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【2015届备考】2014全国名校(数学)分类解析汇编(11月第三期):F单元 平面向量


F 单元 目录

平面向量

F 单元 平面向量 ........................................................................................................................... 1 F1 平面向量的概念及其线性运算 .............................................................................................. 1 F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 ...................................................................................... 1 F3 平面向量的数量积及应用 ...................................................................................................... 1 F4 单元综合 .................................................................................................................................. 1

F1 平面向量的概念及其线性运算

【数学(文)卷· 2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试( 201410 ) word 版】 12 、已知向量

a ? (1,2),b ? (2,0) ,若 ? a ? b 与向量 c ? (1,?2) 共线,则实数 ? ?
【知识点】向量共线的意义. F1

.

【答案解析】-1 解析:因为 a ? (1,2), b ? (2,0) ,所以 ? a ? b = ? ? ? 2, 2? ? ,又 ? a ? b 与

c ? (1,?2) 共线,所以 ?2 ? ? ? 2? ? 2? ? ? ? ?1 .
【思路点拨】 根据向量的坐标运算求得 ? a ? b 的坐标, 再由 ? a ? b 与向量 c ? (1,?2) 共线得关于 ? 的方程, 解此方程即可.

【数学理卷·2015 届北京市重点中学高三上学期第一次月考(201410) 】8. 如图,半径为 3 的扇形 AOB 的圆心角为 120? ,点 C 在 ? AB 上,且 ?COB ? 30? ,若 OC ? ? OA ? ? OB ,则 ? ? ? ? A. 3 B.
3 3

uuu r

uur

uuu r

C.

4 3 3

D. 2 3

【知识点】向量的线性运算性质及几何意义.F1 【答案解析】A 解析:如图所示, 建立直角坐标系.

第 1 页(共 21 页)

∵ ?COB ? 30? , OC = 3 .\ C 即C 琪 ,

(

3 cos 300 , 3 sin 300 ,

)

骣 3 琪 2 桫

3 .Q ? BOA 1200 ,∴ A 2

(

3 cos1200 , 3 sin1200 ,

)

即 A琪

骣 3 3 琪 2 , 2 .又 B 桫

(

3, 0 ,

)

骣 骣 3 3 uuu r uuu r uuu r 3 3 琪 , = l , +m OC = l OA + mOB .∴ 琪 琪 琪 2 2 2 2 桫 桫

(

3, 0 .

)

ì ì3 ? l = 3 ? = - 3 l + 3m ? ?2 3 2 ∴í ,解得 í ? ? 3 3 2 3 = l ? ? m= ? ? ? 2 2 3 ?
??? ?

3 .故选:A.

【思路点拨】本题考查了向量的坐标运算和向量相等,属于中档题. 第 II 卷 (非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

【数学文卷·2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试(201411) 】15. 向量 AB, AC 在正方形网格中的 位置如图所示.设向量 a ? AC ? ? AB , 若 a ? AB ,则实数 ? ? __________. 【知识点】向量垂直于与其数量积的关系. F1 F3 【答案解析】3 解析:因为 a ? AB , a ? AC ? ? AB , 所以 AC ? ? AB ? AB ? AC ? AB ? ? AB
A B
2

C

?

?

? ?

2

? AC ? AB cos ?BAC ? ? AB

第 2 页(共 21 页)

? 13 ?1?

3 ? ? ?1 ? 0 ,解得 ? ? 3 . 13

【思路点拨】由正方形网格图可得向量 AB, AC 的模,再由 a ? AB 得 a ? AB ? 0 ,进而得关于 ? 的方程求 解.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 黑 龙 江 省 哈 六 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 7. 已 知 ?ABC 中 , ,D | BC | ? 1 0 ,A B ? AC ??1 6 为 BC 的中点,则 | AD |? ( A.6 B. 5 C.4 ) D.3 F3 F1 C8

【知识点】向量的数量积;向量加法的平行四边形法则;余弦定理.

【答案解析】D 解析:由 AB ? AC ? ?16 得 bccosA=-16,又 a=BC=10,代入余弦定理得,

b2 ? c 2 ? 68 ,因为 AB ? AC ? 2 AD ,
2 2 所以 ( AB ? AC)2 ? (2 AD)2 ? c ? b ? 32 ? 4 AD , 2

所以 AD ?

2

68 ? 32 ? 9 .从而 | AD |? 3,故选 D. 4

2 2 【思路点拨】根据向量数量积的定义得 bccosA=-16,代入余弦定理得 b ? c ? 68 ,再由向量加法的平行

四边形法则得 AB ? AC ? 2 AD ,两边平方,转化为数量积运算得结论.

【数学文卷· 2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试 (201411) 】 3. 已知向量 a ? (?1,3) , b ? ( x ? 1,?4) , 且 (a ? b) ∥ b ,则 x ? ( A.3 B.
1 3

) C. ?3 F1 D. ?
1 3

【知识点】向量共线的意义.

