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高中数学必修5课后习题答案.(DOC)


人教版高中数学必修 5 课后习题解答
第一章 解三角形 1.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习(P4) 1、 (1) a ? 14 , b ? 19 , B ? 105? ; (2) a ? 18 cm, b ? 15 cm, C ? 75? . 2、 (1) A ? 65? , C ? 85? , c ? 22 ;或 A ? 115? , C ? 35? , c ? 13 ; (2) B ? 41? , A ? 24? , a ? 24 . 练习(P8) 1、 (1) A ? 39.6?, B ? 58.2?, c ? 4.2 cm ; (2) B ? 55.8?, C ? 81.9?, a ? 10.5 cm . 2、 (1) A ? 43.5?, B ? 100.3?, C ? 36.2? ; (2) A ? 24.7?, B ? 44.9?, C ? 110.4? . 习题 1.1 A 组(P10) 1、 (1) a ? 38cm, b ? 39cm, B ? 80? ; (2) a ? 38cm, b ? 56cm, C ? 90? 2、 (1) A ? 114?, B ? 43?, a ? 35cm; A ? 20?, B ? 137?, a ? 13cm (2) B ? 35?, C ? 85?, c ? 17cm ; (3) A ? 97?, B ? 58?, a ? 47cm; A ? 33?, B ? 122?, a ? 26cm ; 3、 (1) A ? 49?, B ? 24?, c ? 62cm ; (2) A ? 59?, C ? 55?, b ? 62cm ; (3) B ? 36?, C ? 38?, a ? 62cm ; 4、 (1) A ? 36?, B ? 40?, C ? 104? ; (2) A ? 48?, B ? 93?, C ? 39? ; B 习题 1.1 A 组(P10) 1、证明:如图 1,设 ?ABC 的外接圆的半径是 R , ①当 ?ABC 时直角三角形时, ?C ? 90? 时, a ?ABC 的外接圆的圆心 O 在 Rt ?ABC 的斜边 AB 上. O BC AC 在 Rt ?ABC 中, ? sin A , ? sin B AB AB a b 即 ? sin A , ? sin B 2R 2R b C 所以 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B A 又 c ? 2 R ? 2 R ? sin 90? ? 2 R sin C (第 1 题图 1) 所以 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ②当 ?ABC 时锐角三角形时,它的外接圆的圆心 O 在三角形内(图 2) , 作过 O、 B 的直径 A1 B ,连接 A1C ,
? 90? , ?BAC ? ?BAC 则 ?A1BC 直角三角形, ?ACB . 1 1
A A1

在 Rt ?A1BC 中, 即

BC ? sin ?BA1C , A1B

O

a ? sin ?BAC ? sin A , 1 2R 所以 a ? 2 R sin A , 同理: b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ③当 ?ABC 时钝角三角形时,不妨假设 ?A 为钝角, 它的外接圆的圆心 O 在 ?ABC 外(图 3)

B
(第 1 题图 2)

C

作过 O、 B 的直径 A1 B ,连接 A1C .
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A

则 ?A1BC 直角三角形,且 ?ACB ? 90? , ?BAC ? 180? ? ?BAC 1 1
B C

在 Rt ?A1BC 中, BC ? 2R sin ?BAC , 1 即 a ? 2 R sin(180? ? ?BAC ) 即 a ? 2 R sin A 同理: b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C 综上,对任意三角形 ?ABC ,如果它的外接圆半径等于 R , 则 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C 2、因为 a cos A ? b cos B , 所以 sin A cos A ? sin B cos B ,即 sin 2 A ? sin 2 B 因为 0 ? 2 A, 2 B ? 2? , 所以 2A ? 2B ,或 2 A ? ? ? 2 B ,或 2 A ? ? ? 2? ? 2 B .
O A1

(第 1 题图 3)

即 A? B 或 A? B ?

?
2

.

所以,三角形是等腰三角形,或是直角三角形. 在得到 sin 2 A ? sin 2 B 后,也可以化为 sin 2 A ? sin 2 B ? 0 所以 cos( A ? B)sin( A ? B) ? 0
A? B ?

?
2

,或 A ? B ? 0

即 A? B ?

?
2

,或 A ? B ,得到问题的结论.

