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A题原创 2


承 诺 书

我们仔细阅读了兰州交通大学数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮 件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料(包括网上查到的资料) ,必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们的参赛队名为: 队员: 1. 2. 3. 黄陂公安 黄康 丁文亮 鹿金炜

日期:2014 年 5 月 21 日

1

国债与 GDP 关系模型

摘要
本文在基于国债随着 GDP 成比例增长的前提上, 利用 GDP 和国债间的微分方 程建立了 GDP 和国债关系模型

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一.问题重述
国内生产总值(GDP)是指在一定时期内(通常为一年) ,一个国家或地区 的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值, 常被公认为衡量国家经济状况 的最佳指标. 它不但可反映一个国家的经济表现,还可以反映一国的国力与财富. 假设 GDP 以每年 7% 速度增长,而国债随着 GDP 成比例增长. (1) 请你建立一个描述 GDP 和国债的数学模型. (2) 假设在第 0 年时的 GDP 为 M0,国债为 N0,求解 (1)中的数学模型. (3) 国债是否最终会超过 GDP?考虑国债与 GDP 之比. (4) 自己查阅相关资料,利用你的数学模型就某一国家 GDP 与国债的关系加以 分析.

二、问题分析
该问题属于经济学领域的问题, 其实质是变量直接关系的数学问题,了解变量之 间关系并表示出其微分方程是建模的基础 国内生产总值(GDP)是指在一定时期内(通常为一年) ,一个国家或地区的经 济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值, 常被公认为衡量国家经济状况的最 佳指标 国债,又称国家公债,是国家以其信用为基础,按照债的一般原则,通过向社会 筹集资金所形成的债权债务关系。国债是由国家发行的债券,是中央政府为筹集 财政资金而发行的一种政府债券,是中央政府向投资者出具的、承诺在一定时期 支付利息和到期偿还本金的债权债务凭证,由于国债的发行主体是国家,所以它 具有最高的信用度,被公认为是最安全的投资工具。 针对问题一, 由国债随着 GDP 成比例增长.国债随着 GDP 成比例增长.建立微 分方程, 用未知变量把 GDP 表示为国债的函数。 针对问题二,将 (M 0 , N0 ) 这组特解代入函数,求出未知变量,使 GDP 和国债的 数学具体化。 针对问题三,运用纯数学计算,求解国债与 GDP 之比的表达式。并加以分析国 债是否最终会超过 GDP 针对问题四,首先从网上查找到中国的 GDP 与国债年表,运用年表数据进行统 计分析及曲线拟合与回归分析

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三、基本假设
1.GDP 以每年 7% 速度增长,不会出现金融风暴等影响因素 2.GDP 和国债之间无其他干扰的变量因子,

四、符号说明
变量 含义

?i
Mi / X

第 i 年国债随着 GDP 增长的比例

第 i 年国内生产总值(GDP)数额

Ni / Y
C1
C2
M0

第 i 年国债数额

自然常数 自然常数 第 0 年时的 GDP 数额 第 0 年时的国债数额 第 i 年国内生产总值(GDP)增长率

N0

?i
Xc

1985 至 2007 年国内生产总值(GDP)平均值 1985 至 2007 年国债平均值

Yc

五.模型的建立与求解
4

回答问题一;国债随着 GDP 成比例增长.由此得出 GDP 和国债的微分方程表达 式: dN ? ?i M i dt 且有 GDP 以每年 7% 速度增长,则有: dM ? ?i dt 假设中有 ? ? 7% 综合微分方程可以得出 GDP 和国债之间的关系函数关系为:

Ni ? ?i?it 2 ? C1
M i ? ?it ? C2
Ni ?

?i 2 ( M i ? C1M i ) ? C2 ?i

回答问题二; (M 0 , N0 ) 代入得出 C1 和 C2 的具体值,求解模型关系函数:
Ni ?

?i 2 (M i ? M i M 0 ) ? N0 ?i

回答问题三;采用比值法判断是否最终会超过 GDP: N Bizhi ? M

Bizhi ?