【答案解析】B 解析:因为 a ? (?1,3) , b ? ( x ? 1,?4) ,所以 a ? b ? ? x, ?1? ,又 (a ? b) ∥ b ,
1 所以-4x+x+1=0,解得 x= ,故选 B. 3

【思路点拨】根据向量共线的意义得关于 x 的方程,求得 x 值.

第 3 页(共 21 页)

【数学文卷· 2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考 (201410) 】 14、 如图所示, 在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,∠DAB=60 , CP ? 3PD , 则 AP ? BP 的值为 .

【知识点】向量的线性运算;向量的数量积. F1 【答案解析】3 解析: AP ? AD ? DP ? AD ?

F3

1 3 AB , BP ? BC ? CP ? AD ? AB . 4 4 2 2 1 3 3 1 AB ? AD ? AB 所以 AP ? BP = ( AD ? AB) ? ( AD ? AB) ? AD ? 4 4 16 2 3 1 ? 25 ? ? 64 ? ? 5 ? 8 ? cos 60 ? 3 . 16 2

? ?

? ?

【思路点拨】先把 AP, BP 分别用 AB, AD 表示,再利用向量的数量积求解.

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期二调考试(201410)word 版】10.若点 M 是△ABC 所在平 面内的一点,且满足 |3AM ? AB ? AC|=0 ,则△ABM 与△ABC 面积之比等于 A.

3 4

B.

1 4

C.

1 3
F1

D.

1 2

【知识点】平面向量及其应用

【答案解析】C 解析:如图 G 为 BC 的中点, 点 M 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 |3AM ? AB ? AC|=0 , 则 3AM ? AB ? AC ? 0, AB ? AC ? 2 AG ,

?3 AM ? 2 AG,

AM AG

?

2 , 3

?ABG, ?ACG 面积相等,

? S?ABG ?

S 1 2 S?ABC , ?ABM ? , 2 S?ABG 3
1 2 1 ? ? , 2 3 3

所以△ABM 与△ABC 面积之比等于 故选:C

第 4 页(共 21 页)

【思路点拨】由 |3AM ? AB ? AC|=0 得 3 AM ? AB ? AC ? 0 ,设 G 为 BC 的中点,可得

AM AG

?

2 ,根 3

据△ABG 和△ABC 面积的关系,△ABM 与△ABC 面积之比,求出△ABM 与△ABC 的面积之比.

【数学卷·2015 届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试(201410) 】7.若 G 是 ?ABC 的重心, a, b, c 分别 是角 A, B, C 的对边 aGA ? bGB ? A. 90 B. 60

3 cGC ? 0 ,则角 A ? 3
C. 45 C8 D. 30

(

)

【知识点】向量的线性运算;余弦定理. F1

【答案解析】D 解析:因为 G 是 ?ABC 的重心,所以 AG ?

2 1 1 ? AB ? AC ? AB ? AC ,同理, 3 2 3

?

? ?

?

BG ?
CG ?

1 1 1 BA ? BC ? ? AB ? AC ? AB ? AC ? 2 AB , 3 3 3
1 1 CB ? CA ? AB ? 2 AC .代入已知等式整理得 3 3

?

? ?

? ?

?

?

? ?

?

3a ? 6b ? 3c 2 3c ? 3a ? 3b AB ? AC ,又因为 AB, AC 不共线,所以 9 9

? ?a ? b b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? 3b2 ? b2 3 ?3a ? 6b ? 3c ? 0 ? ? ,所以 , cos A ? ? ? ? ? 2 2 bc 2 c ? 3 b 2 3 b ? 3 a ? 3 b ? 2 3 c ? 0 ? ? ?
因为 A ? 0 ,180

?

? ,所以 A ? 30 ,故选 D.

【思路点拨】利用向量的线性运算及共线向量的性质,得关于 a,b,c 的方程组,从而用 b 表示 a,c,然后 用余弦定理求解.

F2 平面向量基本定理及向量坐标运算

【数学(理)卷·2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试(201410)word 版】16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,cosωx),其中 ω>0,函数 f ( x) ? 2m·n-1 的最小正周期为 π. (Ⅰ) 求 ω 的值;
第 5 页(共 21 页)

(Ⅱ) 求函数 f ( x) 在[

? ? , ]上的最大值. 6 4

【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值.C7,F2 【答案解析】(1) ? ? 1 (2)

3 ?1 解析:解:(Ⅰ) f ( x) ? 2m·n-1 ? 2 sin?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1 2

= sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? 由题意知: T ? ? ,即

?
4

) . ……………………………6 分

2? ? ? ,解得 ? ? 1 .…………………………………7 分 2?

