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辽宁省沈阳市2015届高三四校联考数学模拟试卷(理科) Word版含解析 (1)


2015 年辽宁高考数学模拟试卷(理科)
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 1.(5 分)(2015?沈阳模拟)已知全集 U=R,A={x||x|<2},B={x|x ﹣4x+3>0},则 A∩(?UB) 等于( ) A. {x|1≤x<3} B. {x|﹣2≤x<1} C. {x|1≤x<2} D. {x|﹣2<x≤3} 【考点】: 交、并、补集的混合运算. 【专题】: 集合. 【分析】: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,求出 A 与 B 补集的交集即可. 【解析】: 解:由 A 中不等式解得:﹣2<x<2,即 A={x|﹣2<x<2}, 由 B 中不等式变形得:(x﹣1)(x﹣3)>0, 解得:x<1 或 x>3,即 B={x|x<1 或 x>3}, ∴?UB={x|1≤x≤3}, 则 A∩(?UB)={x|1≤x<2}, 故选:C. 【点评】: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
2

2.(5 分)(2015?沈阳模拟)设 a,b 为实数,则“a>b>0 是 < ”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【考点】: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】: 推理和证明. 【分析】: 根据:若 < 则 ﹣ = 断. 【解析】: 解:若 a>b>0,则 ﹣ = 若 < 则 ﹣ = <0,即 < 出成立.



<0,a>b>0 或 0>a>b;由充分必要条件的定义可判

<0,a>b>0 或 0>a>b

所以“a>b>0 是 < ”的充分不必要条件. 故选:A 【点评】: 本题简单的考查了作差分解因式,判断大小;充分必要条件的判断方法. 3.(5 分)(2015?沈阳模拟)函数 f(x)=lnx+x ﹣9 的零点所在的区间为( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【考点】: 函数零点的判定定理;二分法求方程的近似解. 【专题】: 函数的性质及应用.
3



-1-

【分析】: 根据函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(2)<0,f(3)>0,可得函数 f(x) 在区间(2,3)上有唯一的零点. 【解析】: 解:由于函数 f(x)=lnx+x ﹣9 在(0,+∞)上是增函数, f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3>0,故函数 f(x)=lnx+x ﹣9 在区间(2,3)上有唯一的零点, 故选:C. 【点评】: 本题主要考查函数的单调性,函数零点的判定定理,属于基础题.
3 3

4.(5 分)(2009?辽宁)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

=3,则

=(



A. 2 B .

C.

D. 3

【考点】: 等比数列的前 n 项和. 【分析】: 首先由等比数列前 n 项和公式列方程,并解得 q ,然后再次利用等比数列前 n 项和公 式则求得答案.
3

【解析】: 解:设公比为 q,则

=

=

=1+q =3,

3

所以 q =2, 所以 = = = .

3

故选 B. 【点评】: 本题考查等比数列前 n 项和公式. 5.(5 分)(2012?山东)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当﹣3≤x<﹣1 时,f (x)=﹣(x+2) ,当﹣1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=( A. 335 B. 338 C. 1678 D. 2012 【考点】: 函数的周期性;函数的值. 【专题】: 函数的性质及应用. 【分析】: 由 f(x+6)=f(x)可知,f(x)是以 6 为周期的函数,可根据题目信息分别求得 f(1), f(2),f(3),f(4),f(5),f(6)的值,再利用周期性即可得答案. 【解析】: 解:∵f(x+6)=f(x), ∴f(x)是以 6 为周期的函数, 又当﹣1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)+f(2)=1+2=3,f(﹣1)=﹣1=f(5),f(0)=0=f(6); 当﹣3≤x<﹣1 时,f(x)=﹣(x+2) , ∴f(3)=f(﹣3)=﹣(﹣3+2) =﹣1, f(4)=f(﹣2)=﹣(﹣2+2) =0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+2﹣1+0+(﹣1)+0=1,
2 2 2 2



-2-

∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012) =[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)]+f(2011)+f(2012) =335× 1+f(1)+f(2) =338. 故选:B. 【点评】: 本题考查函数的周期,由题意,求得 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=是关键,考查 转化与运算能力,属于中档题.

