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2016-2017北京朝阳区高三数学一模文科试题及答案word版


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学测试题(文史类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

2017.3

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. (1)已知集合 A ? {x | ? 1 ? x ? 3} , B ? {x ? Z | x2 ? 4} ,则 A B ? (A) {0,1} (C) {?1, 0,1} (B) {?1, 0,1, 2} (D) {?2, ?1, 0,1, 2}

?2 x ? y ≤ 0, ? (2)若 x, y 满足 ? x ? y ≤ 3, 则 y ? x 的最大值为 ? x ≥ 0, ?
(A) 0 (C) 4 (B) 3 (D) 5 开始 输入 m,n

(3)执行如图所示的程序框图,若输入 m ? 4 , n ? 6 ,则输出 a ?

i?0
(A) 4 (C) 12 ( B) 8 (D) 16

i ? i ?1

a ? m ?i
a 能被 n 整除? 是 输出 a 结束 否

(4)已知直线 l 过定点 (0,1) , 则“直线 l 与圆 ( x ? 2) (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件
2 (5)已知函数 f ( x) ? ? x ? 4 x, log 2 x ? a,

2

? y 2 ? 4 相切”是“直线 l 的斜率为 3
4

”的

?

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x ? 2, 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 x >2
(B)

(A)

??1,0?

?1, 2?
1

(C)

+? ? ?1,
2

(D)

+? ? ? 2,

(6)设抛物线 y

? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足.
3 ,那么 PF ?
16 (C) 4

如果直线 AF 的斜率为 (A)

8

(B)

3

(D) 8

3

(7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的底面的面积是
1

0.5 0.5 正视图 侧视图

1

俯视图

1 3 1 3 (B) (C) (D) 2 2 4 4 A , B , C 1, 2,3, 4 2,3, 4 (8) 如图, 三个开关控制着 号四盏灯. 若开关 A 控制着 号灯 (即按一下开关 A , 2,3, 4 号灯亮, 2,3, 4 1,3, 4 再按一下开关 A , 号灯熄灭) , 同样, 开关 B 控制着 号灯, 开关 C 控制着 1, 2, 4 号灯.开始时,四盏灯都亮着,那么下列说法正确的是 (A)只需要按开关 A, C 可以将四盏灯全部熄灭 1 2 (B)只需要按开关 B, C 可以将四盏灯全部熄灭 (C)按开关 A, B, C 可以将四盏灯全部熄灭 (D)按开关 A, B, C 无法将四盏灯全部熄灭
(A)

3

4

A
第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 1 (9)复数 z ? 1 ? 在复平面内对应的点的坐标是_______. i
2

B

C

(10) 已知 { an } 为等差数列, 若 S6 ? 51 , 则数列 { an } 的公差 d ? a1 ? a9 ? 26 , Sn 为其前 n 项和. 通项公式 an



?



2 ? a 的一个零点在区间 (1,2) 内,则实数 a 的取值范围是 . x ? (12)在△ ABC 中, ?A ? , BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ? ____, AC ? _____. 3
(11)已知函数 f ( x) ? 2 x ? (13)为了促销某电子产品,商场进行降价,设 m ? 0 , n ? 0 , m ? n ,有三种降价方案: 方案①:先降 m% ,再降 n % ; 方案②:先降

m+n m+n % ,再降 %; 2 2

方案③:一次性降价 (m+n)% . 则降价幅度最小的方案是_________.(填出正确的序号) (14) 如图, ?ABC 1 1 , ?B1 B2C2 , ?B2 B3C3 是三个边长为 2 的等边三角形,且有一条边在同一直线 上,边

B3C3 上有 5 个不同的点 P ( i ? 1, 2, 1, P 2, P 3, P 4, P 5 ,设 mi ? AC2 ? AP i
________.