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ∵

?
4

),

? ? 7? ? 3? ≤x≤ ,得 ≤ 2x ? ≤ , 6 4 12 4 4
7? 3? , ]上是减函数, 12 4

又函数 y=sinx 在[ ∴ f ( x) max ?

2 sin

7? ? ? ? 2 sin( ? ) …………………………………10 分 12 4 3

? 2 sin
=

?
4

cos

?
3

? 2 cos

?
4

sin

?
3

3 ?1 .……………… 2

【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式,求出? 的值,再根据解析式在定义域内求出函数的最大 值.

【数学(文)卷·2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试(201410)word 版】16、 (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin wx, coswx), n ? (coswx, coswx) ,其中 w ? 0 函数 f ( x) ? 2m ? n ?1的最小正周期 为? . (1)求 w 的值. (2)求函数 f ( x) 在 ?

?? ? ? 上的最大值. , ?6 4? ?
F2 C7

【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值. 【答案解析】(1) ? ? 1 (2)

3 ?1 2

解析:(1) f ( x) ? 2m· n-1 ? 2 sin?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1
第 6 页(共 21 页)

= sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? 由题意知: T ? ? ,即

?
4

) . ………………6 分

2? ? ? ,解得 ? ? 1 .……………………7 分 2?

(2) 由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
4

),



? ? 7? ? 3? ≤x≤ ,得 ≤ 2x ? ≤ , 6 4 12 4 4
7? 3? , ]上是减函数, 12 4

又函数 y=sinx 在[ ∴ f ( x) max ?

2 sin

7? ? ? ? 2 sin( ? ) …………………………10 分 12 4 3

? 2s i n co s ? 2co s s i n 4 3 4 3
=

?

?

?

?

3 ?1 .…………………………………………………12 分 2

【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式,求出? 的值,再根据解析式在定义域内求出函数的最大 值.

【数学理卷·2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考(201411) 】16.已知 a, b 是单 位向量, a b ? 0 .若向量 c 满足 c ? a ? b ? 1, 则 c 的最大值是 ______ 【知识点】向量的模.F2 【答案解析】 2+1 ∴设 =(1,0) , 解析:∵ a, b 是单位向量, a b ? 0 .若向量 满足 c ? a ? b ? 1 ,

=(0,1) , =(x,y) ,则 c ? a ? b =(x﹣1,y﹣1) ,

∵ c ? a ? b ? 1 ,∴(x﹣1)2+(y﹣1)2=1, 故向量| ∴| |的轨迹是在以(1,1)为圆心,半径等于 1 的圆上,

|的最大值为 2+1 ,故答案为: 2+1

【思路点拨】通过建立直角坐标系,利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出.

【数学文卷·2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试(201411) 】18. (本小题满分 12 分)
第 7 页(共 21 页)

已知向量 m ? (sin A, sin B), n ? (cos B, cos A), m ? n ? sin 2C , 且 A、B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的角. (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sin C , sin B成等差数列, 且CA ? ( AB ? AC ) ? 18 ,求 c 边的长. 【知识点】向量的坐标运算;正弦定理;余弦定理. 【答案解析】(1) F2 C8

? ; (2)6. 解析: (1) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin( A ? B) 3
1 ? ,C ? . 2 3

对于 ?ABC , A ? B ? ? ? C ,0 ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C ,

? m ? n ? sin C.

又? m ? n ? sin 2C ,? sin 2C ? sin C , cos C ?

(2)由 sin A, sin C , sin B成等差比数列, 得2 sin C ? sin A ? sin B , 由正弦定理得 2c ? a ? b. ? CA ? ( AB ? AC ) ? 18,? CA ? CB ? 18 , 即 ab cos C ? 18, ab ? 36. 由余弦弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? (a ? b) 2 ? 3ab ,

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,? c ? 6.
【思路点拨】 (1)利用向量数列积坐标表达式,诱导公式,二倍角公式求得结果; (2)由正弦定理,向量数列积的定义式,以及余弦定理求得结果.

【数学文卷· 2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试 (201410) 】 17、 (本小题满分 10 分) 在 ?ABC
2 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? (2 sin B,? 3 ), n ? (cos 2 B,2 cos

?

?

? ? B ? 1) ,且 m // n 2

(1)求锐角 B 的大小; (2)已知 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值。 【知识点】二倍角的余弦;平行向量与共线向量;两角和与差的正弦函数.C5 C6 F2 【答案解析】 (1) B ?

?
3

; (2) Smax ? 3
2

解析: (1)由 m // n 得 2 sin B(2 cos

?

?

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2

整理得 tan2B ? ? 3 ? B 为锐角

?B ?

