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高中数学解析几何的教学创新与探索


高中数学解析几何的创新教学探索
摘要:通过对高中数学解析几何内容的分析,阐述了解析几何的课程特点和教学意义;以课 程内容和教学实践为基础, 进一步分析了当前高中数学中解析几何教学的特点和难点, 为探 索和创新教学方式明确了方向; 在重视基础理论和以学生为中心的原则下, 提出了教学思想 重视规划突出引导、充分利用几何画板和手工制作的创新教学方法。 1 高中数学解析几何的内容及意义 1.1 高中数学解析几何的内容 高中数学中关于几何的知识主要集中在了第三册, 其内容主要包括空间几何体、 点线面 位置关系、直线与方程和圆与方程等四章内容,空间几何体部分主要讲述了结构、视图、表 面积和体积, 该部分通过直观方式拓宽学生关于几何的认识, 与初中的平面二维几何形成了 对比,其内容特色在于突出了“体” ,使学生的几何思维由平面二维延伸到了立体三维;其 中表面积和体积是高中几何关于空间几何体的基本知识。 高中几何中点线面的知识是建立在 初中几何基础之上的,点、线、面作为几何的三大基本要素,是解析几何中判断几何图形位 置关系的切入点和重要依据, 因此高中几何一方面将点线面之间的关系拓宽到空间范畴, 另 一方面基于数学解析式判断直线和平面的平行、 垂直等特殊位置关系, 将复杂的空间几何位 置关系逐渐过渡到解析几何范畴。直线与方程一章将倾斜角、斜率、直线方程、交点和距离 等基本要素进行了陈述, 这些内容即是直线位置关系的基本要素, 又与高中物理动力学的相 关知识相关联, 对于判断函数的几何特性和数学规律具有重要意义。 圆与方程是典型的二元 二次方程,在自变量的数量、幂的大小两方面都实现了飞跃,同时也增加了计算复杂程度, 该章主要以圆的方程、 直线与圆的位置关系为主要内容, 使学生的解析几何计算能力由二元 一次方程组向二元二次方程组过渡。 1.2 高中数学解析几何的意义 高中数学中解析几何从教学方面主要有两大意义,一方面可以完善高中数学理论体系, 融汇函数和几何的知识, 使学生对数学的认识从单纯的代数或几何上升到解析几何层面, 既 能增强学生的几何问题解决能力, 又能提高学生对函数知识的运用能力, 能够非常全面的考 察学生对函数和几何的综合运用能力。 另一方面可以促进高中物理课程的学习, 高中物理的 动力学部分,特别是速度和距离、加速度和受力平衡等部分,与直线的斜率等关系密切,利 用解析几何的相关知识可以使学生更加直观的理解物理学中的一些基本概念和运动规律。 高 中数学解析几何对学生思维能力的锻炼同样具有重要意义, 新课程背景下, 高中数学更加重 视学生的创新能力和动手能力的培养,直线、圆的种类、位置具有多样化,但是他们的基本 解析方程类型是固定的, 随着直线和圆的位置关系的变化, 二者之间的位置关系又变得更加 多样性, 所以通过高中数学解析几何的讲授, 能够在夯实学生基本能力、 基本知识的基础上, 推动学生思维能力的创新和综合知识的运用能力。 2 高中数学解析几何的教学特点 《普通高中数学课程标准》 (简称课程标准)对高中数学解析几何的教学提出了明确要 求,从课程标准的要求可以看出,高中数学解析几何的教学具有层次性、逻辑性和实用性三 个方面的教学特点[1]。 2.1 课程内容安排由简入繁 高中数学解析几何在课程内容安排方面更加突出层次性, 先对几何概念进行拓展, 使学 生对几何的认识从二维向三维拓展, 进而形成几何维度方面的层次性; 其次对几何的元素由 点、线、面的独立特性向三者之间的交互特性转变,比如由线或面的平行或垂直的基本概念 向直线的倾角和直线方程过度, 在此处的课程讲解中, 需要提示学生几何位置关系的判断由

