,则易知BD1∥CE,故∠ECA即为异面直线 BD1与AC所成的角.设AB=1,则AE2=22+12=5,AC2
2 =2,CE2=BD2+DD 1 =3,故AC2+CE2=AE2,即∠ECA

=90°.

(2)因为CD平行于AB,所以CD与PA所成角就是 ∠PAB;由余弦定理可求.
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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

思想方法15

构造模型判断空间线面的位置关系

例 如图 7-39-5, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E, F 分别为棱

多 元 提 能 力

AA1,CC1 的中点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF, CD 都相交的直线( ) A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条
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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

[分析]

解决此题的关键是将空间问题转化为平面

问题. A1D1 和直线 EF 上一点 M 可以确定一个平面, 过 这 个平面都和 CD 有一个交点, 由于 M 是直线 EF 上的动点, 这样的平面有无穷个,所以这样的直线也有无数条.

多 元 提 能 力

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

[解析] D 如图7-39-6,在EF上任意取一点M,直 线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交 点N,当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有 不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.所 以在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有无 数多条.故选D.
多 元 提 能 力

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

自我检评 (1)[2011· 四川卷] l1,l2,l3是空间三条不同 的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面 (2)四边形ABCD与CDEF是两个全等的正方形,且两 个正方形所在平面互相垂直,则DF与AC所成角的大小为 ________.
[答案] π (1)B (2) 3

多 元 提 能 力

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

[解析]

(1)对于A,直线l1与l3可能异面;对于C,直

线l1,l2,l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面; 对于D,直线l1,l2,l3相交于同一个点时不一定共面.所 以选B. (2)如图,将该图补成一个正方体,则AG∥DF,则
多 元 提 能 力

∠CAG即为DF与AC所成的角,由AG=AC=CG知, π ∠CAG= . 3

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

备选理由 例1主要考查等角定理的应用,此类题在 前述例题中并未出现,故予以补充;例2则为一道以空间 四边形为载体的开放探究性试题,数学习题乃至高考题大 多是由一些经典习题通过适当构造而得到的,该题通过变 换部分条件,构造出不同的数学问题,让学生从中学会一 些构题的技巧,同时也使学生掌握了与空间四边形有关的 几个常用结论.

教 师 备 用 题
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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

例1

如图,已知直线AA′,BB′,CC′相交于O,且

OA′ OB′ OC′ = = . OA OB OC

求证:△ABC∽△A′B′C′.
教 师 备 用 题
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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

OA′ OB′ OB′ OC′ 证明:∵ = , = , OA OB OB OC ∴在平面ABC与平面A′B′C′中, 有A′B′∥AB,B′C′∥BC且方向相同. ∴∠ABC=∠A′B′C′, 同理∠BAC=∠B′A′C′, ∴△ABC∽△A′B′C′.
教 师 备 用 题
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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

例2

如图,空间四边形ABDC,E,F,G,H分别

是AB,AC,CD,BD的中点.

(1)求证:四边形EFGH是平行四边形; (2)若AD=BC,则四边形EFGH是什么图形?
教 师 备 用 题

(3)若AD⊥BC,则四边形EFGH是什么图形? (4)若AD=BC,且AD⊥BC,则四边形EFGH是什么图 形?
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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

1 解:(1)证明:∵EF∥BC,且EF=2BC, 1 GH∥BC,且GH=2BC, ∴EF∥GH,且EF=GH, ∴四边形EFGH是平行四边形. 1 1 (2)由(1)知EF= BC,同理可证FG= AD, 2 2 又AD=BC,
教 师 备 用 题

∴EF=FG,∴

EFGH是菱形.

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第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

(3)∵EF∥BC,FG∥AD,又AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴ EFGH是矩形. (4)由(2)、(3)已证可知,当AD=BC,且AD⊥BC时, EFGH是正方形.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第40讲 直线、平面平行 的判定与性质

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考试大纲
以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理 解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理.