6. (5 分) (2015?沈阳模拟)已知函数 f(x)= ∞,+∞)上是增函数,则常数 a 的取值范围是( )

在区间(﹣

A. (1,2) B. (﹣∞,1]∪[2,+∞) C. [1,2] D. (﹣∞,1)∪(2,+∞) 【考点】: 函数单调性的性质. 【专题】: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】: 由分段函数的单调性,考虑各段的情况,注意在 R 上递增,则有 0 ≥0 +a ﹣3a+2,解 得即可. 【解析】: 解:由于 f(x)= 且 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是增函数, 则当 x≥0 时,y=x 显然递增; 当 x<0 时,y=x +a ﹣3a+2 的导数为 y′=3x ≥0,则递增; 由 f(x)在 R 上单调递增, 则 0 ≥0 +a ﹣3a+2,即为 a ﹣3a+2≤0, 解得,1≤a≤2. 故选 C. 【点评】: 本题考查函数的单调性的运用,考查不等式的解法,属于基础题和易错题.
2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2



7.(5 分)(2015?沈阳模拟)已知函数 的解集为( )

,则不等式 f(x﹣2)+f(x ﹣4)<0

2

A. (﹣1,6) B. (﹣6,1) C. (﹣2,3) D. (﹣3,2) 【考点】: 其他不等式的解法. 【专题】: 不等式的解法及应用. 【分析】: 本题要先判出 f(x)为奇函数和增函数,进而把抽象不等式转化为关于 x 的一元二次 不等式. 【解析】: 解:由题意可知 f(x)的定义域为 R. ∵

-3-

∴f(﹣x)+f(x)=

=

=0,即 f(﹣x)=﹣f(x),∴f(x)为奇函数.

又 f(x)=

=
2

,由复合函数的单调性可得 f(x)为增函数,
2

∴f(x﹣2)+f(x ﹣4)<0 可化为 f(x﹣2)<﹣f(x ﹣4) 即 f(x﹣2)<f(4﹣x ),可得 x﹣2<4﹣x 故选 D
2 2,

即 x +x﹣6<0,解得﹣3<x<2,

2

【点评】: 本题为函数的性质与不等式解法的结合,属中档题.

8.(5 分)(2015?沈阳模拟)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< 若其图象向右平移 A. 关于点( C. 关于点(

)的最小正周期是 π, )

个单位后得到的函数为奇函数,则函数 y=f(x)的图象( ,0)对称 B. 关于直线 x= ,0)对称 D. 关于直线 x= 对称 对称

【考点】: 正弦函数的图象. 【专题】: 三角函数的图像与性质. 【分析】: 由周期求出 ω=2,故函数 f(x)=sin(2x+φ),再根据图象向右平移 的函数 y=sin(2x﹣ 性. 【解析】: 解:由题意可得 =π,解得 ω=2,故函数 f(x)=sin(2x+φ),其图象向右平移 +φ]是奇函数,可得 φ=﹣ 个单位后得到

,从而得到函数的解析式,从而求得它的对称

个单位后得到的图象对应的函数为 y=sin[2(x﹣ )+φ]=sin(2x﹣ +φ]是奇函数,又|φ|< ,故 φ=﹣ , )

故函数 f(x)=sin(2x﹣ 关于直线 x= 故选:D. 对称,

),故当 x=

时,函数 f(x)=sin

=1,故函数 f(x)=sin(2x﹣

【点评】: 本题主要考查诱导公式的应用,利用了 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的 对称性,属于中档题.

-4-

9.(5 分)(2015?沈阳模拟)已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线斜率 为 3,数列 A. B. 的前 n 项和为 Sn,则 S2014 的值为( C. D. )

2

【考点】: 利用导数研究曲线上某点切线方程;数列的求和. 【专题】: 计算题;导数的概念及应用. 【分析】: 可得 f′(1)=2+b=3,解得 b=1,进而可得 f(x),然后由裂项相消法求和可得. 【解析】: 解:函数的导数 f′(x)=2x+b, ∵点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3, ∴f′(1)=2+b=3,解得 b=1. ∴f(x)=x +x=x(x+1), ∴ = = , )+( )+…+( )
2

∴S2014=(1﹣ )+( =1﹣ 故选 C =

【点评】: 本题考查数列的求和,涉及导数和曲线某点切线的斜率以及裂项相消法求和,属中档 题.

10.(5 分)(2015?沈阳模拟)下列四个图中,函数 y=

的图象可能是(



A.

B.

C.

