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高中数学人教a版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1、3.1.2 含答案

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.对于空间中任意三个向量 a,b,2a-b,它们一定是( A.共面向量 C.不共面向量 【解析】 【答案】 B.共线向量 D.既不共线也不共面向量 ) 由共面向量定理易得答案 A. A → =a+2b,BC → =-5a+6b,CD → =7a-2b,则一定 2.已知向量 a,b,且AB 共线的三点是( A.A,B,D C.B,C,D ) B.A,B,C D.A,C,D → =BC → +CD → =-5a+6b+7a-2b=2a+4b,BA → =-AB → =-a 【解析】 BD → =-2BA →, -2b,∴BD → 与BA → 共线, ∴BD 又它们经过同一点 B, ∴A,B,D 三点共线. 【答案】 A → =3OA → +1OB → +1OC → ,则 P, 3.A,B,C 不共线,对空间任意一点 O,若OP 4 8 8 A,B,C 四点( A.不共面 ) B.共面 C.不一定共面 【解析】 3 1 1 ∵ + + =1, 4 8 8 D.无法判断 ∴点 P,A,B,C 四点共面. 【答案】 B → ,AD → ,AA → 表示向量BD → 的 4.在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,用向量AB 1 1 结果为( ) 图 3111 → =AB → -AD → +AA → A.BD 1 1 → =AD → +AA → -AB → B.BD 1 1 → =AB → +AD → -AA → C.BD 1 1 → =AB → +AD → +AA → D.BD 1 1 【解析】 【答案】 → =BA → +AA → +A → → → → BD 1 1 1D1=-AB+AA1+AD.故选 B. B 5.如图 3112,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F,G,H,P,Q 分别是 A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1 的中点,则( ) 图 3112 → +GH → +PQ → =0 A.EF → -GH → -PQ → =0 B.EF → +GH → -PQ → =0 C.EF → -GH → +PQ → =0 D.EF → 、GH → 、PQ → 平移后可以首尾相接,故有EF → +GH →+ 【解析】 由题图观察,EF → =0. PQ 【答案】 二、填空题 6.已知两非零向量 e1,e2,且 e1 与 e2 不共线,若 a=λe1+μe2(λ,μ∈R, 且 λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正确的是________.(填序号) ①a 与 e1 共线;②a 与 e2 共线;③a 与 e1,e2 共面. 【解析】 当 λ=0 时,a=μe2,故 a 与 e2 共线,同理当μ=0 时,a 与 e1 A 共线,由 a=λe1+μe2 知,a 与 e1,e2 共面. 【答案】 ①②③ 7.已知 O 为空间任意一点,A,B,C,D 四点满足任意三点不共线,但四 → =2xBO → +3yCO → +4zDO → ,则 2x+3y+4z 的值为________. 点共面,且OA 【解析】 由题意知 A,B,C,D 共面的充要条件是对空间任意一点 O,存 → =x OB → +y OC → +z OD → ,且 x +y +z =1,因此 2x 在实数 x1,y1,z1,使得OA 1 1 1 1 1 1 +3y+4z=-1. 【答案】 -1 → =2e +ke ,CB → =e +3e , 8.设 e1,e2 是空间两个不共线的向量,已知AB 1 2 1 2 → =2e -e ,且 A,B,D 三点共线,则 k=________. CD 1 2 【18490085】 → =CD → -CB → =(2e -e )-(e +3e )=e -4e ,∵ 【解析】 由已知可得:BD 1 2 1 2 1 2 A,B,D 三点共线, → 与BD → 共线,即存在 λ∈R 使得AB → =λBD →. ∴AB ∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2, ∵e1,e2 不共线, ? ?λ=2, ∴? 解得 k=-8. ? ?k=-4λ, 【答案】 三、解答题 9.已知四边形 ABCD 为正方形,P 是四边形 ABCD 所在平面外一点,P 在 平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O,Q 是 CD 的中点.求下列各 式中 x,y 的值. → =PQ → +xPC → +yPA →; (1)OQ → =xPO → +yPQ → +PD →. (2)PA 【解】 如图所示, -8 → → → (1)∵OQ=PQ-PO → -1(PA → +PC →) =PQ 2 → -1PA → -1PC →, =PQ 2 2 1 ∴x=y=- . 2 → +PC → =2PO →, (2)∵PA → =2PO → -PC →. ∴PA → +PD → =2PQ →, 又∵PC → =2PQ → -PD →. ∴PC → =2PO → -(2PQ → -PD →) 从而有PA → -2PQ → +PD →. =2PO ∴x=2,y=-2. 10.如图 3113,四边形 ABCD、四边形 ABEF 都是平行四边形,且不共面, → 与MN → 是否共线. M,N 分别是 AC,BF 的中点,判断CE 图 3113 【解】 ∵M,N 分别是 AC,BF 的中点, 又四边形 ABCD、四边形 ABEF 都是平行四边形, → =MA → +AF → +FN → =1CA → +AF → +1FB →. ∴MN 2 2 1 1 → =MC → +CE → +EB → +BN → =- CA → +CE → -AF → - FB →, 又∵MN 2 2 1→ → +1FB → =-1CA → +CE → -AF → -1FB →. ∴ CA +AF 2 2 2 2 → =CA → +2

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