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第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

—— 知 识 梳 理 —— 一、直线与平面平行的判定与性质
类别 语言表述 一条直线与一个平面 ________________, 没有公共点 则称这条直线与这个 平面平行
判定

图形表示

符号表示 a∩α=? ?a∥α

应用

平面外 一条直线与此平 __________________ 面内的一条直线 __________________ 平行,则这条直线平 行于这个平面

a?α,b?α, 且 a∥b?a∥ α

证明直 线与平 面平行

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第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

类别

语言表述

图形表示

符号表示

应用

性质

一条直 线和 一个平面平行, 则过这条直线 的任一平面与 此平面的 交线 ______与该直 平行 线______

a∥α,a?β, 证明直线与 α∩β= 直线平行 b?a∥b

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第40讲
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直线、平面平行的判定与性质

二、平面与平面平行的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 符号表示 a?α,b?α, a∩b=P,a∥β, b∥β?α∥β 应用

一个平面内的两 条_________与 相交直线 另一个平面平行, 则这两个平面平 行
如果一个平面内 相交直线 有两条________ 判定 分别平行于另一 个平面内的 两条直线 ________,那么 这两个平面平行 垂直于 同一条直线 __________的两 个平面平行

a?α,b?α, a∩b=P,a∥a′ ,b∥b′,α′?β, b′?β?α∥β

证明 平面 与平 面平 行

a⊥α,a⊥β ?α∥β
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第40讲
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直线、平面平行的判定与性质

类别

语言表述
两个平面平行, 则其中一个平面 内的直线必 平行 ______于另一个 平面

图形表示

符号表示

应用
证明 直线 与平 面平 行 证明 直线 与直 线平 行

α∥β, a?α ?a∥β

性质

如果两个平行平 面同时和第三个 平面相交,那么 交线 它们的______平 行

α∥β,α∩γ=a, β ∩γ =b?a∥b

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第40讲
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直线、平面平行的判定与性质

—— 疑 难 辨 析 ——

1.直线与平面平行的判定和性质 (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线, 则这条直线平行于这个平面.( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平 行于这个平面内的任一条直线.( ) (3)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离 相等,则直线和平面平行.( ) (4)若直线a与平面α内无数条直线平行,则 a∥α.( )

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直线、平面平行的判定与性质

(5)若直线a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直 线有无数条.( ) (6)空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的 中点,则EF∥平面BCD.( )

[答案]

(1)×

(2)× (3)×

(4)×

(5)× (6)√

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第40讲
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直线、平面平行的判定与性质

[解析] 异面.

(1)这条直线有可能在这个平面内.

(2)这条直线与平面内的任一直线的位置关系是平行或 (3)直线与平面平行或相交. (4)还有另一种可能:a?α . (5)画图可知,过点P且平行于a的直线只有一条,且在 平面α内. (6)EF为△ABD的中位线,故EF∥BD,由直线与平面平 行的判定定理可知,EF∥平面BCD.

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第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

2.平面与平面平行的判定和性质 (1)a?α ,b?α ,a∥β,b∥β?α ∥β .( (2)α∥β,a?α ,b?β ,则a,b平行或异 面.( ) (3)α∥β,β∥γ?α ∥γ .( ) (4)若α∥β,直线a∥α,则a∥β.( ) )

[答案]

(1)× (2)√

(3)√

(4)×

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第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

[解析]

(1)由平面与平面平行的判定定理知,这两条

直线必须是相交直线. (2)两个平面平行,则两个平面无公共点,故分别在这 两个平面内的两条直线没有交点. (3)此为平面平行的传递性. (4)还有另一种可能:a?β .

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

考点统计
点 面 讲 考 向 1.线面、面面平行的基本问题 2.线面平行的判定与性质

题型(考频)
选择(1) 0

题型示例(难度)
2009年T9(A)

3.面面平行的判定与性质

0

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

?

探究点一
例1

线面、面面平行的基本问题

(1)[2012· 银川质检] 在空间中,下列命题正确的

点 面 讲 考 向

是(

) A.若a∥α,b∥a,则b∥α B.若a∥α,b∥α,a?β ,b?β ,则β∥α C.若α∥β,b∥α,则b∥β D.若α∥β,a?α ,则a∥β

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

(2)下列命题中,错误的是( ) A.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平 行于这个平面 B.平面α∥平面β,a?α ,过β内的一点B有唯一的一 条直线b,使b∥a C.α ∥β ,γ∥δ,α,β,γ,δ的交线为a,b,c,d, 则a∥b∥c∥d D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的 充要条件

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

思考流程
点 面 讲 考 向

两题的思考流程都可以为:分析:线面平

行、面面平行的判定和性质定理的使用;推理:结合图 形,合理使用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理 逐个判断正误;结论:逐一判断正误.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

[答案]

(1)D

(2)D

[解析]
点 面 讲 考 向

(1)A中,可能有b?α ;B中,a,b不一定是

相交直线;C中可能有b?β ,D正确. (2)D中,一条直线与两个平面成等角,两个平面也可能 相交.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

归纳总结 系.