D. 【考点】: 函数的图象. 【专题】: 函数的性质及应用. 【分析】: 根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项. 【解析】: 解:当 x>0 时,y>0,排除 A、B 两项; 当﹣2<x<﹣1 时,y>0,排除 D 项. 故选:C. 【点评】: 本题考查函数的性质与识图能力,属中档题,一般根据四个选择项来判断对应的函数 性质,即可排除三个不符的选项.

-5-

11.(5 分)(2015?日照一模)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f′(x),当 x≠0 时, f′(x)+ 系正确的是( >0,若 a= f( ),b=﹣2f(﹣2),c=(ln )f(ln ),则 a,b,c 的大小关 )

A. a<c<b B. b<c<a C. a<b<c D. c<a<b 【考点】: 导数的运算;利用导数研究函数的单调性. 【专题】: 导数的概念及应用. 【分析】: 利用条件构造函数 h(x)=xf(x),然后利用导数研究函数 h(x)的单调性,利用函 数的单调性比较大小. 【解析】: 解:设 h(x)=xf(x), ∴h′(x)=f(x)+x?f′(x), ∵y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数, ∴h(x)是定义在实数集 R 上的偶函数, 当 x>0 时,h'(x)=f(x)+x?f′(x)>0, ∴此时函数 h(x)单调递增. ∵a= f( )=h( ),b=﹣2f(﹣2)=2f(2)=h(2),c=(ln )f(ln )=h(ln )=h(﹣ln2) =h(ln2), 又 2>ln2> , ∴b>c>a. 故选:A. 【点评】: 本题主要考查如何构造新的函数,利用单调性比较大小,是常见的题目.本题属于中 档题. 12.(5 分)(2015?沈阳模拟)定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对?x∈R,有 f(x+2)=f(x)+f (1),且当 x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x +12x﹣18,若函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上 至少有三个零点,则 a 的取值范围是( ) A. (0, ) B. (0, ) C. (0, ) D. ( 0 , )
2

【考点】: 函数零点的判定定理. 【专题】: 函数的性质及应用. 【分析】: 由题意可得函数 f(x)的周期为 2,当 x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x +12x﹣18,令 g(x) =loga(x+1),则 f(x)的图象和 g(x)的图象至少有 3 个交点,画出图形,数形结合,根据 g (2)>f(2),求得 a 的取值范围. 【解析】: 解:∵f(x+2)=f(x)﹣f(1), 且 f(x)是定义域为 R 的偶函数, 令 x=﹣1 可得 f(﹣1+2)=f(﹣1)﹣f(1), 又 f(﹣1)=f(1), 可得 f(1)=0 则有,f(x+2)=f(x), ∴f(x)是周期为 2 的偶函数.
2

-6-

当 x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x +12x﹣18=﹣2(x﹣3) , 函数 f(x)的图象为开口向下、顶点为(3,0)的抛物线. ∵函数 y=f(x)﹣loga(x+1)在(0,+∞)上 至少有三个零点, 令 g(x)=loga(x+1),则 f(x)的图象和 g(x)的图象至少有 3 个交点. 作出函数的图象,如图所示, ∵f(x)≤0,∴g(x)≤0,可得 0<a<1. 要使函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点, 则有 g(2)>f(2),即 loga(2+1)>f(2)=﹣2, ∴loga3>﹣2,∴3< ,解得﹣ <a< .

2

2

又 a>0,∴0<a< 故选:B.



【点评】: 本题主要考查函数周期性及其应用,解题的过程中用到了数形结合的方法,这也是高 考常考的热点问题,属于中档题. 二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分)

13.(5 分)(2015?沈阳模拟)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a

>0,b>0)的最大值为 6,则

的最小值为



【考点】: 简单线性规划;基本不等式. 【专题】: 不等式的解法及应用. 【分析】: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,确定 z 取最大值点的最优 解,利用基本不等式的性质,利用数形结合即可得到结论. 【解析】: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=ax+by(a>0,b>0)得 y= ,

-7-

则直线的斜率 k= 平移直 y= 直线 y=

<0,截距最大时,z 也最大. ,由图象可知当直线 y= 的截距最大,此时 z 最大, 经过点 A 时,

由 即 A(4,6), 此时 z=4a+6b=6, 即 ∴ =( ,

,解得



)( ,即 a=

)= 时取等号,此时 b= ,a=3﹣

, 时取等号..