,5 ) ,则

m1 ? m2 ? ? m5 ?
C1

C2

C3 P5 P4 P3 P2 P1 B3

A

B1

B2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数

f ( x) ? sin x(cos x ? 3sin x) .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 x ? [0, π] 上的单调递增区间.

(16) (本小题满分 13 分)

3

已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? (Ⅰ)证明 {bn } 是等比数列;

a 2(n ? 1) an , 设 bn ? n , n ? N? . n n

(Ⅱ)求数列 {log 2 bn } 的前 n 项和 Tn .

(17) (本小题满分 13 分) 某校高三年级共有学生 195 人,其中女生 105 人,男生 90 人.现采用按性别分层抽样的方 法,从中抽取 13 人进行问卷调查.设其中某项问题的选择分别为“同意” 、 “不同意”两种,且 每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息. 同意 女学生 男学生 (Ⅰ)完成上述统计表; (Ⅱ)根据上表的数据估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数; (Ⅲ) 从被抽取的女生中随机选取 2 人进行访谈, 求选取的 2 名女生中至少有一人选择 “同意” 的概率. 4 2 不同意 合计

(18) (本小题满分 14 分)
4

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAB

? 平面 ABCD , AD

BC , PA ? AB ,

CD ? AD , BC ? CD ?

1 AD , E 为 AD 的中点. 2
P

(Ⅰ)求证: PA ? CD ; (Ⅱ)求证:平面 PBD ? 平面 PAB ; (Ⅲ)在平面 ..PAB 内是否存在 M ,使得直 线 CM 平面 PBE ,请说明理由.

C D
(19) (本小题满分 14 分) 过点 A(1, 0) 的直线 l 与椭圆 C : 垂线,垂足分别为 E1 , F1 . (Ⅰ)当直线 l 的斜率为 1 时,求线段 EF 的中点坐标;

B E A

x2 ? y 2 ? 1 相交于 E , F 两点 ,自 E , F 分别向直线 x ? 3 作 3

(Ⅱ)记 ?AEE1 , ?AFF1 的面积分别为 S1 , S2 .设 ? ? S1S2 ,求 ? 的取值范围.

(20) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? e, g ( x) ? 1 ? ln x ,其中 e 为自然对数的底数.
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 l : x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ) 设函数 F ( x) ? ? x[ g ( x) ? 求 m 的值; (Ⅲ) 用 max ?m, n? 表示 m,n 中的较大者, 记函数 h( x) ? max{ f ( x), g ( x)}( x ? 0) .若函数 h( x) 在

1 x ? 2] , 若 F ( x) 在区间 (m, m + 1)(m ? Z) 内存在唯一的极值点, 2

(0, ??) 上恰有 2 个零点,求实数 a 的取值范围.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学测试题答案(文史类)
5

2017.3

一、 题号 答案

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. (1) C (2) B (3) C (4) B (5) C (6) A (13) ② (7) D (8) D (14)

二、 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 (9) (10) (11) (12) 答案

(1, ?1)

3, 3n ? 2

(0,3)

? , 4

6 ?3 2 2

90

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin x(cos x ? 3sin x) ? sin x cos x ? 3 sin x
2

1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

π 3 , ? sin(2 x ? ) ? 3 2
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ?

2π ?π. 2

…………………………………6 分

(Ⅱ)令 2kπ ?

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? , k ? Z 得, 2 3 2 5π π 2kπ ? ? 2 x ? 2kπ ? , k ? Z , 6 6 5π π ? x ? kπ ? , k ? Z . 所以 kπ ? 12 12
又因为 x ? [0, π] ,

所以函数 f ( x ) 在 x ? [0, π] 上的单调递增区间是 [0,

π 7π ] 和 [ , π] .……………13 分 12 12

(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 an ?1 ?

a a 2( n ? 1) an ,得 n ?1 ? 2 ? n . n n ?1 n

所以 bn?1 ? 2bn ,即 又因为 b1 ?