?
3

………………5’

2 2 2 2 2 (2)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 4= a ? c ? ac

? ac ? 4
第 8 页(共 21 页)

? S max ? 3

………………10’

【思路点拨】 (1)由两向量的坐标,及两向量平行时满足的关系列出关系式,利用二倍角的正弦函数公式 化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出 tan2B 的值,由 B 为锐角,得到 2B 的范围,利用 特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (2)由 cosB 的值及 b 的值,利用余弦定理列出关于 a 与 c 的关系 式,利用基本不等式求出 ac 的最大值,再由 sinB 及 ac 的最大值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 面积的最大值.

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】3、已知 a, b 是两个非零向量, 给定命题 p : a ? b ? a b ,命题 q : ?t ? R ,使得 a ? tb ,则 p 是 q 的( A、充分不必要条件 C、充要条件 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

? ?

? ?

? ?

?

?



【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;向量的几何表示.A2 F2 【答案解析】C 解析: (1)若命题 p 成立,∵ , 是两个非零向量,| ? |=| || |,即|| || |?cos< , >|=| || |,∴cos< , >=±1,< , >=00 或< , >=1800∴ , 共线,即;?t∈R,使得 =t , ∴由命题 p 成立能推出命题 q 成立. (2)若命题 p 成立,即?t∈R,使得 =t ,则 , 两个非零向量共线,∴< , >=00 或< , >=1800, ∴cos< , >=±1,即|| || |?cos< , >|=| || |, ∴| ? |=| || |,∴由命题 q 成立能推出命题 p 成立.∴p 是 q 的充要条件.故选 C. 【思路点拨】利用两个向量的数量积公式,由命题 p 成立能推出命题 q 成立,由命题 q 成立能推出命题 p 成立,p 是 q 的充要条件.

【数学文卷· 2015 届河北省衡水中学高三上学期二调考试 (201410) word 版】 13.设平面向量 a=(1,2),b=(-2,y), 若 a//b,则 y=_____________. 【知识点】向量平行的充要条件 F2 【答案解析】-4 解析: a=(1,2),b=(-2,y),a//b

第 9 页(共 21 页)

?1? y ? 2 ? ? ?2 ? , ? y ? ?4
故答案为:-4



【思路点拨】直接利用向量共线的坐标表示列式计算.

【 数 学 卷 · 2015 届 甘 肃 省 兰 州 一 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试
A 是半径为 5 的圆 O 上的一个定点,

(201410) 】10.如图,

单位向量 AB 在 A 点处与圆 O 相切, 点 P 是圆 O 上的一个动点,且点 P 与 点 A 不重合,则 AP ×AB 的取值范围是( A. (?5,5) B. ? ?5,5? C. (? , ) F3
5 5 2 2

) D. ? 0,5?

【知识点】向量数量积的坐标运算. F2

【答案解析】B 解析:以 O 为原点,OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系,则圆 O 的方程为:

x2 ? y 2 ? 25 ,A(0,-5), AB ? (1,0) ,设 P(x,y),则 AP ? ? x, y ? 5? ,

所以 AP ? AB ? ? x, y? 5? ? ?1,0? ? x ?? ?5,5? ,所以 AP ×AB 的取值范围是 ? ?5,5? ,故选 B. 【思路点拨】建立适当直角坐标系,得点 P 所在圆的方程,及向量 AP, AB 的坐标,利用 向量数量积的坐标运算求得结论.

第 10 页(共 21 页)

F3 平面向量的数量积及应用

【数学理卷·2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试(201411) 】17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对

的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

(1)求 ?ABC 的面积; (4 分) (2)若 c ? 1,求a 、 sin B 的值. (6 分) 【知识点】 向量的运算;余弦定理.C8,F3

【答案解析】(1)2(2)

2 5 2 5 2 3 解析: (1) cos A ? 2 ? ( ) ?1 ? , 5 5 5

3 bc ? 3, ? bc ? 5 5 4 1 1 4 又 A ? (0, ? ) ,? sin A ? , ? S ? bc sin A ? ? 5 ? ? 2. 5 2 2 5
而 AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? (2)

------------4 分

bc ? 5, 而 c ? 1 ,? b ? 5

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 , a ? 2 5.

4 b sin A a b 5 ? 2 5 . ----------------------------------6 分 ? 又 ,? sin B ? ? a 5 sin A sin B 2 5 5?
【思路点拨】根据向量的运算求出两边的乘积,再用正弦与余弦定理可求出三角值.

【数学理卷· 2015 届辽宁师大附中高三上学期期中考试( 201411 ) 】 4 .在 ?ABC 中, C ? 90 ,且

CA ? CB ? 3
( A. 2 )





M





BM ? 2 MA

?

?



CM ? CB

?

?