1.2 应用举例 练习(P13) 1、在 ?ABS 中, AB ? 32.2 ? 0.5 ? 16.1 n mile, ?ABS ? 115? , 根据正弦定理, 得 AS ?
AS AB ? sin ?ABS sin(65? ? 20?) ? AB ? sin ?ABS ? 2 ? 16.1? sin115?? 2

sin(65? ? 20?)

∴ S 到直线 AB 的距离是 d ? AS ? sin 20? ? 16.1? sin115?? 2 ? sin 20? ? 7.06 (cm). ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长 1.89 m. 练习(P15) 1、在 ?ABP 中, ?ABP ? 180? ? ? ? ? ,
?BPA ? 180? ? (? ? ? ) ? ?ABP ? 180? ? (? ? ? ) ? (180? ? ? ? ? ) ? ? ? ?

在 ?ABP 中,根据正弦定理,

AP AB ? sin ?ABP sin ?APB AP a ? sin(180? ? ? ? ? ) sin(? ? ? ) a ? sin(? ? ? ) AP ? sin(? ? ? ) a sin ? sin(? ? ? ) 所以,山高为 h ? AP sin ? ? sin(? ? ? )
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2、在 ?ABC 中, AC ? 65.3 m, ?BAC ? ? ? ? ? 25?25? ? 17?38? ? 7?47?
?ABC ? 90? ? ? ? 90? ? 25?25? ? 64?35?

AC BC ? sin ?ABC sin ?BAC ? 7 47 A C? s i n ? BAC 65 ?. 3 ? sin m BC ? ? ?9 . 8 ? 35 sin ?ABC s i n? 6 4 井架的高约 9.8m. 200 ? sin38? sin 29? 3、山的高度为 ? 382 m sin9? 练习(P16) 1、约 63.77? . 练习(P18) 1、 (1)约 168.52 cm 2 ; (2)约 121.75 cm2 ; (3)约 425.39 cm 2 . 2、约 4476.40 m 2 a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c2 ? b2 ? c? 3、右边 ? b cos C ? c cos B ? b ? 2ab 2ac 2 2 2 2 2 2 2 a ? b ? c a? c? b2 a ? ? ? ? a 左边 ? 【类似可以证明另外两个等式】 2a 2a 2a 习题 1.2 A 组(P19) 1、在 ?ABC 中, BC ? 35 ? 0.5 ? 17.5 n mile, ?ABC ? 148? ? 126? ? 22?

根据正弦定理,

? 180? ? 110? ? 22? ? 48? ?A C B?7 8 ? ?( 1 8 0 ? ? 14? 8 ) ? , 1? 1 ? BAC 0

根据正弦定理,

AC BC ? sin ?ABC sin ?BAC B C? s i n ? ABC 17 ?. 5 s ? in 22 AC ? ? ? 8 . 8 2n mile sin ?BAC s i n? 4 8 货轮到达 C 点时与灯塔的距离是约 8.82 n mile.

2、70 n mile. 3、在 ?BCD 中, ?BCD ? 30? ? 10? ? 40? , ?BDC ? 180? ? ?ADB ? 180? ? 45? ? 10? ? 125? 1 CD ? 30 ? ? 10 n mile 3 CD BD 根据正弦定理, ? sin ?CBD sin ?BCD
10 BD ? sin ?(180? ? 40? ? 125?) sin 40?

1 0? s i n ?4 0 sin1 ?5 在 ?ABD 中, ?ADB ? 45? ? 10? ? 55? , ?BAD ? 180? ? 60? ? 10? ? 110? BD ?
?ABD ? 180? ? 110? ? 55? ? 15?

根据正弦定理,

AD BD AB AD BD AB ,即 ? ? ? ? sin ?ABD sin ?BAD sin ?ADB sin15? sin110 ? sin55 ? 1 0? s i n ?4 0 ?s i n 1 ?5 BD ? s i n 1 ?5 s i n 1 ? 1 0 s? in 40 ?5 AD ? ? ? ? 6 . 8 4n mile sin 1? 10 si? n110 ? sin 70

