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2016高考数学大一轮复习 14.1几何证明选讲课件 理 苏教版_图文

数学

苏(理)

第十四章

系列4选讲

§14.1

几何证明选讲

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高 ? 练出高分

1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组 平行线 在一条直线上截得的线段 相等 ,那么在 任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也 相等 . (2)平行线分线段成比例定理

两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对
应线段成 比例 .

2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应 相等 的两个三角形 相似 ; ②两边对应成 比例 且夹角 相等 的两个三角形 相似 ; ③三边对应成 比例 的两个三角形 相似 .

(2)相似三角形的性质定理
①相似三角形的对应线段的比等于 相似比 .

②相似三角形周长的比等于 相似比 .
③相似三角形面积的比等于 相似比的平方 .

3.直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于 该直角边在斜边上的 射影与斜边的乘积 ,斜边上的高的平方等于 两条直角边

在斜边上的射影的乘积 . 4.圆中有关的定理
(1)圆周角定理:圆周角的度数等于其所对弧的度数的 一半 .

(2)圆心角定理:圆心角的度数等于 它所对弧 的度数.

(3)切线的判定与性质定理 ①切线的判定定理 过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线. ②切线的性质定理

圆的切线 垂直 于经过切点的半径.
(4)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线,切线长 相等 .

(5)弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的 一半 . (6)相交弦定理 圆的两条相交弦,每条弦被交点分成的两条线段长的积 相等 .

(7)割线定理
从圆外一点引圆的两条割线,该点到每条割线与圆的交点的

两条线段长的积 相等 .

(8)切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线,切线长是这点到 割线与圆的两个交点的线段长的 等比中项 . (9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理 (ⅰ)如果四边形的对角 互补 ,则此四边形内接于圆; (ⅱ)如果四边形的一个外角 等于 它的内角的对角,那么这 个四边形的四个顶点共圆.

②圆内接四边形性质定理
(ⅰ)圆内接四边形的对角 互补 ; (ⅱ)圆内接四边形的外角 等于 它的内角的对角.

题号
1 2 3 4

答案
9
a 2

解析

4
6

AE 1 在平行四边形 ABCD 中, 因为 EB=2AE, 所以AB=3 AE CD = ,故 =3. CD AE
S△CDF 因为 AE∥CD,所以△AEF∽△CDF,所以 = S△AEF CD 2 ( AE ) =9.

解析

思维升华

题型一 相似三角形的判定及性质 例1 如图,已知在

△ABC中,点D是
BC边上的中点,且

AD =AC, DE⊥BC, DE 与AB相
交于点E,EC与AD相交于点F.

(1)求证:△ABC∽△FCD;

解析

思维升华

题型一 相似三角形的判定及性质 例1 如图,已知在

证明

∵DE⊥BC,D 是BC

△ABC中,点D是
BC边上的中点,且

边上的中点,

∴EB = EC , ∴∠B =
∠ECD,又AD=AC,

AD =AC, DE⊥BC, DE 与AB相
交于点E,EC与AD相交于点F.

∴∠ADC=∠ACD,
∴△ABC∽△FCD.

(1)求证:△ABC∽△FCD;

解析

思维升华

题型一 相似三角形的判定及性质 (1) 三角形相似的证明方法 例1 如图,已知在 很多,解题时应根据条件,

△ABC中,点D是
BC边上的中点,且

AD =AC, DE⊥BC, DE 与AB相
交于点E,EC与AD相交于点F.

(1)求证:△ABC∽△FCD;

结合图形选择恰当的方法 . 一般的思考程序:先找两 对内角对应相等;若只有 一个角对应相等,再判定 这个角的两邻边是否对应 成比例;若无角对应相等, 就要证明三边对应成比例.

解析

思维升华

题型一 相似三角形的判定及性质 例1 如图,已知在

△ABC中,点D是
BC边上的中点,且

(2) 证明等积式的一般方法

是化为等积的比例式,若
题目中无平行线,需利用

AD =AC, DE⊥BC, DE 与AB相
交于点E,EC与AD相交于点F.

相似三角形的性质证明.