bn ?1 ? 2. bn

a1 ?1, 1

所以数列 {bn } 是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列.……………………7 分

6

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 . 所以 log2 bn ? log2 2n?1 ? n ?1. 则数列 {log 2 bn } 的前 n 项和

Tn ? 1 ? 2 ? 3 ?
解:(Ⅰ)统计表如下:

? (n ? 1) ?

n(n ? 1) . 2

…………………………………13 分

(17) (本小题满分 13 分)

同意 女学生 男学生 4 4

不同意 3 2

合计 7 6

……………………………………………………………………………………………3 分 (Ⅱ)高三年级学生该项问题选择“同意”的人数估计有

? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? (人) . ? ?

………………………7 分

(Ⅲ)设“同意”的 4 名女生分别为 A1 , A2 , A3 , A4 , “不同意”的 3 名女生分别为 B1 , B2 , B3 . 从 7 人中随机选出 2 人的情况有

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A2 A3 , A2 A4 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , A3 A4 , A3B1 , A3B2 , A3B3 ,
21 A4 B1 , A4 B,2 A4 B , 3 B1 B , 2 B1,B3 ,共 B2 B 3 种结果. 其中 2 人都选择“不同意”的情况有 B1B2 , B1B3 , B2 B3 ,共 3 种结果. 设 2 名女生中至少有一人选择“同意”为事件 M , 所求概率 P ( M ) ? 1 ?

? 6 ? . ?? 7

………………………13 分

(18) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)因为平面 PAB ? 平面 ABCD , 平面 PAB 平面 ABCD ? AB ,

又因为 PA ? AB , 所以 PA ? 平面 ABCD . 则 PA ? CD . (Ⅱ)由已知,BC …………………5 分 ED,且 BC=ED,所以四边形 BCDE 是平行四边形,

又 CD ? AD , BC ? CD ,所以四边形 BCDE 是正方形,
7

P

连接 CE ,所以 BD ? CE , 又因为 BC

AE, BC ? AE ,

所以四边形 ABCE 是平行四边形, 所以 CE

AB ,则 BD ? AB .

由(Ⅰ)知 PA ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD , 又因为 PA

AB ? A ,

则 BD ? 平面 PAB , 且 BD ? 平面 PBD , 所以平面 PBD ? 平面 PAB . …………………10 分 (Ⅲ)在梯形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行.延长 AB,DC,相交于点 M(M∈平面 PAB),点 M 即为 所求的一个点. 理由如下:由已知,BC ED,且 BC=ED.

所以四边形 BCDE 是平行四边形,所以 CD 又 EB ? 平面 PBE , CM ? 平面 PBE , 所以 CM 平面 PBE .

EB ,即 CM

EB ,

………………………………………………………………14 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意,直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,由 ?

? y ? x ? 1, 2 ,得 2 x ? 3x ? 0 . 2 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 ?

设 E( x1, y1 )、F ( x2 , y2 ) ,线段 EF 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ?

3 3 , x0 ? , 2 4 1 3 1 y0 ? x0 ? 1 ? ? .所以 M ( , ? ) . 4 4 4

………………6 分

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,由 ?
2 2

? x ? my ? 1, 2 2 ?x ? 3y ? 3 ? 0

得 (m ? 3) y ? 2my ? 2 ? 0 ,显然 m ? R . 设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

?2 m ?2 , y1 y2 ? 2 . 2 m ?3 m ?3
y
E E1

E1 (3, y1 ), F1 (3, y2 ) .
因为 ? ? S1S 2 ?

1 1 (3 ? x1 ) y1 ? (3 ? x2 ) y2 2 2
8
O A F

x
F1

1 (2 ? my1 )(2 ? my2 ) y1 y2 4 1 ? [4 ? 2m( y1 ? y2 ) ? m 2 y1 y2 ] y1 y2 4 ?