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BD ? s i n 5 ?5 ? 1 0 s ?? in 40 ? sin 55 n mile ? ?21.65 si n 1? 10 si ?? n 1 5 ?s i n 7 0 如果一切正常,此船从 C 开始到 B 所需要的时间为: A D? A B 6 . 8? 4 21.65 min 2 0? ? 6? 0 1 ?0 ?3 0 ? ?60 8 6.98 30 30 即约 1 小时 26 分 59 秒. 所以此船约在 11 时 27 分到达 B 岛. 4、约 5821.71 m 5、在 ?ABD 中, AB ? 700 km , ?ACB ? 180? ? 21? ? 35? ? 124? 700 AC BC 根据正弦定理, ? ? sin124? sin35? sin 21? 700 ? s i n? 3 5 700 ? sin 21? , BC ? AC ? sin 1? 24 sin124? 700 ? s i n ?3 5 7 ? 0 0 s?i n 2 1 A C? B C ? ? 7 ?8 6 . 8 9 k m si n 1? 24 si? n124 所以路程比原来远了约 86.89 km. 6、飞机离 A 处探照灯的距离是 4801.53 m,飞机离 B 处探照灯的距离是 4704.21 m,飞机的 高度是约 4574.23 m. 150 7、飞机在 150 秒内飞行的距离是 d ? 1000 ?1000 ? m 3600 d x ? 根据正弦定理, sin(81? ? 18.5?) sin18.5? 这里 x 是飞机看到山顶的俯角为 81 ? 时飞机与山顶的距离. d ? sin18.5? ? tan 81? ? 14721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是: x ? tan 81? ? sin(81? ? 18.5?) 山顶的海拔是 20250 ? 14721.64 ? 5528 m 8、在 ?ABT 中, ?ATB ? 21.4? ? 18.6? ? 2.8? , ?ABT ? 90? ? 18.6? , AB ? 15 m AB AT 15 ? cos18.6 ? 根据正弦定理, ,即 AT ? ? sin 2.8? cos18.6? sin 2.8? 15 ? cos18.6? 塔的高度为 AT ? sin 21.4? ? ? sin 21.4? ? 106.19 m sin 2.8? B 326 ?18 9、 AE ? ? 97.8 km E 60 A 在 ?ACD 中,根据余弦定理: AB ?
AC ? AD2 ? CD2 ? 2 ? AD ? CD ? cos66? ? 572 ? 1102 ? 2 ? 57 ?110 ? cos66? ? 101.235
D C (第 9 题)

根据正弦定理,

AD AC ? sin ?ACD sin ?ADC A D? s i n ? ADC 5 ?7 s i ? n 66 sin ?A C D ? ? ? 0.5144 AC 101.235
?A C D?3 0 . 9 ? 6 ?A C B?1 3 3? ? 3 0 . 9?6 ? 1 0 2 ? .04

在 ?ABC 中,根据余弦定理: AB ? AC 2 ? BC 2 ? 2 ? AC ? BC ? cos ?ACB
? 101.2352 ? 2042 ? 2 ?101.235? 204 ? cos102.04? ? 245.93
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2 2 2 AB ? AC ? B2 C 2 4 5 . 9? 3 101? .2 235 2204 ? ? 0.5847 2 ? AB ? AC 2? 2 4 5 . ?9 3 1 0 1 . 2 3 5 ?BAC ? 54.21?

co? s BAC ?

在 ?ACE 中,根据余弦定理: CE ? AC 2 ? AE 2 ? 2 ? AC ? AE ? cos ?EAC
? 101.2352 ? 97.82 ? 2 ?101.235 ? 97.8 ? 0.5487 ? 90.75
2 2 2 A E2 ? E C ? A2 C97.8 ? 9 0 .? 7 5 1 0 12 .235 ? ? 0.4254 2 ? AE ? EC 2? 9 7 ? .8 90.75 ?AEC ? 64.82? 18? 0? ?AEC ? ( 1?8 ?0 ? 7 ?5 ? )? 75 ?? 6 4 . 8? 2 10.18

co? s AEC ?

所以,飞机应该以南偏西 10.18? 的方向飞行,飞行距离约 90.75 km . 10、 A
B

C
(第 10 题)

如图,在 ?ABC 中,根据余弦定理:
AC ? BC 2 ? AB2 ? 2 ? AB ? BC ? cos39?54?