(1)求证:△ABC∽△FCD;

例1 如图,已知在

解析

思维升华

△ABC中,点D是
BC边上的中点,且 AD =AC, DE⊥BC, DE 与AB相 交于点E,EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE 的长.

例1 如图,已知在

解析

思维升华

△ABC中,点D是
BC边上的中点,且 AD =AC, DE⊥BC, DE 与AB相 交于点E,EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE 的长.



过点 A 作 AM⊥BC ,垂

足为点M, ∵△ABC∽△FCD,BC= 2CD,

例1 如图,已知在

解析

思维升华

△ABC中,点D是
BC边上的中点,且 AD =AC, DE⊥BC, DE 与AB相 交于点E,EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE 的长.

S△ABC BC 2 ∴ =(CD) =4, S△FCD

又∵S△FCD=5, ∴S△ABC=20,
1 又 S△ABC=2×BC×AM 1 =2×10×AM=20,

例1 如图,已知在

解析

思维升华

△ABC中,点D是
BC边上的中点,且 AD =AC, DE⊥BC, DE 与AB相 交于点E,EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE 的长.

解得AM=4,
DE BD 又 DE∥AM,∴ = , AM BM 1 5 ∵DM = DC = ,BM =BD 2 2 5 15 +DM=5+ = , 2 2 DE 5 8 ∴ = ,解得 DE= . 4 15 3 2

例1 如图,已知在

解析

思维升华

△ABC中,点D是
BC边上的中点,且 AD =AC, DE⊥BC, DE 与AB相 交于点E,EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE 的长.

(1) 三角形相似的证明方法 很多,解题时应根据条件, 结合图形选择恰当的方法 . 一般的思考程序:先找两 对内角对应相等;若只有 一个角对应相等,再判定 这个角的两邻边是否对应 成比例;若无角对应相等, 就要证明三边对应成比例.

例1 如图,已知在

解析

思维升华

△ABC中,点D是
BC边上的中点,且 AD =AC, DE⊥BC, DE 与AB相 交于点E,EC与AD相交于点F. (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE 的长.

(2) 证明等积式的一般方法

是化为等积的比例式,若
题目中无平行线,需利用

相似三角形的性质证明.

跟踪训练1

如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 ,

AD∥BC,AB=CD,DE∥CA,且交BA的 延长线于E,求证:ED· CD=EA· BD. 证明 在梯形ABCD中,∵AB=DC, ∴∠ABC=∠DCB. 又BC=BC,∴△ABC≌△DCB. ∴∠BAC=∠BDC,

跟踪训练1

如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 ,

AD∥BC,AB=CD,DE∥CA,且交BA的 延长线于E,求证:ED· CD=EA· BD. ∵AC∥ED,AD∥BC, ∴∠E=∠BAC=∠BDC,∠EAD=∠ABC=∠DCB, ∴△EAD∽△DCB.
EA ED ∴DC=DB,即 ED· CD=EA· BD.

题型二 直角三角形的射影定理
例2 如图,在△ABC中,D、F分别 在AC、BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC, BD=DC=FC=1,求AC.

解析

思维升华

题型二 直角三角形的射影定理
例2 如图,在△ABC中,D、F分别

解析

思维升华



在△ABC中,设AC为x,

在AC、BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC, 又FC=1,根据射影定理, BD=DC=FC=1,求AC. 得AC2=FC· BC, 即BC=x2.

∵AB⊥AC,AF⊥BC.

题型二 直角三角形的射影定理
例2 如图,在△ABC中,D、F分别 在AC、BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC, BD=DC=FC=1,求AC.

解析

思维升华

再 由 射 影 定 理 , 得 AF2 =

BF· FC=(BC-FC)· FC,
即AF2=x2-1,

∴AF= x2-1.
在 △BDC 中 , 过 D 作 DE⊥BC于E. ∵BD=DC=1,

题型二 直角三角形的射影定理
例2 如图,在△ABC中,D、F分别 BD=DC=FC=1,求AC.