2m2 ? 6 ? 2m2 ? m2 2 ? ? 2 2 2(m ? 3) m ?3 ? 3m2 ? 6 (m2 ? 3)2
3 3 . ? 2 2 (m ? 3) m ? 3
2

??
因为

1 1 ? (0, ] , m ?3 3
2

所以实数 ? 的取值范围是 (0, ] . 20. (本小题满分 13 分) 解:

2 3

………………………………………14 分

(Ⅰ) 易得, f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ,所以 f ?(1) ? 3 ? 3a , 依题意, (3 ? 3a )( ? ) ? ?1 ,解得 a ? (Ⅱ)因为 F ( x) ? ? x[ g ( x) ?

1 2

1 ; 3

…………………………3 分

1 1 1 ? ? x ? 2] ? ? x ?(1 ? ln x) ? x ? 2 ? ? x ln x ? x 2 ? x , 2 2 2 ? ?

则 F ?( x) ? ln x ? 1 ? x ? 1 ? ln x ? x ? 2 .设 t ( x) ? ln x ? x ? 2 , 则 t ?( x ) ?

1? x 1 ?1 ? . x x

令 t ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 . 则由 t ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 , F ?( x) 为增函数; 由 t ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , F ?( x) 为减函数; 而 F ?(

1 1 1 ) ? ?2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 0 , F ?(1) ? 1 ? 0 . 2 e e e

则 F ?( x) 在 (0,1) 上有且只有一个零点 x1 , 且在 (0, x1 ) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为减函数; 在 ( x1 ,1) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为为增函数.
9

所以 x1 为极值点,此时 m ? 0 . 又 F ?(3) ? ln 3 ?1 ? 0 , F ?(4) ? 2ln 2 ? 2 ? 0 , 则 F ?( x) 在 (3, 4) 上有且只有一个零点 x2 , 且在 (3, x2 ) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为增函数; 在 ( x2 , 4) 上 F ?( x) ? 0 , F ( x) 为减函数. 所以 x2 为极值点,此时 m ? 3 . 综上 m ? 0 或 m ? 3 . ……………………9 分

(Ⅲ) (1)当 x ? (0, e) 时, g ( x) ? 0 ,依题意, h( x) ? g ( x) ? 0 ,不满足条件; (2)当 x ? e 时, g (e) ? 0 , f (e) ? e3 ? 3ae ? e , ①若 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ? 0 ,即 a ?

e2 ? 1 ,则 e 是 h( x) 的一个零点; 3 e2 ? 1 ,则 e 不是 h( x) 的零点; 3

②若 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ? 0 ,即 a ?

(3)当 x ? (e, ??) 时, g ( x ) ? 0 ,所以此时只需考虑函数 f ( x ) 在 (e, ??) 上零点的情况.
2 2 因为 f ?( x) ? 3x ? 3a ? 3e ? 3a ,所以

①当 a ? e 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (e, ??) 上单调递增.
2

又 f (e) ? e ? 3ae ? e ,所以
3

(i)当 a ?

e2 ? 1 时, f (e) ? 0 , f ( x ) 在 (e, ??) 上无零点; 3

(ii)当

e2 ? 1 ? a ? e2 时, f (e) ? 0 , 3
3 3 3

又 f (2e) ? 8e ? 6ae ? e ? 8e ? 6e ? e ? 0 , 所以此时 f ( x ) 在 (e, ??) 上恰有一个零点; ②当 a ? e 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a .
2

由 f ?( x) ? 0 ,得 e ? x ?

a;
10

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a;

所以 f ( x ) 在 (e, a ) 上单调递减,在 ( a , ??) 上单调递增. 因为 f (e) ? e3 ? 3ae ? e ? e3 ? 3e3 ? e ? 0 ,

f (2a) ? 8a3 ? 6a2 ? e ? 8a2 ? 6a2 ? e ? 2a2 ? e ? 0 ,
所以此时 f ( x ) 在 (e, ??) 上恰有一个零点; 综上, a ?

e2 ? 1 . 3

………………………………13 分

11


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