? (6400 ? 35800)2 ? 64002 ? 2 ? (6400 ? 35800) ? 6400 ? cos39?54?
? 422002 ? 64002 ? 2 ? 42200 ? 6400 ? cos39?54? ? 37515.44 km
2 2 2 AB ? AC ? B2 C6400 ? 37515 ?2 .44 42 2200 ? ? ?0 . 6 9 2 4 2 ? AB ? AC 2? 6 4 0 ?0 3 7 5 1 5 . 4 4 ?BAC ? 1 3 3 . ? 8, 2 ?BAC ? 9 0 ? ? 4 3 .?8 2 所以,仰角为 43.82?

?BAC ?

1 1 11、 (1) S ? ac sin B ? ? 28 ? 33 ? sin 45? ? 326.68 cm2 2 2 a c a 36 (2)根据正弦定理: ,c ? ? ? sin C ? ? sin 66.5? sin A sin C sin A sin32.8? 1 1 sin 66.5? S ? ac sin B ? ? 362 ? ? sin(32.8? ? 66.5?) ? 1082.58 cm2 2 2 sin32.8? (3)约为 1597.94 cm 2 A 1 2 2? 12、 nR sin . 2 n

13、根据余弦定理: cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 2ac

a a 2 所以 ma ? ( )2 ? c2 ? 2 ? ? c ? cos B 2 2
2 2 2

c ma a
2

b

a a ?c ?b ? ( )2 ? c 2 ? a ? c ? B 2 2ac 1 2 2 1 2 ? ( )2[a 2? 4c 2 ? 2(a ? c ?2b )] ? ( ) [2(b ? c 2 ) ? a2 ] 2 2

C

(第 13 题)

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1 1 1 2(b2 ? c2 ) ? a2 ,同理 mb ? 2(c2 ? a2 ) ? b2 , mc ? 2(a2 ? b2 ) ? c2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b ?c ?a c ? a ?b 14、根据余弦定理的推论, cos A ? , cos B ? 2bc 2ca

所以 ma ?

所以,左边 ? c(a cos B ? b cos A)
? c(a ?
2 c 2 ? a 2? b 2 b ? c ?2a 2 ?b? ) 2ca 2bc 2 c 2 ? a 2? b 2 b ? c ?2a 2 1 ? c( ? ) ? (2a 2 ? 2b 2 ) ? 右边 2c 2c 2

习题 1.2 B 组(P20)
a b a sin B ,所以 b ? ? sin A sin B sin A 1 1 a sin B 1 sin B sin C 代入三角形面积公式得 S ? ab sin C ? a ? ? sin C ? a2 2 2 sin A 2 sin A 2 2 2 a ?b ?c 2、 (1)根据余弦定理的推论: cos C ? 2ab

1、根据正弦定理:

由同角三角函数之间的关系, sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? (
1 代入 S ? ab sin C ,得 2
1 a 2 ? b 2? c S ? ab 1 ? ( 2 2ab
2 2

a 2 ? b2 ? c 2 2 ) 2ab

)

1 2 2 2 2 (2 a b 2) ? ( a ?b ?c ) 4 1 2 2 ? (2 a b? a ?b ?2 c) ( 2 a b ? 2 a ? 2 b? 2 ) c 4 1 ? (a ? b ? c ) ( a? b? ) c ( c? a? )b ( c ? a ? )b 4 1 1 1 1 记 p ? (a ? b ? c) ,则可得到 (b ? c ? a) ? p ? a , (c ? a ? b) ? p ? b , (a ? b ? c) ? p ? c 2 2 2 2 代入可证得公式 1 (2)三角形的面积 S 与三角形内切圆半径 r 之间有关系式 S ? ? 2 p ? r ? pr 2 ?
S ( p ? a)( p ? b)( p ? c) 1 其中 p ? (a ? b ? c) ,所以 r ? ? p p 2

1 (3)根据三角形面积公式 S ? ? a ? ha 2 2S 2 2 所以, ha ? ? p( p ? a)( p ? a)( p ? a) ,即 ha ? p( p ? a)( p ? a)( p ? a) a a a 2 2 同理 hb ? p( p ? a)( p ? a)( p ? a) , hc ? p( p ? a)( p ? a)( p ? a) b c