线面平行、面面平行的基本问题多以小题出

现,处理方法是数形结合,先画图,再确定线与面的位置关
点 面 讲 考 向

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

变式题

(1)设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB

点 面 讲 考 向

的中点,当A,B分别在α,β内运动时,那么所有的动点 C( ) A.不共面 B.当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才 共面 D.不论A,B如何移动都共面 (2)a,b是两条异面直线,A是不在a,b上的点,则下 列结论成立的是( ) A.过A有且只有一个平面平行于a,b B.过A至少有一个平面平行于a,b C.过A有无数个平面平行于a,b D.过A且平行于a,b的平面可能不存在
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)D (2)D

[解析] (1)不论A,B如何移动,点C均在与α,β距离 相等的平面内,故选D. (2)过A点作两条相交直线m,n分别平行于a,b,则 m,n确定唯一平面α,但α可能过直线a,b中的一条,故 选D.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

?

探究点二

线面平行的判定与性质

例2 [2012· 辽宁卷改编] 如图7-40-1,
点 面 讲 考 向

直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC= λAA′,点M,N分别为A′B和B′C′的中点. 证明:MN∥平面A′ACC′.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:底面是等腰直角三角形的直三棱

柱;目标:证明线面平行;方法:证明线线平行或通过证 明面面平行来证明线面平行.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

解:(1)(证法一) 连接AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,
点 面 讲 考 向

AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱. 所以M为AB′中点. 又因为N为B′C′的中点. 所以MN∥AC′. 又MN?平面A′ACC′, AC′?平面A′ACC′, 因此MN∥平面A′ACC′.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

(证法二) 取A′B′中点P,连接MP,NP,
点 面 讲 考 向

因为M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′, PN∥A′C′, 所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,又 MP∩NP=P, 因此平面MPN∥平面A′ACC′,而MN?平面MPN, 因此MN∥平面A′ACC′.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

归纳总结
点 面 讲 考 向

证明直线和平面的平行常用如下两种方

法:①利用直线和平面平行的判定定理,通过“线线”平 行,证得“线面”平行;②利用两平面平行的性质定理, 通过“面面”平行,证得“线面”平行. 证明线线平行的方法主要有:①平面几何有关定理; ②公理4;③线面平行的性质定理;④面面平行的性质定 理;⑤线面垂直的性质定理:若两条直线同垂直于一个平 面,则这两条直线平行.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

变式题

已知点P是三角形ABC所在平面外一点,且

点 面 讲 考 向

PA=BC=1,截面EFGH分别平行于PA,BC(点E,F,G, H分别在棱AB,AC,PC,PB上). (1)求证:四边形EFGH是平行四边形且周长为定值; (2)设PA与BC所成的角为θ,求四边形EFGH的面积的 最大值.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

解:(1)证明:∵PA∥截面EFGH,平面PAB∩截面 EFGH=HE,平面PAC∩截面EFGH=GF,
点 面 讲 考 向

∴PA∥HE,PA∥GF, ∴HE∥GF,同理HG∥EF, ∴四边形EFGH是平行四边形. BH EH x 设EH=x(0<x<1),则 = =1, BP AP PH HG ∴ =1-x= ?HG=1-x, BP BC ∴四边形EFGH的周长为2(EH+HG)=2(x+1-x)= 2, 即四边形EFGH是平行四边形且周长为定值.
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

(2)由(1)知设EH=x(0<x<1),则有EF=HG=1-x. 又∵PA∥HE,BC∥EF,
点 面 讲 考 向

∴∠HEF(或补角)是PA与BC所成的角, ∴S?EFGH=HE· sin∠HEF=x(1-x)sinθ EF·
? ? 1?2 1? =?-?x-2? +4?sinθ ? ? ? ?



1 ∴当x= 时,即E,F,G,H为所在边的中点时,四 2 1 边形EFGH的面积有最大值4sinθ .

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

?

探究点三
例3

面面平行的判定与性质

如图7-40-3所示,正三棱柱ABC-A1B1C1中,

点 面 讲 考 向

E,F,G,H分别是AB,AC,A1C1,A1B1的中点. 求证:平面A1EF∥平面BCGH.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:已知正三棱柱中边的中点;目标:

证明面面平行;方法:根据面面平行的判定定理.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

证明:在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点, ∴EF∥BC.
点 面 讲 考 向

又∵EF

平面BCGH,BC?平面BCGH,

∴EF∥平面BCGH. 又∵G,F分别为A1C1,AC的中点,三棱柱ABC- A1B1C1为正三棱柱, ∴A1G FC, ∴四边形A1FCG为平行四边形, ∴A1F∥GC.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

又∵A1F
点 面 讲 考 向

平面BCGH,CG?平面BCGH,

∴A1F∥平面BCGH. 又∵A1F∩EF=F, ∴平面A1EF∥平面BCGH.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

归纳总结 定成立.