?i?i t 2 ? N 0 ?i t ? M 0

对于时间足够长,及 t ? ? 时有下列极限

lim

?i?it 2 ? N0 2? ? t ? lim i i ? ? ? 1 t ?? ? t ? M t ?? ?i i 0

结论:说明国债是可能超过 GDP 的,同时现实也应证了理论的正确性:例如穆迪 预测 2013 年美国国债达到 GDP 的 101% 美国东部时间 6 月 8 日(北京时间 6 月 9 日)消息,三大评估机构穆迪的主权 通讯战略家爱德华-巴克(Eduardo Barker)在接受采访时,提供了穆迪评估美国 13 万亿国债的专业研究报告。穆迪预测美国国债截止年底将达到 GDP 的 92.6%, 2011 年达到 97.4%,而 2013 年将高达 101%。 穆迪在研究报告中表示,2010 年财政年度的赤字带给美国联邦政府非常高的债 务比例,相当与国内生产总值(GDP)的 64%。由于今年收入的下降,债务和收入 比例达到 2 倍于 2007 年财政年度的水平。以政府总水平(包括中央和地方政府)
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进行评估, 债务占国内生产总值 GDP 的比例在本年度结束前达到的 92%, 到 2011 年达到 97.4%,到 2013 年将达到 101%,这是一个可逆转地带的底部。由于目前 市场正处于经济恢复期,“政府的负担能力已经变得越来越容易受到市场信心的 任何改变,也许会导致比这些预测假设利率更高的利率”,而这无疑将加重了美 国政府财政的潜在压力。 今年 2 月,美国财政部公布了 2011 财政年度预算,估计在本财政年度的联邦预 算赤字将上升到 10.6%左右, 这已经达到自 1946 年以来的美国赤字的最高水平。 5 月 26 日,“美国债务时钟”网站数据显示,美国的国债已经突破 13 万亿美元。 马里兰州大学教授莫瑞西就此警告说,美国国债目前已达到国内生产毛额(GDP) 的 90%,若至 GDP 的 150%,将造成恶性通货膨胀的风险。 国债与 GDP 之比: Bizhi ?

?i?i t 2 ? N 0 ?i t ? M 0

,可以分析得出时间 t 和比例系数

? 是决定国债与 GDP 之比大小。也从侧面应证了经济波动引起 ? 变化,导致国 债的波动性变化,符合实际经济规律,验证模型具有相当的有效性。 回答问题四; 为迎合假设 GDP 以 7%的速度增长, 当今世界只有中国的研究最为 贴切 收集 1985 年-2007 年我国债发行额与国内生产总值数据

国债发行额与国内生产总值
年份 1985 1986 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2006 2007 合计 平均 国债发行 额 (Y) 89.85 138.25 669.68 739.22 1175.25 1549.76 1967.28 2476.82 3310.93 3715.03 4180.1 4604 5679 6153.53 6879.34 6922.87 8883.3 3478.48294 国内生产 总值 (X) 9016 10275.2 26923.5 35333.9 48197.9 60793.7 71176.06 78973 84402.3 89677.1 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 183867.9 210871 90259.48 y-yc (y-yc)2 x-xp (x-xp)2

308.1429 299.2463 73.13815 -240.016 -389.329 -587.958 -642.861 -488.101 98.96299 263.0468 294.1373 242.9646 832.1124 601.8052 233.0315 -815.024 -83.3004

94952.07128 89548.33489 5349.18872 57607.44092 151576.8988 345694.9697 413270.1759 238242.2528 9793.673462 69193.6005 86516.76581 59031.81569 692411.0908 362169.5145 54303.66738 664263.5614 6938.950666 3400863.973

-81243.5 -79984.3 -63336 -54925.6 -42061.6 -29465.8 -19083.4 -11286.5 -5857.18 -582.38 8955.12 19395.72 30073.22 45563.32 69618.82 93608.42 120611.5

6600503043 6397485047 4011446363 3016819338 1769176512 868232191 364176918.9 127384630.8 34306557.55 339166.4644 80194174.21 376193954.3 904398561.2 2076016129 4846780098 8762536295 14547138757 54783127736