当且仅当 故答案为:

【点评】: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义先求出最优解是解决本题的关键, 利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点. 14.(5 分)(2008?江苏)f(x)=ax ﹣3x+1 对于 x∈[﹣1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a= 【考点】: 利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】: 计算题;压轴题. 【分析】: 这类不等式在某个区间上恒成立的问题,可转化为求函数最值的问题,本题要分三类: ①x=0,②x>0,③x<0 等三种情形.当 x=0 时,不论 a 取何值,f(x)≥0 都成立;当 x>0 时有 a≥ ,可构造函数 g(x)= ,然后利用导数求 g(x)的最大值,只需要使 a≥g(x)
3

4



max,同理可得

x<0 时的 a 的范围,从而可得 a 的值. 【解析】: 解: ①若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 都成立;

-8-

②当 x>0,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax ﹣3x+1≥0 可化为:a≥

3

设 g(x)=

,则 g′(x)=



所以 g(x)在区间(0, ]上单调递增,在区间[ ,1]上单调递减, 因此 g(x)max=g( )=4,从而 a≥4; ③当 x<0,即 x∈[﹣1,0)时,f(x)=ax ﹣3x+1≥0 可化为:a≤ g(x)= 在区间[﹣1,0)上单调递增,
3



因此 g(x)min=g(﹣1)=4,从而 a≤4,综上 a=4. 答案为:4. 【点评】: 本题考查的是含参数不等式的恒成立问题,考查分类讨论,转化与化归的思想方法, 利用导数和函数的单调性求函数的最大值,最小值等知识与方法.在讨论时,容易漏掉 x=0 的情 形,因此分类讨论时要特别注意该问题的解答. 15.(5 分)(2015?沈阳模拟)在△AOB 中,G 为△AOB 的重心(三角形中三边上中线的交点叫 重心),且∠AOB=60° .若 ? =6,则| |的最小值是 2 .

【考点】: 平面向量数量积的运算. 【专题】: 计算题;不等式的解法及应用;平面向量及应用. 【分析】: 设 AB 的中点为 C,则点 G 在 OC 上,运用重心的性质和中点向量的表示,再由向量 的数量积的定义,结合基本不等式即可求得最小值. 【解析】: 解:设 AB 的中点为 C,则点 G 在 OC 上, 且 ∵ ∴| 则| = 当且仅当| |=| |?| = = ? =|| |?| = ( + ),

|?cos60°=6,

|=12. + |= ≥ |时,等号成立,故| = = |的最小值是 2, =2,

|= (|

故答案为:2. 【点评】: 本题主要考查三角形的重心的定义和性质,考查向量的数量积的定义和性质及模,基 本不等式的应用,属于中档题.

-9-

16.(5 分)(2015?沈阳模拟)对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0),定义:设 f″(x)是 函数 y=f(x)的导数 y=f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为 函数 y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称 中心;且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现,函数 f(x)=x ﹣3x +3x+1 对称中心为 (1, 2) . 【考点】: 导数的运算. 【专题】: 导数的概念及应用. 【分析】: 根据函数 f(x)的解析式求出 f′(x)和 f″(x),令 f″(x)=0,求得 x 的值,由此求 得函数 f(x)=x ﹣3x +3x+1 对称中心. 【解析】: 解:(1)∵函数 f(x)=x ﹣3x +3x+1,∴f′(x)=3x ﹣6x+3,∴f″(x)=6x﹣6. 令 f″(x)=6x﹣6=0,解得 x=1,且 f(1)=2,故函数 f(x)=x ﹣3x +3x 对称中心为(1,2), 故答案为 (1,2). 【点评】: 本题主要考查函数与导数等知识,考查化归与转化的数学思想方法,考查化简计算能 力,函数的对称性的应用,属于基础题. 三.解答题:(解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10 分)(2015?沈阳模拟)已知函数 f(x)=3cos x+2sinxcosx+sin x. (1)求 f(x)的最大值,并求出此时 x 的值; (2)写出 f(x)的单调区间. 【考点】: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】: 三角函数的图像与性质. 【分析】: (1)化简可得 f(x)= (2)由 的单调递增和单调递减区间. 【解析】: 解:(1)化简可得 =sin2x+cos2x+2= ∴f(x)的最大值为 解得 (2)由 ∴f(x)单调增区间为: 由 ∴f(x)单调减区间为: 可解得 ,此时 2x+ ; 可解得 ; ; =2kπ+ , 和 ,可得 f(x)的最大值和此时 x 的值; 分别可解得函数
2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2