①运用判定定理证明平面与平面平行时,两

直线是相交直线这一条件是关键,缺少这一条件则定理不一
点 面 讲 考 向

②平行关系的相互转化.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

变式题 ABB1A1平行?
点 面 讲 考 向

例3中条件不变,过G如何作一个平面与平面

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

解:如图,过G作GM∥A1B1交B1C1于M,再过M作 MN∥B1B交BC于N,
点 面 讲 考 向

则GM∥平面ABB1A1,MN∥平面ABB1A1. 又∵GM∩MN=M, ∴平面GMN∥平面ABB1A1, 即平面GMN为所求作的平面.
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

答题模板11 综合使用线面、面面平行的判定定理与性
例 P 是△ABC 所在平面外一点,A′,B′,C′分别是 △PBC,△PCA,△PAB 的重心.

多 元 提 能 力

(1)求证:平面 A′B′C′∥平面 ABC; (2)求证:AC∥平面 A′B′C′; (3)求△A′B′C′与△ABC 的面积之比.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

解:(1)证明:连接PA′,PC′,并延长分别交BC,AB 于M,N两点,连接MN. ∵A′,C′分别是△PBC,△PAB的重心, 2 2 ∴PA′= PM,PC′= PN,∴A′C′∥MN.1分 3 3 ∵A′C′
多 元 提 能 力

平面ABC,MN?平面ABC,

∴A′C′∥平面ABC,同理A′B′∥平面ABC. 又A′C′∩A′B′=A′,A′C′,A′B′?平面A′B′C′, ∴平面A′B′C′∥平面ABC.3分

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

多 元 提 能 力

(2)证明:由(1)得平面A′B′C′∥平面ABC, 又AC?平面ABC, ∴AC∥平面A′B′C′.6分 2 (3)由(1)知A′C′∥MN,且A′C′=3MN, 1 又MN∥AC,且MN=2AC, 1 ∴A′C′∥AC,且A′C′=3AC.8分 1 同理A′B′∥AB,且A′B′=3AB, 1 B′C′∥BC,且B′C′= BC,10分 3 ∴△A′B′C′∽△ABC, ∴△A′B′C′与△ABC的面积之比为1∶9.12分

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

方法解读

在证明(解)空间平行关系的问题时,通过

多 元 提 能 力

线面、面面平行判定定理可以得到线面平行,从而得到面 面平行;反之,通过其性质定理,又可以得到线面平行和 线线平行. ①运用判定定理证明线面平行和面面平行的关键是线 线平行.证明线线平行的方法常有:构造三角形中位线或 平行四边形,运用对应边成比例;通过面面平行来证明 等; ②运用线面平行和面面平行的性质定理的关键是构造 一个平面,从而有线线平行这个实质.

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质
自我检评 如图7-40-6所示,在正方体ABCD-

A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1A 的中点.求证: (1)BF∥HD1; (2)EG∥平面BB1D1D; (3)平面BDF∥平面B1D1H.
多 元 提 能 力

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

证明:(1)如图所示,取BB1的中点M,易证四边形 HMC1D1是平行四边形,∴HD1∥MC1. 又∵MC1∥BF,∴BF∥HD1.

多 元 提 能 力

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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

(2)取BD的中点O,连接EO,D1O, 1 则OE DC, 2 1 又D1G DC,∴OE D1G, 2 ∴四边形OEGD1是平行四边形,∴GE∥D1O.
多 元 提 能 力

又D1O?平面BB1D1D,EG?平面BB1D1D, ∴EG∥平面BB1D1D. (3)由(1)知D1H∥BF,又BD∥B1D1,B1D1,HD1?平 面HB1D1,BF,BD?平面BDF,且B1D1∩HD1=D1, DB∩BF=B,∴平面BDF∥平面B1D1H.
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

备选理由 例1将平行关系的转化与求平行线间的距 离融合,此类题在例题中并未出现.例2为一道翻折问题, 同时也是一道开放性试题,通过该题的讲解,有助于学生 掌握翻折型综合问题的求解技巧,同时也有助于学生“变 中有不变”的辩证思想观的形成.

教 师 备 用 题
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

例1

l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的平面

AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线. (1)求证:D1B1∥l; (2)若AB=a,求l与D1间的距离.

教 师 备 用 题
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

解:(1)证明:∵D1B1∥BD,∴D1B1∥平面ABCD. 又平面ABCD∩平面AD1B1=l,∴D1B1∥l. (2)∵D1D⊥平面ABCD, 如下图,在平面ABCD内,过D作DG⊥l于G,连接 D1G,则D1G⊥l,D1G的长即等于点D1与l间的距离.

