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数列难题放缩法的技巧(精华)


数列难题放缩法的技巧 一、基本方法 1.“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例 1. 设 a,b 为不相等的两正数,且 a3-b3=a2-b2,求证 1<a+b< 例 2. 已知 a、b、c 不全为零,求证:

4。 3

a2 ? ab ? b2 ? b2 ? bc ? c2 ? c2 ? ac ? a2 > 3 (a ? b ? c) 2
[变式训练]已知 an ? 2n ?1(n ? N * ). 求证:

a n 1 a1 a2 ? ? ? ? ... ? n (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1

2. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。 例 3. 已知 a、b、c 为三角形的三边,求证: 1< 3. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例 4. 已知 n∈N*,求 1 ?

a + b + c <2 。 b?c a?c a ?b

1 2

?

1 3

???

1 n

<2 n 。

例 5. 已知 n ? N 且 a n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ?? n(n ? 1) ,求证:
*

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2

对所有正整数 n 都成立。 4. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。 例 6. 已知函数 f ( x) ?

n 2x ?1 * ,证明:对于 n ? N 且 n ? 3 都有 f ( n) ? 。 x n ?1 2 ?1

例 7. 已知 f (x) ? 1 ? x 2 ,求证:当 a ? b 时 f(a) ? f(b) ? a ? b 。 5. 换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目
1

的。 例 8. 已知 a ? b ? c ,求证

1 1 1 ? ? ? 0。 a ?b b?c c?a

例 9. 已知 a,b,c 为△ABC 的三条边,且有 a 2 ? b 2 ? c 2 ,当 n ? N * 且 n ? 3 时,求证:

a n ? bn ? cn 。
6. 单调函数放缩 根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解。

例 10. 已知 a,b∈R,求证 7.放大或缩小“因式”;

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b



n 1 1 2 a ? a , 0 ? a ? , 例 4、已知数列 {an } 满足 n ?1 求证: ?(ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? . n 1 2 32 k ?1

8.固定一部分项,放缩另外的项; 例 6、求证:

1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 2 1 2 3 n 4

9.利用基本不等式放缩 例 7、已知 a n ? 5n ? 4 ,证明:不等式 5a mn ? a m a n ? 1 对任何正整数 m, n 都成立. 10.先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩 例 8、.已知 i,m、n 是正整数,且 1<i≤m<n.(1)证明:n A im <m A in ;(2)证明:(1+m)
i i n

>(1+n) 二、放缩法综合问题 (一) 、先求和后放缩 例 1.正数数列 ?an ? 的前 n 项的和 Sn ,满足 2 S n ? a n ? 1,试求: (1)数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

m

1 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Bn ,求证: B n ? 。 2 a n a n ?1

(二) 、先放缩再求和(或先求和再放缩) 例、函数 f(x)=
4x 1? 4
x

,求证:f(1)+f(2)+?+f(n)>n+

1 2
n ?1

1 ? (n ? N * ) . 2

1.放缩后成等差数列,再求和
2

2 例 2.已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? an ? 2Sn .

(1) 求证: Sn ?

an 2 ? an ?12 ; 4 ? S1 ? S2 ? ??? ? Sn ? Sn ?1 ? 1 2

(2) 求证:

Sn 2

2.放缩后成等比数列,再求和 例 3. (1)设 a,n∈N*,a≥2,证明: a 2n ? (?a) n ? (a ? 1) ? a n ;

1 (2)等比数列{an}中, a1 ? ? ,前 n 项的和为 An,且 A7,A9,A8 成等差数列.设 2

a 1 bn ? n ,数列{bn}前 n 项的和为 Bn,证明:Bn< . 3 1 ? an
3.放缩后为差比数列,再求和 例 4.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a n ?1 ? (1 ?

2

a n ?1 ? a n ? 3 ?

n ?1 2 n ?1
n

n )a n (n ? 1,2,3?) .求证: 2n

4.放缩后为裂项相消,再求和 例 5、已知 an=n ,求证:∑
k=1

k <3. a2 k

3


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