解析

思维升华

1 2 ∴BE=EC= x . 2
∴DE∥AF,

在AC、BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC, 又∵AF⊥BC,

DE DC ∴ = , AF AC
x2-1 DC· AF ∴DE= = . AC x

题型二 直角三角形的射影定理
例2 如图,在△ABC中,D、F分别

解析

思维升华

在 Rt△DEC 中, ∵DE2+EC2

在AC、BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC, =DC2, BD=DC=FC=1,求AC. x2-1 2 1 2 2 2 即( ) +( x ) =1 , x 2
x2-1 x4 ∴ 2 + =1. x 4

题型二 直角三角形的射影定理
例2 如图,在△ABC中,D、F分别

解析

思维升华

在AC、BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC, 整理得 x = 4 , ∴ x = 2,
6

3

BD=DC=FC=1,求AC.

即 AC= 2.

3

题型二 直角三角形的射影定理
例2 如图,在△ABC中,D、F分别 在AC、BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC, BD=DC=FC=1,求AC.

解析

思维升华

(1) 在使用直角三角形射影
定理时,要学会将 “ 乘积

式 ” 转化为相似三角形中
的“比例式”.

(2) 证题时,作垂线构造直
角三角形是解直角三角形

常用的方法.

跟踪训练2 如图所示,在△ABC中,∠CAB =90°,AD⊥BC于D,BE是∠ABC的平分线, 交AD于F,求证: DF =AE . AF EC 证明 由三角形的内角平分线定理得, DF BD 在△ABD 中, AF = AB ,① AE AB 在△ABC 中,EC=BC,②

跟踪训练2 如图所示,在△ABC中,∠CAB =90°,AD⊥BC于D,BE是∠ABC的平分线, 交AD于F,求证: DF =AE . AF EC 在Rt△ABC中,由射影定理知,AB2=BD· BC, BD AB 即 AB =BC.③ DF AE DF AB 由②④得: AF =EC. 由①③得: AF =BC,④

题型三 圆的切线的判定与性质
例3 如图,在

解析

思维升华

Rt△ABC中,∠C
= 90°, BE 平分 ∠ABC 交 AC 于

点 E ,点 D 在 AB 上, DE⊥EB ,
且AD=2 3 ,AE=6.

(1)判断直线AC与△BDE的外接
圆的位置关系;

题型三 圆的切线的判定与性质
例3 如图,在

解析

思维升华

解 取BD的中点O,连结OE.

Rt△ABC中,∠C
= 90°, BE 平分 ∠ABC 交 AC 于

∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠OBE.

点 E ,点 D 在 AB 上, DE⊥EB ,
且AD=2 3 ,AE=6.

又∵OB=OE,
∴∠OBE=∠BEO,

(1)判断直线AC与△BDE的外接
圆的位置关系;

题型三 圆的切线的判定与性质
例3 如图,在

解析

思维升华

∴∠CBE=∠BEO, ∴BC∥OE. ∵∠C=90°,

Rt△ABC中,∠C
= 90°, BE 平分 ∠ABC 交 AC 于

点 E ,点 D 在 AB 上, DE⊥EB ,
且AD=2 3 ,AE=6.

∴OE⊥AC,
∴ 直线 AC 是△BDE 的外接

圆的切线,
即直线AC与△BDE的外接 圆相切.

(1)判断直线AC与△BDE的外接
圆的位置关系;

题型三 圆的切线的判定与性质
例3 如图,在

解析

思维升华

Rt△ABC中,∠C
= 90°, BE 平分 ∠ABC 交 AC 于

点 E ,点 D 在 AB 上, DE⊥EB ,
且AD=2 3 ,AE=6.

(1)判断直线AC与△BDE的外接
圆的位置关系;

证明直线是圆的切线的方法: 若已知直线经过圆上某点(或 已知直线与圆有公共点),则 连结圆心和这个公共点,设 法证明直线垂直于这条半径; 如果已知条件中直线与圆的 公共点不明确 ( 或没有公共 点),则应过圆心作直线的垂 线,得到垂线段,设法证明 这条垂线段的长等于圆半径.

解析

思维升华

例3 如图,在 Rt△ABC中,∠C

= 90°, BE 平分 ∠ABC 交 AC 于
点 E ,点 D 在 AB 上, DE⊥EB ,

且AD=2 3 ,AE=6.
(2)求EC的长.

