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2016成才之路·人教B版数学·选修2-2练习:第1章 1.3 第2课时 Word版含解析


第一章

1.3

第 2 课时

一、选择题 1.已知函数 f(x)在点 x0 处连续,下列命题中正确的是 导学号 05300234 ( A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 C.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 D.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 答案] C 解析] 由极大值的定义可知 C 正确. 2.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x) )

导学号 05300235 (

)

A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 答案] C 解析] f′(x)的图象有 4 个零点,且全为变号零点,所以 f(x)有 4 个极值点,且 f′(x)的 函数值由正变负为极大值点,由负变正为极小值点,故选 C. 1 3.函数 f(x)=x+ 的极值情况是 导学号 05300236 ( x A.当 x=1 时,极小值为 2,但无极大值 B.当 x=-1 时,极大值为-2,但无极小值 C.当 x=-1 时,极小值为-2;当 x=1 时,极大值为 2 D.当 x=-1 时,极大值为-2;当 x=1 时,极小值为 2 答案] D 1 解析] f′(x)=1- 2,令 f′(x)=0,得 x=± 1, x 函数 f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调增,在(-1,0)和(0,1)上单调减, )

∴当 x=-1 时,取极大值-2,当 x=1 时,取极小值 2.故选 D. 1 1 4.函数 y= x4- x3 的极值点的个数为 导学号 05300237 ( 4 3 A.0 C .2 答案] B 解析] y′=x3-x2=x2(x-1),由 y′=0 得 x1=0,x2=1. 当 x 变化时,y′、y 的变化情况如下表 x y′ y 故选 B. 5.函数 y=f(x)=x3-3x 的极大值为 m,极小值为 n,则 m+n 为 (-∞,0) - ? 0 0 无极值 (0,1) - ? 1 0 极小值 (1,+∞) + ? B .1 D.3 )

导学号 05300238 (
A.0 C .2 答案] A 解析] y′=3x2-3,令 y′=0,得 3(x+1)(x-1)=0, 解得 x1=-1,x2=1, 当 x<-1 时,y′>0;当-1<x<1 时,y′<0; 当 x>1 时,y′>0, ∴函数在 x=-1 处取得极大值,m=f(-1)=2; 函数在 x=1 处取得极小值,n=f(1)=-2. ∴m+n=2+(-2)=0. 6.(2016· 四川文,6)已知 a 为函数 f(x)=x3-12x 的极小值点,则 a= 导学号 05300239 ( ) A.-4 C .4 答案] D B.-2 D.2 B .1 D.4

)

解析] 由题意得 f′(x)=3x2-12,由 f′(x)=0 得 x=± 2,当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增, 当 x∈(-2,2)时, f′(x)<0, 函数 f(x)单调递减, 当 x∈(2, +∞)时, f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增,所以 a=2. 7.(2015· 青岛市胶州市高二期中)下列函数中 x=0 是极值点的函数是

导学号 05300240 (
A.f(x)=-x3 C.f(x)=sinx-x 答案] B 解析] A.y′=-3x2≤0 恒成立,所以函数在 R 上递减,无极值点. B.f(x)=-cosx 1 D.f(x)= x

)

B.y′=sinx,当-π<x<0 时函数单调递增;当 0<x<π 时函数单调递减且 y′|x=0=0,故 B 符合. C.y′=cosx-1≤0 恒成立,所以函数在 R 上递减,无极值点. 1 D.y= 在(-∞,0)与(0,+∞)上递减,无极值点. x x 8.函数 f(x)=- x(a<b<1),则 导学号 05300241 ( e A.f(a)=f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)>f(b) D.f(a),f(b)的大小关系不能确定 答案] C -x ?-x?′· ex-?-x?· ?ex?′ 解析] f ′(x)=( x )′= x 2 e ?e ? = x-1 . ex )

当 x<1 时,f ′(x)<0,∴f(x)为减函数, ∵a<b<1,∴f(a)>f(b). 9.函数 f(x)=x2-x+1 在区间-3,0]上的最值为 导学号 05300242 ( 3 A.最大值为 13,最小值为 4 B.最大值为 1,最小值为 4 C.最大值为 13,最小值为 1 D.最大值为-1,最小值为-7 答案] C 1 解析] 由 y′=2x-1=0,得 x= (舍去),f(-3)=13,f(0)=1,∴f(x)在-3,0]上的最大 2 值为 13,最小值为 1,故选 C. 二、填空题 10.(2015· 陕西文,15)函数 y=xex 在其极值点处的切线方程为________. )

导学号 05300243
1 答案] y=- e 1 解析] y=f(x)=xex?f′(x)=(1+x)ex,令 f′(x)=0?x=-1,此时 f(-1)=- , e 1 函数 y=xex 在其极值点处的切线方程为 y=- . e 11.函数 y=x-2 x在 0,4]上的最大值是__________,最小值是____________.

导学号 05300244
答案] 0 -1 解析] y′=1- 1 ,令 y′=0,得 x=1, x

f(0)=0,f(1)=-1,f(4)=0, ∴函数 y=x-2 x的最大值为 0,最小值为-1. 12.若函数 f(x)=x+asinx 在 R 上递增,则实数 a 的取值范围为________.

导学号 05300245
答案] -1,1] 解析] f ′(x)=1+acosx,由条件知 f ′(x)≥0 在 R 上恒成立,∴1+acosx≥0,a=0 时 显然成立;a>0 时, 1 1 1 ∵- ≤cosx 恒成立,∴- ≤-1,∴a≤1,∴0<a≤1;a<0 时,∵- ≥cosx 恒成立,∴ a a a 1 - ≥1,∴a≥-1,即-1≤a<0,综上知-1≤a≤1. a 三、解答题 13.求下列函数的极值. 导学号 05300246 (1)y=x2-7x+6;(2)y=x3-27x. 解析] (1)y′=(x2-7x+6)′=2x-7. 7 令 y′=0,解得 x= . 2 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表. x y′ y

?-∞,7? 2? ?
- ?