教 师 备 用 题

∵l∥D1B1∥BD,∴∠DAG=45°, 2 ∴DG= 2 a,D1G= DG2+D1D2= 1 2 6 2 2a +a = 2 a.
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质

例2

如图(a),在矩形ABCD和矩形ABEF中,矩形

ABEF可沿AB任意翻折,AF=AD,M,N分别在AE,DB 上运动,且满足AM=DN.

(1)求证:当F,A,D不共线,M,N不与A,D重合 时,MN总平行于平面FAD;
教 师 备 用 题

(2)不管怎样翻折矩形ABEF,直线MN总和FD平行, 这个结论对吗?如果对,请证明;如果不对,请说明能否 改变个别已知条件使上述结论成立.
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第40讲

直线、平面平行的判定与性质
解:(1)证明:如图(b),连接BM交FA于G,连接DG, ∵AF=AD,矩形ABCD和ABEF有公共边AB, ∴AE=DB. AM DN 又AM=DN,∴ = , ME NB AM GM DN GM 又 = ,∴ = , ME MB NB MB ∴DG∥MN.又DG?平面FAD,MN?平面FAD, ∴MN∥平面FAD. (2)结论错, 若M,N分别为AE,DB的中点时,则结论成立.仿上可

教 师 备 用 题

证.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第41讲 直线、平面垂直 的判定与性质

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考试大纲
以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理 解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理.

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

—— 知 识 梳 理 —— 一、直线与平面垂直 任意一条直线 1.定义:如果直线l和平面α内的_________________ 都垂直,就称直线l和平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l 叫做平面α的________,平面α叫做直线l的________. 垂线 垂面 2.直线与平面垂直的判定与性质

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

类别

语言表述 根据定义:一条直线 与一个平面内的 任意一条直线 __________________ 都垂直,则该直线与 此平面垂直

图形表示

符号语言

应用

判定

一条直线与一个平面 两条相交直线 内的______________ 都垂直,则该直线与 此平面垂直

证直线 与平面 平行

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质
语言表述
如果两条平行直 一条 线中的______垂 直于一个平面, 另一条 那么______也垂 直于同一个平面

类别

图形表示

符号语言

应用
证直 线和 平面 垂直

判定

如果一条直线和 一个平面垂直, 那么这条直线和 这个平面内的 ______________ 任意一条直线 性质 都垂直 垂直于同一个平 面的两条直线 平行 ______

证两 条直 线垂 直 证两 条直 线平 行
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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

二、两个平面垂直 1.定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角 ________,就说这两个平面互相垂直. 2.两个平面垂直的判定和性质

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

类别

语言表述

图形表示

符号语言

应用

根据定义,证明 两平面所成的二 直二面角 面角是________
判定

∠AOB是二面角 α-l-β的平面角,
且____________, ∠AOB=90° 则α⊥β 证两 平面 垂直

一个平面过另一 个平面的______, 垂线 那么这两个平面 垂直

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

类别

语言表述
如果两个平面垂 直,那么它们所 成 二面角的平面角 _______________ 是直角

图形表示

符号语言
α⊥β,∠AOB是 二面角α-a-β的 平面角,则 ________ ∠AOB=90°

应用
证两 条直 线垂 直

性质

两个平面垂直, 则一个平面内垂 交线 直于______的直 线垂直于 另一个平面 ______________

证直 线与 平面 垂直

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

—— 疑 难 辨 析 ——

1.垂直关系的理解 (1)a⊥b,b⊥c?a∥c.( ) (2)直线l是平面α内任意一条直线,若直线a⊥l, 则a⊥α .( ) (3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.( ) (4)若α⊥β,a⊥β?a∥α .( ) (5)a⊥α,a?β ?α ⊥β .( )

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

[答案]

(1)×

(2)√ (3)√

(4)×

(5)√

[解析]

(1)a,b可能平行或异面.(2)由定义知(2)正

确.(3)根据线面垂直的定义或判定定理都可以证 明.(4)a∥α或a?α .(5)符合面面垂直的判定定理.

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

2.线面角、二面角的理解 (1)异面直线所成的角、二面角的取值范围均为
? π ? ?0, 2 ? ? ? ?.( ?

)

(2)直线a,b分别垂直于二面角的两个半平面,则 a,b所成的角就是二面角的大小.( ) (3)在二面角α-l-β的棱上取两点O,O′,在α内作 OA⊥l,在β内作O′B⊥l,则异面直线OA与O′B所成的角 即为二面角α-l-β的平面角.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×

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第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质
? π ? (1)异面直线所成的角的范围是 ?0, 2 ? ? ? ? ,二面 ?