解析

思维升华

例3 如图,在 Rt△ABC中,∠C



设 △BDE 的 外 接 圆 的

半径为r. 在△AOE 中, OA2 = OE2 + AE2, 即(r+2 3 )2=r2+62,解得 r=2 3 , ∴OA=2OE,

= 90°, BE 平分 ∠ABC 交 AC 于
点 E ,点 D 在 AB 上, DE⊥EB ,

且AD=2 3 ,AE=6.
(2)求EC的长.

解析

思维升华

例3 如图,在 Rt△ABC中,∠C

∴∠A = 30° , ∠AOE = 60°. ∴∠CBE=∠OBE=30°,

= 90°, BE 平分 ∠ABC 交 AC 于
点 E ,点 D 在 AB 上, DE⊥EB ,

且AD=2 3 ,AE=6.
(2)求EC的长.

1 1 1 ∴EC = BE = × 3 r = 2 2 2 × 3×2 3=3.

解析

思维升华

例3 如图,在 Rt△ABC中,∠C

= 90°, BE 平分 ∠ABC 交 AC 于
点 E ,点 D 在 AB 上, DE⊥EB ,

且AD=2 3 ,AE=6.
(2)求EC的长.

证明直线是圆的切线的方法: 若已知直线经过圆上某点(或 已知直线与圆有公共点),则 连结圆心和这个公共点,设 法证明直线垂直于这条半径; 如果已知条件中直线与圆的 公共点不明确 ( 或没有公共 点),则应过圆心作直线的垂 线,得到垂线段,设法证明 这条垂线段的长等于圆半径.

跟踪训练3 (2013· 广东改编)如图,AB是圆O的

直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,
过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,

求BC的长.
解 C为BD中点,且AC⊥BC, 故△ABD为等腰三角形.AB=AD=6, 所以AE=4,DE=2. AE AC 又AC=AD,

跟踪训练3 (2013· 广东改编)如图,AB是圆O的

直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,
过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,

求BC的长.
所以 AC2=AE· AD=4×6=24,AC=2 6,
在△ABC 中,BC= AB2-AC2= 36-24=2 3.

题型四 与圆有关的比例线段
例4 (2014· 课标
全国Ⅱ)如图,P

解析

思维升华

是⊙O外一点,
PA是切线,A为切

点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,
PC=2PA,D为PC的中点,AD的延

长线交⊙O于点E.证明:
(1)BE=EC;

题型四 与圆有关的比例线段
例4 (2014· 课标
全国Ⅱ)如图,P

解析

思维升华

证明 连结AB,AC.

由题设知PA=PD,
故∠PAD=∠PDA. 因 为 ∠PDA = ∠DAC + ∠DCA,

是⊙O外一点,
PA是切线,A为切

点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,
PC=2PA,D为PC的中点,AD的延

长线交⊙O于点E.证明:
(1)BE=EC;

题型四 与圆有关的比例线段
例4 (2014· 课标
全国Ⅱ)如图,P

解析

思维升华

∠PAD=∠BAD+∠PAB,
∠DCA=∠PAB,

是⊙O外一点,
PA是切线,A为切

所以∠DAC=∠BAD,
从而 BE=EC.
( (

点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,
PC=2PA,D为PC的中点,AD的延

因此BE=EC.

长线交⊙O于点E.证明:
(1)BE=EC;

题型四 与圆有关的比例线段
例4 (2014· 课标
全国Ⅱ)如图,P

解析

思维升华

(1)应用相交弦定理、切割线
定理要抓住几个关键内容:

是⊙O外一点,
PA是切线,A为切 PC=2PA,D为PC的中点,AD的延

如线段成比例与相似三角形、 关的相似三角形等.

点,割线PBC与⊙O相交于点B,C, 圆的切线及其性质、与圆有 长线交⊙O于点E.证明:
(1)BE=EC;

题型四 与圆有关的比例线段
例4 (2014· 课标
全国Ⅱ)如图,P

解析

思维升华

(2)相交弦定理、切割线定理 主要用于与圆有关的比例线 段的计算与证明.解决问题时 要注意相似三角形知识及圆 周角、弦切角、圆的切线等 相关知识的综合应用.