以“形”为主的位置判断向以“方程”为主的解析判断过渡,从而构成几何问题的系统解决 方案。最后对解析结合的应用,从一次方程(直线的方程)向二次方程(圆的方程)过渡, 此处的讲解中不仅要提示学生几何形状的变化, 而且要结合已经讲解的函数的相关理论, 强 调二次方程和圆的方程的相同点和不同点, 从而在判断直线和圆的位置关系时能够考虑到交 点的数量和取值的正负等细节。 2.2 课程讲授以公理为基础 高中解析几何的最大特点在于几何图形与函数方程的紧密结合, 从而使高中解析结合的 教学更加突出“形”和“数”的关系,几何图形通常具有直观性,其概念和特征也都通俗易 懂, 但是几何体之间的位置关系的判断和求解通常对几何公理的综合、 灵活的运用要求更加 高,例如平行辅助线的添加、勾股定理的运用、相似三角形的判断等,这些初中几何的基本 常识在高中几何的命题中大量出现, 如果学生对初中几何基本定理掌握不牢固, 在高中几何 的学习中会始终处于被动境地。 高中解析几何对公理的重要依赖性, 还体现在解析几何对二 元二次方程的综合运用, 特别是在直线和圆的位置关系这一章, 如何判断和直线的位置关系, 仅用几何知识很难精确求解, 将直线方程和圆的方程构成方程组之后, 就可以根据二元二次 方程的根的判别式进行交点数量的判断, 因此高中解析几何对基本公理的牢固掌握要求更高。 2.3 课程命题从实践向理论 高中解析几何的知识结构决定了其命题特点从以理论为主向理论实践结合过度, 课程标 [1] 准对高中解析几何的教学目标也定位于 “重视联系生活实际, 强调应用, 加强动手操作” 。 解析几何的命题本质仍然是几何问题,数、形结合是解析几何命题解答的一大特色,使学生 的空间思维能力和代数逻辑推理能力紧密结合。 高中数学解析几何在命题时更加倾向于实践 问题,特别是在命题的描述方面,将实际生活中的圆类物体、杆件类物体进行客观描述,再 要求学生求解几何体之间的位置关系, 这类问题既考查了学生从客观描述抽象问题、 描述问 题,并用数学知识建立模型的能力,对学生的创新能力具有重要的培养意义。此类命题的设 置,在本质上属于高校《理论力学》中的部分内容,高中阶段对解析几何的学习和练习,对 高等教育中力学问题的解决也具有重要的基础铺垫作用。 3 高中数学解析几何的教学难点 高中数学解析几何的教学难点主要包括基本定理、 数形结合和问题提炼, 这三方面的教 学难点既影响了教学质量的提高,也影响了学生创新能力的提升。 3.1 基本定理的准确理解和熟练运用 基本定理是高中数学的基本内容, 是解决高中数学问题的理论基础, 基本定理通常被教 师和学生认为是最简单的内容, 教师在教授时通常忽略了学生对基本定理的理解, 在素质教 育背景下,很多高中数学教学中,都将基本定理的证明、推导进行了简化,课堂上只对基本 定理进行规律性总结, 学生只把基本定理当成一个标准死记硬背。 但是实际的数学问题解答 中,特别是解析几何问题的解答,对基本定理的要求非常高,既要求对基本定理的内容非常 熟练, 又要求对基本定理的应用条件、 推导方法熟练掌握。 基本定理是典型问题的完美解答, 其蕴含了解析几何的结题思路、 解题规律, 其实质上是最具代表性的解析几何问题和解题模 板。由于教师和学生对基本定理的重视程度不够,导致学生在实际问题的解答时,特别是综 合性的解析结合命题解答时, 通常不能灵活的运用基本定理, 从而失去了对基本定理的主动 权。 3.2 几何形状与数学方程的对应互换 解析几何的最大特点在于几何图形和熟悉方程的综合应用, 在命题解答中也需要几何方 法和数学方法综合运用, 实际教学中学生对几何形状和数学方程的对应互换能力不足。 例如, 当提及直线时,不能立刻想到二元一次方程;当求解直线交点距离时,不能想到二元一次方 程组; 学生对几何问题的理解大部分时间都停留在以单纯的几何位置关系进行问题解答, 在