[解析]

角的取值范围是[0,π ].(2)a,b所成的角与二面角的平面 角相等或互补. (3)当二面角为钝二面角时,此时的平面角为钝角,但 异面直线OA与O′B所成的角为锐角.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

考点统计
点 面 讲 考 向 1.线面垂直、面面垂直的基本 问题 2.线面垂直的判定与性质

题型(考频)
0 0

题型示例(难度)

3.面面垂直的判定与性质

解答(3)

2009年T18(2)(B), 2010年T18(1)(B), 2012年T19(1)(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年课程标准卷.
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

?

探究点一
例1

线面、面面垂直的基本问题
设α是空间中的一个平

(1)[2012· 金华十校联考]

点 面 讲 考 向

面,l,m,n是三条不同的直线,则下列命题中正确的是 ( ) A.若m?α ,n?α ,l⊥m,l⊥n,则l⊥α B.若m?α ,n⊥α,l⊥n,则l∥m C.若m⊥α,n⊥α,则m∥n D.若l⊥m,l⊥n,则n∥m

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

(2)设α,β,γ为彼此不重合的三个平面,l为直线,给 出下列命题: ①若α∥β,α∥γ,则β∥γ; ②若α⊥γ,β⊥γ,且α∩β=l,则l⊥γ; ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平 面α垂直; ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等,则平面α 平行于平面β . 上面命题中,真命题的序号为________.(写出所有真 命题的序号)

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

思考流程 (1)分析:运用空间线面平行与垂直的判定 定理和性质;推理:结合图形,运用定理逐个排除;结
点 面 讲 考 向

论:得出正确结果. (2)分析:运用面面平行与垂直的判定定理和性质;推 理:数形结合,运用定理逐个排除;结论:得出正确结 果.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

[答案]
[解析]
点 面 讲 考 向

(1)C (2)①②
(1)m?α ,n?α ,l⊥m,l⊥n,需要m与n相

交才有l⊥α,A错误. 若m?α ,n⊥α,l⊥n,l与m可能平行、相交、也可能 异面,B错误. 若l⊥m,l⊥n,n与m可能平行、相交、也可能异面,D 错误. (2)由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直 线,所以③错,④中的不共线的三点有可能是在平面的两 侧,所以两个平面可能相交也可能平行,故填①②.
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

归纳总结

线面、面面垂直的基本问题多以小题形式出

现,解题顺序是将文字语言或符号语言转化为图形,即数形
点 面 讲 考 向

结合,分析线面、面面垂直问题,画图时先确定面,再确定 线的所有可能的位置.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

变式题

(1)[2012· 无锡一中模拟] 设l,m是两条不同

点 面 讲 考 向

的直线,α是一个平面,有下列四个命题: ①若l⊥α,m?α ,则l⊥m;②若l⊥α,l∥m,则 m⊥α;③若l∥α,m?α ,则l∥m;④若l∥α,m∥α,则 l∥m. 其中命题正确的是________. (2)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平 面,下列命题中的假命题是( ) A.若m⊥α,m⊥β,则α∥β B.若m∥n,m⊥α,则n⊥α C.若m∥α,α∩β=n,则m∥n D.若m⊥α,m?β ,则α⊥β

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

[答案]

(1)①② (2)C

[解析]
点 面 讲 考 向

(1)根据直线与平面垂直的定义,命题①正

确;两条平行中的一条直线垂直于一个平面,另一条也 垂直这个平面,命题②正确;直线与平面平行时直线不 一定平行这个平面内的任意直线,命题③不正确;直线 与平面的平行不具有传递性,命题④不正确. (2)垂直于同一条直线的两个平面平行,选项A中的命 题正确;两平行线中一条垂直一个平面另一条也垂直这 个平面,选项B中的命题正确;C中直线m和n可能平行、 相交或异面,故选项C中的命题不正确;D即线面垂直的 判定定理,选项D中的命题正确.
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点评

解决和空间垂直关系有关的基本问题的关键是熟

练掌握线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理,解题时
点 面 讲 考 向

多结合图形,数形结合.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

?

探究点二

线面垂直的判定与性质

例2 已知Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,
点 面 讲 考 向

D为斜边AC的中点.

(1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:三棱锥的三条侧棱相等,底面是直

角三角形;目标:证明线面垂直;方法:根据判定定理可 转化为证明线线垂直.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

证明:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE.