是⊙O外一点,
PA是切线,A为切

点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,
PC=2PA,D为PC的中点,AD的延

长线交⊙O于点E.证明:
(1)BE=EC;

例4 (2014· 课标 全国Ⅱ)如图,P 是⊙O外一点, PA是切线,A为切

解析

思维升华

点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,
PC=2PA,D为PC的中点,AD的延

长线交⊙O于点E.证明:
(2)AD· DE=2PB2.

例4 (2014· 课标 全国Ⅱ)如图,P 是⊙O外一点, PA是切线,A为切 PC=2PA,D为PC的中点,AD的延

解析

思维升华



由切割线定理得 PA2 =

PB· PC.

因为PA=PD=DC, 由 相 交弦定 理 得 AD· DE =
BD· DC,

点,割线PBC与⊙O相交于点B,C, 所以DC=2PB,BD=PB. 长线交⊙O于点E.证明:
(2)AD· DE=2PB2.

所以AD· DE=2PB2.

例4 (2014· 课标 全国Ⅱ)如图,P 是⊙O外一点, PA是切线,A为切

解析

思维升华

(1)应用相交弦定理、切割线
定理要抓住几个关键内容: 圆的切线及其性质、与圆有

点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,
PC=2PA,D为PC的中点,AD的延

如线段成比例与相似三角形、 关的相似三角形等.

长线交⊙O于点E.证明:
(2)AD· DE=2PB2.

例4 (2014· 课标 全国Ⅱ)如图,P 是⊙O外一点, PA是切线,A为切

解析

思维升华

(2)相交弦定理、切割线定理 主要用于与圆有关的比例线 段的计算与证明.解决问题时

点,割线PBC与⊙O相交于点B,C, 要注意相似三角形知识及圆 PC=2PA,D为PC的中点,AD的延 周角、弦切角、圆的切线等 长线交⊙O于点E.证明:
(2)AD· DE=2PB2. 相关知识的综合应用.

跟踪训练4 如图,⊙O的半径OB垂直于直径 AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N, 过N点的切线交CA的延长线于P. (1)求证:PM2=PA· PC;

证明

连结ON,则ON⊥PN,且△OBN为等腰三角形,

则∠OBN=∠ONB,

∵∠PMN=∠OMB=90°-∠OBN,
∠PNM=90°-∠ONB,

跟踪训练4 如图,⊙O的半径OB垂直于直径 AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N, 过N点的切线交CA的延长线于P. (1)求证:PM2=PA· PC;

∴∠PMN=∠PNM,∴PM=PN.
根据切割线定理,有PN2=PA· PC, ∴PM2=PA· PC.

跟踪训练4 如图,⊙O的半径OB垂直于直径 AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N, 过N点的切线交CA的延长线于P. (2)若⊙O的半径为2 3,OA= 3OM,求MN的长.
解 OM=2,在 Rt△BOM 中,BM= OB2+OM2=4.

延长BO交⊙O于点D,连结DN.
BO BM 由条件易知△BOM∽△BND,于是BN = BD ,

跟踪训练4 如图,⊙O的半径OB垂直于直径 AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N, 过N点的切线交CA的延长线于P. (2)若⊙O的半径为2 3,OA= 3OM,求MN的长.
2 3 4 即 BN = ,∴BN=6. 4 3

∴MN=BN-BM=6-4=2.

答题模板系列10 与圆有关的几何证明问题
典例:(10分)如图,D,E分别为△ABC边AB, AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,

G两点.若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

思 维 点 拨

规 范 解 答

温 馨 提 醒

连结AF,利用平行关系构造平行四边形可得结论;

思 维 点 拨

规 范 解 答

温 馨 提 醒

证明 因为D,E分别为AB,AC的中点,

所以DE∥BC.
又已知CF∥AB,

故四边形BCFD是平行四边形,
所以CF=BD=AD. 而CF∥AD,连结AF, 所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF. 因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.
5分 6分

思 维 点 拨

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推 理和现有的结论,要熟悉各种图形的特征,利用好平行、 垂直、相似、全等的关系,适当添加辅助线和辅助图形, 这些知识都有利于问题的解决. (2)证明等积式时,通常转化为证明比例式,再证明四条 线段所在的三角形相似.另外也可利用平行线分线段成比 例定理来证明.

