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2018高考数学(文科)习题 第十章 圆锥曲线与方程 10-4 Word版含答案

1 2 1.过点 P(-2,0)的直线与抛物线 C:y =4x 相交于 A、B 两点,且|PA|= |AB|,则点 2 A 到抛物线 C 的焦点的距离为( A. C. 5 3 9 7 ) B. 7 5 D.2 答案 A 解析 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),分别过点 A、B 作直线 x=-2 的垂线,垂足分别为点 D、 E.∵|PA|= |AB|, ? x1+ =x2+2, ? ∴? ?3y1=y2, ? ?y1=4x1, ? 又? 2 ?y2=4x2, ? 2 1 2 2 得 x1= ,则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离 3 2 5 为 1+ = . 3 3 2.设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( A. C. 3 3 4 63 32 ) B. D. 9 3 8 9 4 2 答案 D 3 3 ?3 ? ? 3? 解析 由已知得 F? ,0?,故直线 AB 的方程为 y=tan30°·?x- ?,即 y= x- . 3 4 ?4 ? ? 4? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 ? ?y= 3x- 3, ① 3 4 ? 2 ? ?y =3x, ② 1 2 7 3 将①代入②并整理得 x - x+ =0, 3 2 16 21 ∴x1+x2= , 2 21 3 ∴线段|AB|=x1+x2+p= + =12. 2 2 又原点(0,0)到直线 AB 的距离为 d= 3 4 1 +1 3 3 = . 8 1 1 3 9 ∴S△OAB= |AB|d= ×12× = . 2 2 8 4 3.已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切 于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( ) 2 点击观看解答视频 A. C. 1 2 3 4 B. D. 2 3 4 3 答案 D 解析 由题意可知准线方程 x=- =-2,∴p=4,∴抛物线方程为 y =8x.由已知易 2 得过点 A 与抛物线 y =8x 相切的直线斜率存在,设为 k,且 k>0,则可得切线方程为 y-3 =k(x+2).联立方程? 2 2 p 2 ? ?y-3=k ? ?y =8x, 2 x+ , 消去 x 得 ky -8y+24+16k=0.(*) 1 由相切得 Δ =64-4k(24+16k)=0,解得 k= 或 k=-2(舍去),代入(*)解得 y=8, 2 把 y=8 代入 y =8x,得 x=8,即切点 B 的坐标为(8,8),又焦点 F 为(2,0),故直线 BF 的 4 斜率为 . 3 → → 4.已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA·OB= 2 2 2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 C. 17 2 8 B.3 D. 10 ) 答案 B 解析 设 AB 所在直线方程为 x=my+t. 由? ?x=my+t, ? ?y =x, ? 2 2 消去 x,得 y -my-t=0. 2 2 设 A(y1,y1),B(y2,y2)(不妨令 y1>0,y2<0), 故 y1+y2=m,y1y2=-t. → → 2 2 而OA·OB=y1y2+y1y2=2. 解得 y1y2=-2 或 y1y2=1(舍去). 所以-t=-2,即 t=2. 所以直线 AB 过定点 M(2,0). 1 而 S△ABO=S△AMO+S△BMO= |OM||y1-y2|=y1-y2, 2 2 2 S△AFO= |OF|×y1= × y1= y1, 1 9 9 9 故 S △ ABO+ S△ AFO=y1- y2 + y1 = y1- y2.由 y1 - y2= y1 +(- y2)≥2 8 8 8 8 2 9 ×2=3, 8 得 S△ABO+S△AFO 的最小值为 3,故选 B. 5.在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 2 2 1 2 1 1 2 4 1 8 9 y1 8 -y2 = x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为________. 答案 2 2 2 2 解析 直线 x-y+1=0 与双曲线 x -y =1 的一条渐近线 x-y=0 平行, 这两条平行线 之间的距离为 2 2 2 ,又 P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动点,点 P 到直线 x-y+1=0 的 2 2 2 ,即实数 c 的最大值为 . 2 2 2 距离大于 c 恒成立,则 c≤ 6.设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点, 点 Q 为线段 AB 的中点.若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于________. 答案 ±1 解析 设直线 AB 方程为 x=my-1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线和抛物线方 程,整理得,y -4my+4=0,由根与系数关系得 y1+y2=4m,y1y2=4.故 Q(2m -1,2m).由 |FQ|=2 知 2 2 m 2 + m2-1- 2 =2,解得 m =1 或 m =0(舍去),故直线 l 的斜率等 2 2 于±1(此时直线 AB 与抛物线相切,为满足题意的极限情况). 7.已知动点 P 到直线 l:x=-1 的距离等于它到圆 C:x +y -4x+1=0 的切线长(P 到切点的距离).记动点 P 的轨迹为曲线 E. 2 2 (1)求曲线 E 的方程; (2)点 Q 是直线 l 上的动点,过圆心 C 作 QC 的垂线交曲线 E 于 A,B 两点,设 AB 的中点 |QD| 为 D,求 的取值范围. |AB| 解

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