7 2 0 25 极小值- 4

?7,+∞? ?2 ?
+ ?

7 25 当 x= 时,y 有极小值,且 y 极小值=- . 2 4 (2)y′=(x3-27x)′=3x2-27=3(x+3)(x-3).

令 y′=0,解得 x1=-3,x2=3. 当 x 变化时,y′,y 的变化情况如下表: x y′ y (-∞,-3) + ? -3 0 极大值 54 (-3,3) - ? 3 0 极小值-54 (3,+∞) + ?

∴当 x=-3 时,y 有极大值,且 y 极大值=54.当 x=3 时,y 有极小值,且 y 极小值=-54.

一、选择题 1.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内极值点有 导学号 05300247 ( )

A.1 个 C .3 个 答案] C

B .2 个 D.4 个

解析] 由 f′(x)的图象可知,函数 f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减, 故函数 f(x)在区间(a,b)内有三个极值点.故选 C. 2.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为

导学号 05300248 (
A.-1<a<2 C.a<-1 或 a>2 答案] D 解析] B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6

)

f′(x)=3x2+2ax+a+6.因为 f(x)既有极大值又有极小值,所以 Δ>0,即 4a2-

4×3×(a+6)>0,即 a2-3a-18>0,解得 a>6 或 a<-3.故选 D. 1 3.函数 y=ax3+bx2 取得极大值或极小值时的 x 的值分别为 0 和 ,则 3

导学号 05300249 (
A.a-2b=0 C.2a+b=0 答案] D B.2a-b=0 D.a+2b=0

)

1 解析] y′=3ax2+2bx,由题设知 0 和 是方程 3ax2+2bx=0 的两根,∴a+2b=0.故选 3 D. 4.已知函数 f(x)=ex(sinx-cosx),x∈(0,2015π),则函数 f(x)的极大值之和为

导学号 05300250 (
e2π?1-e2014π? A. e2π-1 eπ?1-e1007π? C. 1-e2π 答案] B eπ?1-e2014π? B. 1-e2π eπ?1-e1007π? D. 1-eπ

)

解析] f ′(x)=2exsinx,令 f ′(x)=0 得 sinx=0,∴x=kπ,k∈Z,当 2kπ<x<2kπ+π 时, f ′(x)>0,f(x)单调递增,当(2k-1)π<x<2kπ 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减, ∴当 x=(2k+1)π 时, f(x)取到极大值, ∵x∈(0,2015π), ∴0<(2k+1)π<2015π, ∴0≤k<1007, k∈Z. ∴ f(x) 的极大值之和为 S = f(π) + f(3π) + f(5π) + … + f(2013π) = eπ + e3π + e5π + … + e2013π = eπ[1-?e2π?1007] eπ?1-e2014π? = ,故选 B. 1-e2π 1-e2π 二、填空题 5.若函数 y=2x3-3x2+a 的极大值是 6,则 a=________. 导学号 05300251 答案] 6 解析] y′=6x2-6x=6x(x-1),易知函数 f(x)在 x=0 处取得极大值 6,即 f(0)=6,∴a =6. π π? 6.函数 f(x)=sinx+cosx ,x∈? ?-2,2?的最大、最小值分别是________.

导学号 05300252
答案] 2,-1

解析] f′(x)=cosx-sinx=0, π π π - , ?,∴x= , ∴tanx=1,∵x∈? ? 2 2? 4 π π 当- <x< 时,f′(x)>0, 2 4 π π <x< 时,f′(x)<0, 4 2 π ∴x= 是函数 f(x)的极大值点. 4 π? ?π? ?π? ∵f? ?-2?=-1,f?2?=1,f?4?= 2. ∴f(x)的最大值为 2,最小值为-1.

7.已知 f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是________.

导学号 05300253
答案] (0,1) 解析] ∵f′(x)=3x2-3b=3(x2-b). 因为函数 f(x)在(0,1)内有极小值, 故方程 3(x2-b)=0 在(0,1)内有解,所以 0< b<1,即 0<b<1. 三、解答题 8.已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+ 4. 导学号 05300254 (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 解析] (1)f ′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f ′(0)=4,故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, 1 f ′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex- ). 2 令 f ′(x)=0 得,x=-ln2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f ′(x)>0;当 x∈(-2,-ln2)时,f ′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e 2).


9.(2016· 北京理,18)设函数 f(x)=xea x+bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y


=(e-1)x+4. 导学号 05300255 (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间. 解析] (Ⅰ)因为 f(x)=xea x+bx,所以 f′(x)=(1-x)ea x+b.
- -

a 2 ? ? ?f?2?=2e+2, ?2e +2b=2e+2, 依题设,? 即? a-2 ?f′?2?=e-1, ? ? ?-e +b=e-1,


解得 a=2,b=e. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=xe2 x+ex.


由 f′(x)=e2 x(1-x+ex 1)及 e2 x>0 知,f′(x)与 1-x+ex
- - -

-1

同号.

令 g(x)=1-x+e

x-1

,则 g′(x)=-1+e

x-1

.

所以当 x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.

故 g(1)=1 是 g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值, 从而 g(x)>0,x∈(-∞,+∞). 综上可知,f′(x)>0,x∈(-∞,+∞). 故 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).


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