6

假设 1985 年为第 0 年,

M0 ? 9 0 1 , 6 N0 ? 89.85 ,利用 Spss 软件进行分析

模型汇总和参数估计值 因变量:N 模型汇总 方程 线性 二次 自变量为 M。 R 方 .971 .971 F 500.286 236.629 df1 1 2 df2 15 14 Sig. .000 .000 常数 -628.543 -733.668 参数估计值 b1 .046 .048 -1.432E-8 b2

拟合方程为:二次: N ? ?733.668? M * 0.048? 1.432e M
7

?8

2

一次: N ? ?628 .543 ? 0.046 M
拟合程度都很高, 且二次曲线与关系函数展开变型形式相同, 所以一定程度上验证了模型的 可靠性

1.标准差检验 通常采用

S 来衡量标准差的相对大小, 运用 spss 计算结果显示: y =0.136886028 Yp yp

sy

(小于 15%),则认为预测方程比较好。

2.模型拟合优度检验 对于回归结果,我们无法衡量自变量 x 在多大程度上解释了因变量 y,所以我们 用判定系数公式来概括模型对数据的拟合程度。判定系数 r2 越接近于 1 就表示 模型对样本数据的拟合越好,通常要求 r2 达到 0.8 以上,模型才算比较好。 运用 spss 计算结果显示:r2=0.971,接近于 1,说明该模型对实际数据的拟合程度 非常好,只有 3%无法解释的。 3.显著性检验 显著性分析检验分为回归系数的显著检验(t 检验)和方程的显著性检验(F 检 验) 。回归系数的显著性检验用于考察单个自变量对因变量的影响是否显著,而 方程的显著性检验则用于考察整个模型关于因变量的影响是否显著。 对于简单的 回归预测模型来说,由于变量只有一个,所以 t 检验和 F 检验是等价的,实际操 作时只需要做以一种检验即可。 对以上建的回归模型参数 k 进行显著性检验:提 出 零 假 设 H0 : k=0 和 被 选 假 设 H1 : k ≠ 0 , 取 a=0.05,n=17.t=k*sqrt( ∑ (x-xc)2)/Sy=22.36706578;查 T 分布表:ta/2(n-2)= 2.10982。拒绝零假设,表明国 债发行额与国内生产总值有显著影响。 根据回归方程可以分析总结出中国 GDP 和国债之间的发展规律与趋势:随着我 国国内生产总值的增加,国债发行额也越来越多,从 1985 年到 2007 年,我国的 国债额从 89.95 亿元增长到了 8886.3 亿元,位居世界前列,当然这是由我国的国 内生产生产总值做前提和保障的。 国内生产总值也由 1985 年的 9016 亿元迅速增 长到 2007 年的 210871 亿元, 跃居世界第四。无论是国债的增加还是经济总量的 增长都是相当快的,且国债增长略快于经济总量的增长。这个略快是可控的,不 但没有给经济增长带来负面的影响,反倒促进了经济积极健康向上的发展。 六、模型的评价 优点:紧贴题目所给的要求运用数学与统计学以及经济学原理总结得出了 GDP 和国债的定量关系, 模型具有普遍意义,对于定性与定量分析都具有一定的指导 意义。 缺点:模型仅考虑了 GDP 和国债两者之间函数,忽略了其他因素在两者关系得 作用,只是简单的总结 GDP 和国债两者之间数值规律,缺少更加深入的分析

七、参考文献
[1] 姜启源,数学模型[M],北京:高等教育出版社,1999. [2]韩中庚, 数学建模竞赛----获奖论文精选与点评[M], 北京 科学出版社, 2007 [3] 吴孟达,成礼智.数学建模的理论与实践.国防科技大学出版社,1999. [4] Mark M.Meerschaert.数学建模方法与分析,刘来福等译,机械工业出版社,
8

2009. [5]朱海玲,绿色 GDP 应用研究,湖南人民出版社,2007 [6]叶永刚,国债期货,武汉大学出版社,2004

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