思 维 点 拨

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据,
解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角.

(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握,利用该性质可得
到角相等,进而为三角形的相似创造了条件.

(2)△BCD∽△GBD.
思 维 点 拨

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

思 维 点 拨

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

先证△BCD和△GBD为等腰三角形,再证明两三角形 顶角相等即可.

思 维 点 拨

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

证明 因为FG∥BC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD, 所以∠BGD=∠BDG. 由BC=CD知∠CBD=∠CDB, 又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC, 所以△BCD∽△GBD.
10分 8分

思 维 点 拨

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

处理与圆有关的比例线段的常见思路:

(1)利用圆的有关定理;
(2)利用相似三角形;

(3)利用平行线分线段成比例定理及推论;
(4)利用面积关系等.

思 维 点 拨

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推 理和现有的结论,要熟悉各种图形的特征,利用好平行、 垂直、相似、全等的关系,适当添加辅助线和辅助图形, 这些知识都有利于问题的解决. (2)证明等积式时,通常转化为证明比例式,再证明四条 线段所在的三角形相似.另外也可利用平行线分线段成比 例定理来证明.

思 维 点 拨

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据,
解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角.

(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握,利用该性质可得
到角相等,进而为三角形的相似创造了条件.

1.证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出比例

方 法 与 技 巧

式中给出的线段所在三角形是否相似,若不相似,则

进行线段替换或等比替换.
2. 圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意找

相等的角,找相似三角形,从而得出线段的比.由于圆
幂定理涉及圆中线段的数量计算,所以应注意代数法

在解题中的应用.

1. 在应用平行截割定理时,一定要注意对应线段成

失 误 与 防 范

比例 .

2. 在解决相似三角形时,一定要注意对应角和对应边,

否则容易出错.

1

2

3

4

5

6

1.如图,△ABC中,BF⊥AC于点F,CE⊥AB
于点E,BF和CE相交于点P,求证:

(1)△BPE∽△CPF;
证明 ∵BF⊥AC于点F,

CE⊥AB于点E,
∴∠BFC=∠CEB=90°.

又∵∠CPF=∠BPE,
∴△CPF∽△BPE.

1

2

3

4

5

6

1.如图,△ABC中,BF⊥AC于点F,CE⊥AB
于点E,BF和CE相交于点P,求证: (2)△EFP∽△BCP.
EP FP 证明 由(1)得△CPF∽△BPE,∴BP=CP.

又∵∠EPF=∠BPC,
∴△EFP∽△BCP.

1

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3

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5

6

2.如图,△ABC 中,∠BAC=90° ,AD⊥BC 交 BC 于点 D,若 E 是 AC 的中点,ED 的延 AB DF 长线交 AB 的延长线于 F,求证:AC= AF .

证明 ∵E是Rt△ADC斜边AC的中点,

∴AE=EC=DE.
∴∠EDC=∠ECD,又∠EDC=∠BDF,

1

2

3

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5

6

∴∠EDC=∠C=∠BDF.

又AD⊥BC且∠BAC=90°,
∴∠BAD=∠C,

∴∠BAD=∠BDF,
∴△DBF∽△ADF.

1

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5

6

DB DF ∴AD= AF .

AB DB 又 Rt△ABD∽Rt△CBA,因此AC=AD.
AB DF ∴ = . AC AF

1

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6

3.(2014· 江苏)如图,AB是圆O的直径,C,D是 圆O上位于AB异侧的两点.证明:∠OCB=∠D.

证明 因为B,C是圆O上的两点,
所以OB=OC.故∠OCB=∠B.

又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,
故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,

所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D.

1

2

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6

4.(2013· 江苏)如图,AB和BC分别与圆O相切于 点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC. 求证:AC=2AD. 证明 连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点 D,C,

1

2

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5

6

所以∠ADO=∠ACB=90°. 又因为∠A=∠A, 所以Rt△ADO∽Rt△ACB.
BC AC 所以OD=AD.