问题解答方案的思考时,也总是先从几何角度出发,经过几轮尝试之后再回到解析方法。学 生的对应互换能力差, 根源在于在教学中未对解析几何的特点进行系统性的理解, 例如直线 的交点问题,本质上是直线上的点的问题,对于几何形状仅有中点是特殊点,也容易判断, 而交点实质上是多样化的,直线之间的位置不同,交点的位置也不同,这就决定了直线焦点 问题不可能单纯依靠几何方法进行解答;同时,每条直线对应一个二元一次方程,两条直线 恰好构成一个方程组,用方程组求直线焦点,就无需考虑直线的几何位置,大大简化了思维 的负担和逻辑的层次。因此,如何强化学生对几何形状和数学方程的对应互换能力,是当前 高中解析几何教学的一大难点。 3.3 几何命题的要点提炼和方程构建 在新课程标准下, 对学生创新能力的培养要求更加突出, 创新能力的考察主要通过命题 方式的改变,将过去单纯的由数学语言描述数学问题,转变成由生活语言描述生活问题,如 何从通俗的问题描述中提炼数学问题, 如何用数学知识解决生活问题, 成为当前高中解析几 何教学中的又一难点。 对几何命题的要点提炼是指上是对解析几何的深入理解, 高中解析结 合主要涉及直线、圆,对解析几何的深入理解实质上是对直线方程和圆的方程的理解,直线 的重要属性是同一直线的倾斜角度相同, 圆的重要属性是圆上任一点到圆心的距离相等, 如 果教师在授课中未对这两个属性进行明确, 那么学生可能会抓不住直线和圆的几何特点, 从 而在面对命题时,不能通过命题中的关键字眼与几何建立直接联系。此外,解析几何中位置 关系是变化最多、求解最频繁的知识点,也是命题中最常见的类型,如果学生对几何位置关 系的解析表达式掌握不熟练,同样不能快速的构建方程,从而增加解析几何问题的难度。 4 高中数学解决几何的教学创新与探索 高中数学解析几何的教学创新必须坚持重视基础理论的原则和以学生为中心的原则, 增 强对基础理论的理解和运用熟练程度,才能准确、高效地处理解析几何问题,坚持以学生为 中心, 才能避免教学创新和探索流于形式。 解析几何是综合了几何问题和代数问题的一门学 科, 在理论运用方面具有一定的交叉性, 这就要求教师在教学思想和教学手段两方面进行不 断的创新和探索。 4.1 教学思想重视规划突出引导 教学思想的创新集中表现在规划和引导两个方面, 规划是指对教学内容的规划、 教学流 程的规划和教学反馈的规划, 引导是指对学生自学能力的引导、 发散思维的引导和逻辑推理 能力的引导。 高中解析几何是从表面上看是高中数学的一部分内容, 实质上它与高中数学自身和高中 其他课程都有紧密联系, 例如它与高中的函数内容有联系, 与高中物理的动力学内容有联系, 因此, 教师在教学中必须主动把握解析几何的内容, 明确告诉学生解析几何与高中其他课程 [2] 的内容关联 。在解析几何的教学流程规划方面,教师需要结合学生的学业负担、基础状况 等因素,设置通用性和差异性兼顾的教学流程,例如在基本知识的讲解时,要重视通用性, 面向所有学生,采用授新、巩固、深化、小结、作业复习的流程。在解析几何的教学反馈规 划方面,通过学生在课堂习题的解答速度和质量,对学生布置差异性的家庭作业。 高中解析几何对方程和几何的知识都有较多应用, 在课堂教学中, 教师必须把解析几何 的基本定理的证明过程详细讲述, 并在基础理论阶段鼓励学生个人亲自证明基本定理, 增强 [3] 学生对基本理论的系统了解 。解析几何的数形结合特点决定了其具有无穷的奥妙,在讲授 直线方程、圆的方程以及它们的位置关系时,可以探索鼓励学生进行讨论,通过对几何形状 和位置的讨论,利用方程的思想去验证讨论,从而增强学生对解析几何的数形结合的理解。 4.2 充分利用几何画板和手工制作 学生对几何问题的理解最直接的方式就是图形和实物,因此在教学手段创新中要高度重 视几何画板和手工制作的重要作用。 几何画板目前已经在很多高中普及, 极大的简化了教学

环节、提高了课堂效率[4],在解析几何的教学中,对几何画板的应用应该更加系统、全面, 例如在讲授直线的方程时, 要对直线方程中的相同变量进行不同赋值, 通过几何画板表达变 量数值变化产生的几何位置关系的变化; 在讲授直线和圆的位置关系时, 通过改变直线倾斜 角度,实现直线和圆交点数量、相交位置的变化,使学生对方程组和几何位置关系建立直接 联系。 实物制作能够更加考验学生的动手能力, 一个好的实物制作应该能够体现解析几何的 [5] 数学本质 ,因此教师在布置实物制作作业时,要在数学方程的基础之上,通过理论计算确 定几何形状的尺寸和位置关系, 再将这些内容转化成实物制作任务, 使学生在实物制作中去 验证解析几何的答案。 5 结论 通过对高中数学解析几何教学内容、教学特点的总结,总结了 当前解析几何的教学难 点在于基本定理的准确理解和熟练运用、 几何形状与数学方程的对应互换、 几何命题的要点 提炼和方程构建。 高中数学解析几何的教学创新必须坚持重视基础理论的原则和以学生为中 心的原则,增强对基础理论的理解和运用熟练程度,才能准确、高效地处理解析几何问题, 坚持以学生为中心, 才能避免教学创新和探索流于形式。 教学思想的创新集中表现在规划和 引导两个方面,规划是指对教学内容的规划、教学流程的规划和教学反馈的规划,引导是指 对学生自学能力的引导、发散思维的引导和逻辑推理能力的引导。在解析几何的教学中,对 几何画板的应用应该更加系统、全面;实物制作能够更加考验学生的动手能力,一个好的实 物制作应该能够体现解析几何的数学本质。 参考文献: [1] 张鹤.《课程标准》理念下立体几何教学内容与教学方式的变革[J].课程.教材.教法.2008, 04:53-57. [2] 刘鑫博.高中几何教学方式的探讨[J].赤子(上中旬).2014,17:129. [3] 周菲苹.数学几何题应培养的几种重要的数学思想方法[J].生物技术世界.2015,06:178. [4] 张乐良.《几何画板》在高中数学教学中的应用[J].中国现代教育装备.2007,07:75-76. [5] 石勇国,赵思林,彭家寅,等.解析几何课程教学改革探索[J].内江师范学院学报.2013, 04:70-73.


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