点 面 讲 考 向

在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点, 故DE∥BC,且DE⊥AB. ∵SA=SB, ∴△SAB为等腰三角形, ∴SE⊥AB. ∵DE⊥AB,SE∩DE=E, ∴AB⊥平面SDE.
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

又SD?平面SDE, ∴AB⊥SD.
点 面 讲 考 向

在△SAC中,SA=SC,D为AC的中点, ∴SD⊥AC. 又∵SD⊥AB,AC∩AB=A, ∴SD⊥平面ABC. (2)若AB=BC,则BD⊥AC. 由(1)可知SD⊥平面ABC,BD?平面ABC, ∴SD⊥BD. ∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

归纳总结
点 面 讲 考 向

证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判

定定理;二是利用面面垂直的性质定理.解题时,注意线 线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直 时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上 的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直 径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形 (或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等 等.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

变式题

如图7-41-2所示,在长方体ABCD-

点 面 讲 考 向

A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点. 求证:A1E⊥平面ADE.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

证明:∵AB=BC=1,E为BB1中点,且BB1=2,由 勾股定理知:
点 面 讲 考 向

A1E= 1+1= 2,AE= 1+1= 2, 则A1A2=A1E2+AE2, ∴A1E⊥AE. ∵AD⊥平面AA1B1B,A1E?平面AA1B1B, ∴A1E⊥AD. 又AD∩AE=A,∴A1E⊥平面ADE.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

?

探究点三
例3

面面垂直的判定与性质
如图7-41-3,三棱柱

[2012· 课程标准卷改编]

点 面 讲 考 向

ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC 1 =2AA1,D是棱AA1的中点. 证明:平面BDC1⊥平面BDC.

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直线、平面垂直的判定与性质

思考流程
点 面 讲 考 向

条件:如题目;目标:证明面面垂直;方

法:运用面面垂直的判定定理来证明.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC= C,所以BC⊥平面ACC1A1.
点 面 讲 考 向

又DC1?平面ACC1A1,所以DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1= 90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC. 又DC1?平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点评

面面垂直的问题常常转化为证线面垂直、线线垂

直的问题解决,其关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平
点 面 讲 考 向

面,即将证明面面垂直转化为证明线面垂直,利用判定定理 证明;也可作出二面角的平面角,证明平面角为直角,利用 定义证明.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

归纳总结

①证明两个平面垂直,首先要考虑直线与平

点 面 讲 考 向

面的垂直,也可简单地记为“证面面垂直,找线面垂直”, 是化归思想的体现,这种思想方法与空间中的平行关系的证 明非常类似,这种转化方法是本讲内容的显著特征,掌握化 归与转化思想方法是解决这类问题的关键. ②空间垂直关系之间的转化——这也是立体几何中证明 垂直关系常用的思路,三种垂直关系的转化可结合图记忆.

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直线、平面垂直的判定与性质

变式题 如图7-41-5所示,过S引三条长度相等但不共
点 面 讲 考 向

面的线段SA,SB,SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC= 90°. 求证:平面ABC⊥平面BSC.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

证明:∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°, ∴AB=AC=SA.取BC中点O,连接AO,SO,
点 面 讲 考 向

则AO⊥BC,SO⊥BC, ∴∠AOS为二面角A-BC-S的平面角. 设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°, 2 1 2 2 2 2 ∴BC= 2a,SO= a,AO =AC -OC = a , 2 2 ∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°, ∴平面ABC⊥平面BSC.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

答题模板12 立体几何解答题的规范解答
例 如图7-41-6所示,在四棱锥P-ABCD中,底面

多 元 提 能 力

ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三 角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中 点. (1)求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使 平面DEF⊥平面ABCD?证明你的结论.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

解:(1)证明:在菱形ABCD中,∠DAB=60° ,G为 AD的中点,所以BG⊥AD.1分 又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BG⊥平面PAD.3分 (2)证明:如图7-41-7,连接PG,因为△PAD为正 三角形, G为AD的中点,得PG⊥AD.4分

多 元 提 能 力

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

多 元 提 能 力

由(1)知BG⊥AD, PG?平面PGB,BG?平面PGB,PG∩BG=G,所以 AD⊥平面PGB.6分 因为PB?平面PGB, 所以AD⊥PB.7分 (3)当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证 明如下:取PC的中点F,连接DE,EF,DF, 在△PBC中,FE∥PB,在菱形ABCD中,GB∥DE, 而FE?平面DEF,DE?平面DEF, EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面PGB.8分 因为BG⊥平面PAD,所以BG⊥PG, 又因为PG⊥AD,AD∩BG=G, ∴PG⊥平面ABCD,10分
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