B. 3

C. ? 3

D. 6

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】B 由题意得 AB=3 2 ,△ABC 是等腰直角三角形,

1 1 1 CM ? CB ? (CA ? AB ) ? CB = CA ? CB + AB ? CB =0+ | AB |?| CB |cos45° 3 3 3
第 11 页(共 21 页)

=

1 2 ×3 2 ×3× =3,故选 B. 3 2
1 AB ) ? CB ,再利用向量 AB 和 CB 的夹角等于 45° ,两个向量的数量 3

【思路点拨】由 CM ? CB ? (CA ? 积的定义,求出 CM ? CB 的值.

【数学理卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410)word 版】5、若等边△ABC 边长为

1 2 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM ? CB ? CA ,则 MA ? MB =( 2 3
A、 ?1 C、 ?2 B、 2 D、 2 3



【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律.F3 【答案解析】C 解析:∵ CM ?

1 2 CB ? CA 2 3

∴ MA ? CA ? CM ? CA ? ? CB ? CA ? ?

uuu r

uu u r uuuu r

uu u r ? 1 uuu r 1 uu u r? 3 ?3 ?

u r 1 uuu r 2 uu CA ? CB 3 3

1 1 ?1 ? 2 MB ? CB ? CM ? CB ? ? CB ? CA ? ? CB ? CA 3 3 ?3 ? 3
∴ MA ? MB ? ? CA ? CB ? ? ? CB ? CA ?

?2 ?3

1 3

? ?2 ? ?3

1 3

? ?

5 2 2 ? CA ? CB ? | CA |2 ? | CB |2 ? ?2 ,故选 C. 9 9 9 uuu r uuu r uuu r uuu r 【思路点拨】先用向量 CA , CB 表示出向量 MA , MB ,再求内积即可得解。

【数学理卷·2015 届湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三四校联考(201410)word 版 (1)】 6. 若 O 为△ ABC 所在平面内任一点, 且满足 (OB ? OC ) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 , 则△ ABC 一定是 ( A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 )

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】B ∵( OB - OC )?( OB + OC -2 OA ) =( OB - OC )[( OB - OA )+( OC - OA )] =( OB - OC )?( AB + AC )= CB ?( AB + AC ) =( AB - AC )?( AB + AC )
第 12 页(共 21 页)

=| AB | 2 -| AC | 2 =0,∴| AB |=| AC | ,∴△ABC 为等腰三角形.故答案为:B 【思路点拨】利用向量的运算法则将等式中的向量 OA , OB , OC 用三角形的各边对应的向量表示,得 到边的关系,得出三角形的形状.

【数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试(201411)word 版】6.在 ?ABC 中, 已知 ?BAC ? 90 , AB ? 6 ,若 D 点在斜边 BC 上, CD ? 2 DB ,则 AB ? AD 的值为( ▲) 。 A.48 B.24 C.12 D.6

【知识点】平面向量数量积的运算 F3 【答案解析】B 解析:以 AC 为 x 轴,AB 为 y 轴建立直角坐标系,则有 A(0,0)B(0,6) C(x,0)D(

x x , 4 ) AB ? AD ? 0 ? ? 6 ? 4 ? 24 3 3

【思路点拨】由题意建立适当的坐标系,写出各点坐标,利用数量积的坐标运算即可求解。

【数学理卷· 2015 届宁夏银川一中高三第三次月考 (201410) 】 5. 在 ?ABC 中,C ? 90 , 且 CA ? CB ? 3 , 点 M 满足 BM ? 2 MA, 则CM ? CB 等于 A.3 B.2 C.4 D.6

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】A 由题意得 AB=3 2 ,△ABC 是等腰直角三角形, CM ? CB =( CA ? = CB ? CA +

1 AB ) 3

1 1 1 2 AB ? CB =0+ | AB |?| CB |cos45° = ×3 2 ×3× =3,故选 A. 3 3 3 2

【思路点拨】由 CM ? CB =( CA ? 的定义,求出 CM ? CB 的值.

1 AB ),再利用向量 AB 和 CB 的夹角等于 45° ,两个向量的数量积 3

【数学理卷·2015 届北京市重点中学高三上学期第一次月考( 201410 ) 】10. 向量 a 、 b 满足 a ? 1 ,

a ?b ?

3 , a 与 b 的夹角为 60 ,则 b ? 2

.

第 13 页(共 21 页)

【知识点】平面向量的数量积及其应用.F3 【答案解析】

1 2

解析: a ? 2a ? b ? b ?

2

2

2 3 3 , 1 ? 2 b cos 60? ? b ? , 4 4

b ?

1 . 2

【思路点拨】先把 a ? b ?

3 两边平方,再结合公式即可求出 b 。 2

【数学文卷·2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试(201411) 】15. 向量 AB, AC 在正方形网格中的 位置如图所示.设向量 a ? AC ? ? AB , 若 a ? AB ,则实数 ? ? __________. 【知识点】向量垂直于与其数量积的关系. F1 F3 【答案解析】3 解析:因为 a ? AB , a ? AC ? ? AB , 所以 AC ? ? AB ? AB ? AC ? AB ? ? AB
A B
2

C

?