3

2

- 10 -

【点评】: 本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的最值和单调性,属基础题.
2

18.(12 分)(2015?沈阳模拟)已知 f(x)= 的最小正周期为 T=π. (1)求 f( )的值;

sin(π+ωx)sin(

﹣ωx)﹣cos ωx(ω>0)

(2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若有(2a﹣c)cosB=bcosC,则求角 B 的大小以及 f(A)的取值范围. 【考点】: 三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 【专题】: 三角函数的求值. 【分析】: (1)先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式,然后利用周期公式 T=π, 求 ω 的值,进而写出函数 f(x)的解析式;求出 f( )的值.

(2)利用正弦定理,求出 cosB 的值,继而求出 B 的大小,再根据 A 为三角形的内角求出 A 的范 围,继而求出 f(A)的范围. 【解析】: 解:(1)∵f(x)= = = sinωxcosωx﹣cos ωx, sin2ωx﹣ cos2ωx﹣ , )﹣
2 2

sin(π+ωx)sin(

﹣ωx)﹣cos ωx,

=sin(2ωx﹣

∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π. 即: =π,得 ω=1, )﹣ , ﹣ ) =sin ﹣ =﹣1,

∴f(x)=sin(2x﹣ ∴f( )=sin(2×

(2)∵(2a﹣c)cosB=bcosC, ∴由正弦定理可得:(2sinA﹣sinC)cosB=sinBsinC, ∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA, ∵sinA>0, ∴cosB= , ∵B∈(0,π), ∴B= , ,

∵A+C=π﹣B=

- 11 -

∴A∈(0, ∴2A﹣

), , ),

∈(﹣

∴sin(2A﹣

)∈(﹣ ,1], ) ∈(﹣1, ],

∴f(A)=sin(2A﹣

【点评】: 本题考查了三角变换及解三角形,第(1)问解决的关键是化成正弦型函数的标准形式; 第(2)的关键是把求角的范围转化成先求角的余弦值的范围. 19.(12 分)(2015?沈阳模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列 {bn}满足 b1+S4=0,b9=a1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Wn.

【考点】: 数列的求和;等差数列的性质. 【专题】: 计算题;等差数列与等比数列. 【分析】: (1)由 an 是 Sn 和 1 的等差中项,可得 Sn=2an﹣1,再写一式,可得数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,可求数列{an}的通项公式,求出等差数列{bn}的首项与公差,可得 {bn}的通项公式; (2)利用裂项求和,可得数列{cn}的前 n 项和 Wn. 【解析】: 解:(1)∵an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴Sn=2an﹣1, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣1)﹣(2an﹣1﹣1)=2an﹣2an﹣1,∴an=2an﹣1, 当 n=1 时,a1=1,(2 分) ∴数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, ∴an=2
n﹣1 n

(6 分)

∴Sn=2 ﹣1; 设{bn}的公差为 d,b1=﹣S4=﹣15,b9=a1=﹣15+8d=1, ∴d=2, ∴bn=2n﹣17;(8 分) (2)cn= = ( ﹣ ),

∴Wn= [(1﹣ )+( ﹣ )+…+(



)]= (1﹣

)=

(14 分)

【点评】: 本题考查数列的通项与求和,考查裂项法,考查学生分析解决问题的能力,难度中等. 20.(12 分)(2015?沈阳模拟)已知函数 f(x)=ax +bx 的图象经过点 M(1,4),曲线在点 M 处的切线恰好与直线 x+9y=0 垂直. (1)求实数 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求 m 的取值范围.
3 2

- 12 -

【考点】: 函数的单调性与导数的关系;导数的几何意义. 【专题】: 计算题. 【分析】: (1)将 M 的坐标代入 f(x)的解析式,得到关于 a,b 的一个等式;求出导函数,求 出 f′(1)即切线的斜率,利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1,列出关于 a,b 的另一个等式,解 方程组,求出 a,b 的值. (2)求出 f′(x),令 f′(x)>0,求出函数的单调递增区间,据题意知[m,m+1]?(﹣∝,﹣2] ∪[0,+∝),列出端点的大小,求出 m 的范围. 【解析】: 解:(1)∵f(x)=ax +bx 的图象经过点 M(1,4),∴a+b=4①式 …(1 分) f'(x)=3ax +2bx,则 f'(1)=3a+2b…(3 分) 由条件 由①②式解得 a=1,b=3 (2)f(x)=x +3x ,f'(x)=3x +6x, 令 f'(x)=3x +6x≥0 得 x≥0 或 x≤﹣2,…(8 分) ∵函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增 ∴[m,m+1]?(﹣∝,﹣2]∪[0,+∝) ∴m≥0 或 m+1≤﹣2 ∴m≥0 或 m≤﹣3 【点评】 : 注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率; 直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1. 21.(12 分)(2015?沈阳模拟)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2, a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=an+log an,Sn=b1+b2+…+bn,求 Sn.
2 3 2 2 2 3 2