而PG?平面PGB, 所以平面PGB⊥平面ABCD,11分 所以平面DEF⊥平面ABCD.12分

多 元 提 能 力

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直线、平面垂直的判定与性质

方法解读

立体几何在高考题中只能算作是中等题,

多 元 提 能 力

但大多数考生得不得满分,究其原因主要是因为“对而不 全”. ①运用判定定理或性质定理证明问题时漏写条件.解 决这个问题的方法是真正理解每个定理的条件和结论,在 书写时一定要把要点罗列,如证明线面垂直时,一定要体 现一条直线和平面内两条相交直线同时垂直才可以; ②解答过程要有条理.在解决复杂的立体几何问题 时,要注意层层铺垫,先证(求)什么,再证(求)什么,要 有条理,其反应的是考生思路清晰,表达全面.

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

自我检评

如图7-41-8,在四棱锥P-ABCD中,

平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形, 已知BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. (1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面 PAD; (2)求三棱锥C-PAB的体积.

多 元 提 能 力

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

解:(1)证明:在△ABD中,由于AD=4,BD=8, AB=4 5,所以AD2+BD2=AB2,故AD⊥BD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD= AD,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面PAD. 又BD?平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD.
多 元 提 能 力

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

(2)过P作PO⊥AD交AD于O, 由于平面PAD⊥平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD. 因此PO为棱锥P-ABC的高. 又△PAD是边长为4的等边三角形.
多 元 提 能 力

3 因此PO= ×4=2 3. 2 1 又S△ABC=S△ABD=2AD·BD=16, 1 32 3 ∴V三棱锥C-PAB=V三棱锥P-ABC= 3×16×2 3= 3 .

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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

备选理由 本讲主要内容为垂直关系的判定与性质, 有时此类考题也以小题形式出现,故补充第1题,旨在揭 示垂直关系在小题中的命题规律及求解策略.直线与平面 所成的角和二面角在少数新课标省份的高考文科卷中也出 现过.但难度不大,故补充第2,3题,通过这两道题的讲 解,可让学生初步掌握一些简单的线面角和二面角的大小 问题的求解策略.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

例1 平面(

[2012· 浙江卷] )

设l是直线,α,β是两个不同的

A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

[解析] B 本题考查了线面、面面平行,线面、面面垂 直等简单的立体几何知识,考查学生对书本知识的掌握情 况以及空间想象、推理能力.对于选项A,若l∥α,l∥β, 则α∥β或平面α与β相交;对于选项B,若l∥α,l⊥β,则 α⊥β;对于选项C,若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l在平面β 内; 对于选项D,若α⊥β,l∥α,则l与β平行、相交或l在平面β 内.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

例2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求二面角A-B1D1-C的余弦值的大小; (2)求二面角C1-BD-C的平面角的正切值.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

解:(1)取B1D1中点O1,连接AO1,CO1, ∵在正方体AC1中,B1D1⊥AO1,CO1⊥B1D1, ∴∠AO1C即为二面角A-B1D1-C的平面角. 6 在△AO1C中,AO1=CO1= ,AC= 2, 2 1 可以求得cos∠AO1C= , 3 1 即二面角A-B1D1-C的余弦值的大小为 . 3
教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

(2)取BD的中点O,连接CO,C1O, ∵在正方体AC1中,CO⊥BD,CC1⊥平面ABCD,C1O⊥ BD, ∴∠COC1为平面C1BD与平面ABCD所成二面角C1-BD -C的平面角, 可以求得tan∠COC1= 2, 所以二面角C1-BD-C的平面角的正切值为 2.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

例3 [2012· 天津卷] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底 面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 3 ,PD=CD =2. (1)求异面直线PA与BC所成角的正切值; (2)证明平面PDC⊥平面ABCD; (3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

解:(1)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,因为底面 ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC,又因为AD⊥PD, 故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角. PD 在Rt△PDA中,tan∠PAD=AD=2. 所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.

教 师 备 用 题
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第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由于 AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD?平面 ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD. (3)在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连 接EB. 由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平 面ABCD的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB 与平面ABCD所成的角.
教 师 备 用 题

在△PDC中,由于PD=CD=2,PC=2 3 ,可得∠PCD =30°. 在Rt△PEC中,PE=PCsin30°= 3.
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直线、平面垂直的判定与性质

由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此 BC⊥PC. 在Rt△PCB中,PB= PC2+BC2= 13. PE 39 在Rt△PEB中,sin∠PBE= = . PB 13 39 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 . 13

教 师 备 用 题
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