?

? ?

2

? AC ? AB cos ?BAC ? ? AB

? 13 ?1?

3 ? ? ?1 ? 0 ,解得 ? ? 3 . 13

【思路点拨】由正方形网格图可得向量 AB, AC 的模,再由 a ? AB 得 a ? AB ? 0 ,进而得关于 ? 的方程求 解.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 黑 龙 江 省 哈 六 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 7. 已 知 ?ABC 中 , ,D | BC | ? 1 0 ,A B ? AC ??1 6 为 BC 的中点,则 | AD |? ( A.6 B. 5 C.4 ) D.3 F3 F1 C8

【知识点】向量的数量积;向量加法的平行四边形法则;余弦定理.

【答案解析】D 解析:由 AB ? AC ? ?16 得 bccosA=-16,又 a=BC=10,代入余弦定理得,

b2 ? c 2 ? 68 ,因为 AB ? AC ? 2 AD ,
2 2 所以 ( AB ? AC)2 ? (2 AD)2 ? c ? b ? 32 ? 4 AD , 2

所以 AD ?

2

68 ? 32 ? 9 .从而 | AD |? 3,故选 D. 4

2 2 【思路点拨】根据向量数量积的定义得 bccosA=-16,代入余弦定理得 b ? c ? 68 ,再由向量加法的平行

第 14 页(共 21 页)

四边形法则得 AB ? AC ? 2 AD ,两边平方,转化为数量积运算得结论.

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期期中考试(201411) 】16.已知 a, b 是单位向量, a ? b ? 0 . 若向量 c 满足 c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是 ________. 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】[

? ?

2 -1 , 2 +1] .

由 a , b 是单位向量, a ? b =0.可设 a =(1,0), b =(0,1), c =(x,y)
2 2 ∵向量 c 满足| c - a - b |=1, ∴|(x-1,y-1)|=1,∴ ( x ? 1) ? ( y ? 1) =1,

即(x-1)2+(y-1)2=1.其圆心 C(1,1),半径 r=1.∴|OC|= 2 .
2 2 ∴ 2 -1 ≤| c |= x ? y ?

2 +1 .∴| c |的取值范围是[ 2 -1 , 2 +1] .

故答案为:[

2 -1 , 2 +1] .

【思路点拨】由 a , b 是单位向量, a ? b =0.可设 a =(1,0), b =(0,1), c =(x,y).由 向量 c 满足| c - a - b |=1 ,可得(x-1 ) 2+( y-1 ) 2=1.其圆心 C( 1,1),半径 r=1.利用|OC|-r≤| c |=

x 2 ? y 2 ≤|OC|+r 即可得出.

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期期中考试(201411) 】4.已知向量

m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? , 若 m ? n ? m ? n , 则? = (
A. ?4 B. ?2 C. -3 D. -1

?

? ?

?



【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】C 由向量 m =(λ+1,1), n =(λ+2,2), 得 m ? n =(λ+1 , 1)+(λ +2 , 2)=(2λ+3 , 3) , m ? n =(λ+1 , 1)- (λ+2 , 2)=(-1 , -1) 由( m ? n ) ? ( m ? n ),得(2λ+3)×(-1)+3×(-1)=0,解得:λ=-3.故答案为:C. 【思路点拨】由向量的坐标加减法运算求出( m ? n ), ( m ? n )的坐标,然后由向量垂直的坐标运算列式
第 15 页(共 21 页)

求出 λ 的值.

【数学文卷·2015届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试(201410 ) 】18、 (本题满分10分)已知向量

a ? (sin(? x ? ? ), 2),b ? (1,cos(? x ? ? ))( ? >0,0< ? <
的图象的相邻两对称轴之间的距离为2,且过点 M (1, ) 。 (1)求 f ( x ) 的表达式; (2)求 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2014 ) 的值。

? ) 。函数 f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) , y ? f ( x) 4

7 2

【知识点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.C7 F3 【答案解析】 (1) f ? x ? ? ? cos(2? x ? 2?) ? 3 ; (2) 6045 解析: (1) f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) =a ?b

1 2

?2

?2

? sin 2 (? x ? ? ) ? 4 ?1 ? cos2 (? x ? ? )
? ? cos(2? x ? 2? ) ? 3

∵0< ? <

? ? ? ,∴ 2? ? , ? ? , 4 6 12 ? ? ∴ f ( x) ? 3 ? cos( x ? ) 。 2 6

2? ? ? 2 ? 2 ,∴ ? ? 。 2? 4 7 ? 1 又图象过点 M ,∴ ? 3 ? cos( ? 1 ? 2? ) 即 sin 2? ? , 2 2 2
由题意知:周期 T ?