又BC=2OC=2OD,故AC=2AD.

1

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6

5.如图所示,平行四边形 ABCD 中,E 是 CD 延长线上的一点,BE 与 AD 交于点 F, 1 DE=2CD. (1)求证:△ABF∽△CEB;

1

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6

证明 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠A=∠C,AB∥CD. ∴∠ABF=∠CEB. ∴△ABF∽△CEB.

1

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5

6

(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积. 解 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.
1 ∵DE= CD, 2

1

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6

S△DEF DE 2 1 ∴ =( ) = , 9 S△CEB CE S△DEF DE 2 1 =( AB ) =4. S△ABF

∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8.

∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.
∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.

1

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6

6.(2014· 课标全国Ⅰ)如图,四边形ABCD是⊙O的

内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点
E,且CB=CE.

(1)证明:∠D=∠E; 证明 由题设知,A,B,C,D四点共圆,
所以∠D=∠CBE,

由已知CB=CE得∠CBE=∠E,
故∠D=∠E.

1

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5

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(2)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:

△ADE为等边三角形.
证明 如图,设BC的中点为N,连结MN,

则由MB=MC知MN⊥BC,
故O在直线MN上.

又AD不是⊙O的直径,M为AD的中点,

1

2

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5

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故OM⊥AD,即MN⊥AD.
所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.

又∠CBE=∠E,故∠A=∠E,
由(1)知,∠D=∠E,

所以△ADE为等边三角形.

1

2

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4

1.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M 是BC的中点,CN⊥AM,垂足是N,求证:AB· BM=AM· BN. 证明 ∵CM2=MN· AM, 又∵M是BC的中点, ∴BM2=MN· AM,

1

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4

BM MN ∴AM=BM,

又∵∠BMN=∠AMB, ∴△AMB∽△BMN,
AB AM ∴BN=BM,

∴AB· BM=AM· BN.

1

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4

2.如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线, F为AB上任意一点,CF交AD于点E. 求证:AE· BF=2DE· AF. 证明 过点D作AB的平行线DM交AC于点M,

交FC于点N.
在△BCF中,D是BC的中点,DN∥BF,

1

2

3

4

1 ∴DN= BF. 2 ∵DN∥AF,
∴△AFE∽△DNE, AE DE ∴ = . AF DN 1 AE 2DE 又 DN= BF,∴ = , 2 AF BF 即AE· BF=2DE· AF.

1

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3.(2013· 辽宁)如图,AB为⊙O的直径,直线CD与
⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C, EF垂直AB于F,连结AE,BE.证明: (1)∠FEB=∠CEB; 证明 由直线CD与⊙O相切,得∠CEB=∠EAB. 由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB,

π 从而∠EAB+∠EBF= ; 2

1

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4

π 又 EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF= , 2

从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB.

1

2

3

4

(2)EF2=AD· BC. 证明 由BC⊥CE,EF⊥AB, ∠FEB=∠CEB,BE是公共边, 得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.

同理可证,得AD=AF.又在Rt△AEB中,EF⊥AB,
故EF2=AF· BF,所以EF2=AD· BC.

1

2

3

4

4.(2014· 辽宁)如图,EP交圆于E,C两点,

PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连
结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,

垂足为F.
(1)求证:AB为圆的直径;

证明 因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.
由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA.

1

2

3

4

又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,
所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,

从而∠BDA=∠PFA.
由于 AF⊥EP ,所以 ∠PFA = 90°,于是 ∠BDA = 90°, 故AB是直径.

1

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4

(2)若AC=BD,求证:AB=ED. 证明 连结BC,DC. 因为AC=BD,
所以 AC=BD,
(

所以∠ABC=∠BAD, 又因为∠DCB=∠DAB ,

(

1

2

3

4

所以∠ABC=∠DCB, 所以DC∥AB.

又因为AB⊥EP,所以DC⊥EP,即∠DCE为直角.
于是ED为直径.由(1)得AB也是直径.

所以AB=ED.


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