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2018高考数学(文科)习题 第十章 圆锥曲线与方程 10-4 Word版含答案

1 2 1.过点 P(-2,0)的直线与抛物线 C:y =4x 相交于 A、B 两点,且|PA|= |AB|,则点 2 A 到抛物线 C 的焦点的距离为( A. C. 5 3 9 7 ) B. 7 5 D.2 答案 A 解析 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),分别过点 A、B 作直线 x=-2 的垂线,垂足分别为点 D、 E.∵|PA|= |AB|, ? x1+ =x2+2, ? ∴? ?3y1=y2, ? ?y1=4x1, ? 又? 2 ?y2=4x2, ? 2 1 2 2 得 x1= ,则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离 3 2 5 为 1+ = . 3 3 2.设 F 为抛物线 C:y =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( A. C. 3 3 4 63 32 ) B. D. 9 3 8 9 4 2 答案 D 3 3 ?3 ? ? 3? 解析 由已知得 F? ,0?,故直线 AB 的方程为 y=tan30°·?x- ?,即 y= x- . 3 4 ?4 ? ? 4? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 ? ?y= 3x- 3, ① 3 4 ? 2 ? ?y =3x, ② 1 2 7 3 将①代入②并整理得 x - x+ =0, 3 2 16 21 ∴x1+x2= , 2 21 3 ∴线段|AB|=x1+x2+p= + =12. 2 2 又原点(0,0)到直线 AB 的距离为 d= 3 4 1 +1 3 3 = . 8 1 1 3 9 ∴S△OAB= |AB|d= ×12× = . 2 2 8 4 3.已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切 于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( ) 2 点击观看解答视频 A. C. 1 2 3 4 B. D. 2 3 4 3 答案 D 解析 由题意可知准线方程 x=- =-2,∴p=4,∴抛物线方程为 y =8x.由已知易 2 得过点 A 与抛物线 y =8x 相切的直线斜率存在,设为 k,且 k>0,则可得切线方程为 y-3 =k(x+2).联立方程? 2 2 p 2 ? ?y-3=k ? ?y =8x, 2 x+ , 消去 x 得 ky -8y+24+16k=0.(*) 1 由相切得 Δ =64-4k(24+16k)=0,解得 k= 或 k=-2(舍去),代入(*)解得 y=8, 2 把 y=8 代入 y =8x,得 x=8,即切点 B 的坐标为(8,8),又焦点 F 为(2,0),故直线 BF 的 4 斜率为 . 3 → → 4.已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA·OB= 2 2 2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 C. 17 2 8 B.3 D. 10 ) 答案 B 解析 设 AB 所在直线方程为 x=my+t. 由? ?x=my+t, ? ?y =x, ? 2 2 消去 x,得 y -my-t=0. 2 2 设 A(y1,y1),B(y2,y2)(不妨令 y1>0,y2<0), 故 y1+y2=m,y1y2=-t. → → 2 2 而OA·OB=y1y2+y1y2=2. 解得 y1y2=-2 或 y1y2=1(舍去). 所以-t=-2,即 t=2. 所以直线 AB 过定

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