………………5’

(2) y ? f ( x) 的周期 T ? 4 ,

∵ f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? (3 ? 原式= 6045

3 1 3 1 ) ? (3 ? ) ? (3 ? ) ? (3 ? ) ? 12 2 2 2 2
………………10’

1 。 2 7 2

【思路点拨】 (1)根据向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式,由周期公式和题意 求出 ω 的值,再把点 M (1, ) 代入化简后,结合 φ 的范围求出 φ; (2)根据函数的周期为 4,求出一个周 期内的函数值的和,再根据周期性求出式子的值.
第 16 页(共 21 页)

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】7、已知向量 a ? (1,2) ,向量

b ? ( x, ?2) ,且 a ? (a ? b) ,则实数 x 等于(
A、 ?4 B、 4

) C、 0 D、 9

【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.F3 【答案解析】D 解析:由向量 a ? (1,2) ,向量 b ? ( x, ?2) ,∴ a ? b =(1﹣x,4) , 又 a ? (a ? b) ,∴1×(1﹣x)+2×4=0,解得 x=9.故选 D. 【思路点拨】由给出的向量的坐标求出 a ? b 的坐标,然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求解 x 的值.

【数学文卷· 2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考 (201410) 】 14、 如图所示, 在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,∠DAB=60 , CP ? 3PD , 则 AP ? BP 的值为 .

【知识点】向量的线性运算;向量的数量积. F1 【答案解析】3 解析: AP ? AD ? DP ? AD ?

F3

1 3 AB , BP ? BC ? CP ? AD ? AB . 4 4 2 2 1 3 3 1 AB ? AD ? AB 所以 AP ? BP = ( AD ? AB) ? ( AD ? AB) ? AD ? 4 4 16 2 3 1 ? 25 ? ? 64 ? ? 5 ? 8 ? cos 60 ? 3 . 16 2

? ?

? ?

【思路点拨】先把 AP, BP 分别用 AB, AD 表示,再利用向量的数量积求解.

【数学文卷·2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考(201411) 】18.(本小题满分 14 分 ) 已 知 a,b,c 为 △ ABC 的 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 , 向 量 m ? (2sin B, 2 ? cos 2B) ,

n ? (2sin 2 ( ? ), ? 1) , m ? n , a ? 3 , b ? 1 4 2
第 17 页(共 21 页)

?

B

(1)求角 B 的大小;(2)求 c 的值. 【知识点】余弦定理的应用;平面向量的综合题.C8F3 【答案解析】 (1) B ?

?
6

;(2) c=2 或 c ? 1

解析: (1) m n ? 0 , 4sin B sin 2 ( 则 2sin B[1 ? cos( 所以 sin B ?

?
4

?

?
2

B ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 ,…………………………3 分 2

? B)] ? cos 2 B ? 2 ? 0 ,…………………………5 分

1 ,…………………………7 分 2 ? 5? 又 B ? (0, ? ) ,则 B ? 或 …………………………8 分 6 6
又 a>b,所以 B ?

?

6

…………………………9 分

(2)由余弦定理: b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B …………………………10 分 得 c=2 或 c ? 1 …………………………………………………………………14 分 【思路点拨】 (1) m ? n ,则 m n ? 0 ,则有 4sin B sin 2 ( 小; (2)由余弦定理即可求 c 的值.

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 化简后即可求角 B 的大 2

【数学文卷·2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考(201411) 】6.已知向量 a , b 满 足 | a |? 1, | b |? 2, 且(a ? b) ? a , 则向量a 与 b 的夹角为 ( )

A.300

B.600

C.1200

D.1500

【知识点】数量积表示两个向量的夹角;平面向量数量积的运算.F3 【答案解析】C 即 + 解析:设 a , b 的夹角为 θ,0°≤θ≤180°,则由题意可得( )? =0,

=1+1×2×cosθ=0,解得 cosθ=﹣ ,∴θ=120°,故选 C. )? =0,解得 cosθ=﹣ ,可得 θ 的

【思路点拨】设 , 的夹角为 θ,0°≤θ≤180°,则由题意可得( 值.

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期二调考试(201410)word 版】18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinx,-1),n=( 3 cos x, ?

1 ),函数 f ( x ) =m2+m n-2 2
第 18 页(共 21 页)

(1)求 f ( x ) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边,且 a,b,c 成等比数列,角 B 为锐角,且 f ( B) ? 1,求

1 1 ? 的值. tan A tan C
【知识点】平面向量的数量积运算;三角恒等变换;正弦定理 F3 C5 C8 【答案解析】 解: (1) f ( x) ? (m ? n) ? m ? 2 ? sin x ? 1 ? 3 sin x cos x ?
2

1 ?2 2

=

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) .故 f ( x)max ? 1 , 2 2 2 2 2 6

2x ?