②式…(5 分)

【考点】: 数列的求和;等比数列的性质. 【专题】: 综合题;等差数列与等比数列. 【分析】: (I)根据 a3+2 是 a2,a4 的等差中项和 a2+a3+a4=28,求出 a3、a2+a4 的值,进而得出 首项和 a1,即可求得通项公式; (II)先求出数列{bn}的通项公式,然后分组求和,即可得出结论. 【解析】: 解:(I)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q ∵a3+2 是 a2,a4 的等差中项 ∴2(a3+2)=a2+a4 代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8 ∴a2+a4=20

解得



∵数列{an}单调递增 ∴an=2
n

(II)∵an=2 ,

n

- 13 -

∴bn=an+log

an=an﹣n,

∴Sn=



=2

n+1

﹣2 ﹣



【点评】: 本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前 n 项和,考查学生的计算能力,属于中 档题. 22.(12 分)(2015?沈阳模拟)已知函数 f(x)=ln(x+a)﹣x +x,g(x)=x?e ﹣x ﹣1(x>0), 且 f(x)点 x=1 处取得极值. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=﹣ x+b 在区间[1,3]上有解,求 b 的取值范围; (Ⅲ)证明:g(x)≥f(x). 【考点】: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】: 导数的综合应用. 【分析】: (Ⅰ)通过求导得 f'(1)=0,则得 a=0.经检验符合题意; (Ⅱ)由题意得: .令 ,进而求出 b 的取值范围; (Ⅲ)证明:令 F(x)=g(x)﹣f(x)=x?e ﹣lnx﹣x﹣1(x>0),则 = 证得 g(x)≥f(x). 【解析】: 解:(Ⅰ)∵f(x)=ln(x+a)﹣x +x, ∴ ∵函数 f(x)=ln(x+a)﹣x +x 在点 x=1 处取得极值, ∴f'(1)=0,即当 x=1 时 ∴ (Ⅱ)∵ ∴ 令 则 . , . ,
2 2 x 2 x 2

,从而有

,得到 F(x)≥F(c)=0,从而

,则得 a=0.经检验符合题意; ,∴ ,

∴当 x∈[1,3]时,h'(x),h(x)随 x 的变化情况表: x 1 (1,2) 2 (2,3) …(8 分)

- 14 -

3 h'(x) h(x) 计算得: ∴ 所以 b 的取值范围为 .
x

+0 ﹣ ↗ 极大值 ↘ , ,h(2)=ln2+3,

(Ⅲ)证明:令 F(x)=g(x)﹣f(x)=x?e ﹣lnx﹣x﹣1(x>0), 则
x

=
x



令 G(x)=x?e ﹣1,则∵G'(x)=(x+1)?e >0(x>0), ∴函数 G(x)在(0,+∞)递增,G(x)在(0,+∞)上的零点最多一个, 又∵G(0)=﹣1<0,G(1)=e﹣1>0, ∴存在唯一的 c∈(0,1)使得 G(c)=0, 且当 x∈(0,c)时,G(x)<0;当 x∈(c,+∞)时,G(x)>0. 即当 x∈(0,c)时,F'(x)<0;当 x∈(c,+∞)时,F'(x)>0. ∴F(x)在(0,c)递减,在(c,+∞)递增, 从而 F(x)≥F(c)=c?e ﹣lnc﹣c﹣1. 由 G(c)=0 得 c?e ﹣1=0 即 c?e =1,两边取对数得:lnc+c=0, ∴F(c)=0,∴F(x)≥F(c)=0, 从而证得 g(x)≥f(x). 【点评】: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,导数的应用,考查不等式的证明,是一 道综合题.
c c c

- 15 -


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