?
6

=2k? ?

?
2

, k ? Z , 得 x ? k? ?
? ?

?
3

,k ? Z,

所以取最大值时 x 的取值集合为 ? x ? k? ?

?

? ,k ?Z?。 3 ?

(2) f ( B) ? sin(2 B ?

?
6

) ? 1, 0 ? B ?

?
2

,??

?
6

? 2B ?

?
6

?

5? , 6

? 2B ?

?
6

?

?
2

.B ?

?
3

2 2 由 b ? ac 及正弦定理得 sin B ? sin A sin C 于是

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C
? sin( A ? C ) 1 2 3 ? ? 2 sin B sin B 3 ? ?

【思路点拨】 (1)把给出的向量的坐标代入函数解析式,化简整理后得到 f ( x) ? sin ? 2 x ?

??

? ,直接由 6?

2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z 即可得到使函数取得最大值 1 的 x 的取值集合;

( 2 )由 B 为锐角,利用 f ( B) ? 1 求出 B 的值,把要求的式子切化弦,由 a , b , c 成等比数列得到

sin 2 B ? sin A sin C ,代入化简后即可得到结论。

第 19 页(共 21 页)

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期二调考试(201410)word 版】4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a =(2,0),| b | =1,则| a +2 b |等于 A. 2 2 B. 2 3 C. 4 F3
2

D. 10

【知识点】向量的数量积及其坐标运算

2 2 【答案解析】D 解析:由已知得 a ? 2 ,? a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4b ? 4 ? 4 ? 2 ? 1? cos 60 ? 4 ? 12 ,

? a ? 2b ? 2 3 ,
故选:B 【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模,最后结论要求模,一般要把模平方,知道夹角就可以解决平 方过程中的数量积问题,题目最后不要忘记开方.

【数学文卷· 2015 届宁夏银川一中高三第三次月考 (201410) 】 5. 在 ?ABC 中,C ? 90 , 且 CA ? CB ? 3 , 点 M 满足 BM ? 2 MA, 则CM ? CB 等于 A.3 B.2 C.4 D.6

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】A 由题意得 AB=3 2 ,△ABC 是等腰直角三角形, CM ? CB =( CA ? = CB ? CA +

1 AB ) 3

1 1 1 2 AB ? CB =0+ | AB |?| CB |cos45° = ×3 2 ×3× =3,故选 A. 3 3 3 2

【思路点拨】由 CM ? CB =( CA ? 的定义,求出 CM ? CB 的值.

1 AB ),再利用向量 AB 和 CB 的夹角等于 45° ,两个向量的数量积 3

【数学文卷·2015 届云南省玉溪一中高三上学期期中考试(201410) 】14、正三角形 ABC 中, AB ? 3 , D 是边 BC 上的点, 且满足 BC =2BD ,则 AB ? AD = .

【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】

27 4

由于正三角形 ABC 中,AB=3,D 是边 BC 上的点,且满足 BC =2BD ,则点 D 为线

第 20 页(共 21 页)

段 BC 的中点,故有 AD=AB?sin∠B=3×

? 3 3 3 = ,且∠BAD= , 6 2 2

则 AB ? AD =AB?AD?cos∠BAD=3×

27 3 3 3 27 × = ,故答案为: . 4 4 2 2

【思路点拨】由条件利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,求得 AD 和∠BAD 的值,可得

AB ? AD =AB?AD?cos∠BAD 的值.

F4 单元综合

【数 学理卷· 2015 届 黑龙江 省双鸭山 一中高三上学 期期中考 试( 201411 ) 】 12 . 在 ?ABC 中 ,

1 AB ? 5, AC ? 6, cos A ? , O 是 ?ABC 的内心,若 OP ? xOB ? yOC ,其中 x, y ? [0,1] ,则动点 P 的轨 5
迹所覆盖图形的面积为 A. ( B. ) C. 4 3 D.

10 6 3

14 6 3

6 2

【知识点】单元综合 F4 【答案解析】B 根据向量加法的平行四边形法则,得动点 P 的轨迹是以 OB,OC 为邻边的平行四边形, 其面积为△BOC 面积的 2 倍.在△ABC 中,由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA,代入数据,解得 BC=7, 设△ABC 的内切圆的半径为 r,则

1 1 2 6 bcsinA= (a+b+c)r ,解得 r= , 2 2 3

所以 S △ B OC =

1 1 2 6 7 6 ×BC×r= ×7× = , 2 2 3 3

故动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 2S △ B OC =

14 6 .故答案为 B. 3

【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则,得动点 P 的轨迹是以 OB,OC 为邻边的平行四边形,其 面积为△BOC 面积的 2 倍. 第 II 卷(非选择题,共 90 分)

第 21 页(共 21 页)


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