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第一章 复习参考题 A 组(P24)
1、 (1) B ? 21?9?, C ? 38?51?, c ? 8.69 cm ; (2) B ? 41?49?, C ? 108?11?, c ? 11.4 cm ;或 B ? 138?11?, C ? 11?49?, c ? 2.46 cm (3) A ? 11?2?, B ? 38?58?, c ? 28.02 cm ; (4) B ? 20?30?, C ? 14?30?, a ? 22.92 cm ; (5) A ? 16?20?, C ? 11?40?, b ? 53.41 cm ; (6) A ? 28?57?, B ? 46?34?, C ? 104?29? ; 2、解法 1:设海轮在 B 处望见小岛在北偏东 75 ? ,在 C 处望 见小岛在北偏东 60 ? ,从小岛 A 向海轮的航线 BD 作垂 线,垂线段 AD 的长度为 x n mile, CD 为 y n mile.
?x ? x ? y ? tan 30? ? tan 30? ? y x x ? ? ?? ? ? ?8 则 ? ? x ? tan15? ? x ? y ? 8 tan 30? tan15? ? tan15? ? ? ? y ?8
(第 2 题)

8tan15? tan30? ?4 tan30? ? tan15? 所以,这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险. 3、根据余弦定理: AB2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos? x?

所以 AB ? a2 ? b2 ? 2ab cos?
cos B?
2 2 a2 ? A B ? b 2? a ? A B

?

a 2 ? a 2? b 2 ? 2ab cos ? ? b 2 ? a ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ?
a ? b cos ? a ? b 2 ? 2ab cos ?
2

2

?

从 ?B 的余弦值可以确定它的大小. 类似地,可以得到下面的值,从而确定 ?A 的大小. cos A ?
b ? a cos ? a ? b 2 ? 2ab cos ?
2

A

4、如图, C , D 是两个观测点, C 到 D 的距离是 d ,航船在时刻 t1 在 A 处,以从 A 到 B 的航向航行,在此时测出 ?ACD 和 ?CDA . 在时刻 t 2 ,航船航行到 B 处,此时,测出 ?CDB 和 ?BCD . 根
C d

B

D

(第 4 题) 据正弦定理,在 ?BCD 中,可以计算出 BC 的长,在 ?ACD 中, ?ACB ? ?ACD ? ?BCD , C D , 可以计算出 AC 的长. 在 ?ACB 中,AC 、BC 已经算出, 解 ?A 求出 AB 的长,即航船航行的距离,算出 ?CAB ,这样就可以算出航船的航向和速度. h sin(? ? ? ) A 5、河流宽度是 . 6、47.7 m. B sin ? sin ?

7、如图, A, B 是已知的两个小岛,航船在时刻 t1 在 C 处,以从 C 到 D 的航向航行,测出 ?ACD 和 ?BCD . 在时刻 t 2 ,航船航行
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d C
(第 7 题)

D

到 D 处,根据时间和航船的速度,可以计算出 C 到 D 的距离是 d ,在 D 处测出 ?CDB 和 ?CDA . 根据正弦定理,在 ?BCD 中,可以计算出 BD 的长,在 ?ACD 中,可以计算出 AD 的长. 在 ?ABD 中, AD 、 BD 已经算出, ?ADB ? ?CDB ? ?CDA ,根据余弦定理,就可 以求出 AB 的长,即两个海岛 A, B 的距离.

第一章 复习参考题 B 组(P25)
1、如图, A, B 是两个底部不可到达的建筑物的尖顶,在地面某点 E 处,测出图中 ?AEF , ?AFE 的大小,以及 EF 的距离. 利用正弦 定理,解 ?AEF ,算出 AE . 在 ?BEF 中,测出 ?BEF 和 ?BFE , 利用正弦定理,算出 BE . 在 ?AEB 中,测出 ?AEB ,利用余弦定 理,算出 AB 的长. 本题有其他的测量方法. 2、关于三角形的面积公式,有以下的一些公式: E 1 1 1 (1)已知一边和这边上的高: S ? aha , S ? bhb , S ? chc ; 2 2 2 1 1 1 (2)已知两边及其夹角: S ? ab sin C, S ? bc sin A, S ? ca sin B ; 2 2 2 a?b?c (3)已知三边: S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,这里 p ? ; 2 (4)已知两角及两角的共同边: S ? (5)已知三边和外接圆半径 R : S ?
A

B

D C
(第 1 题)

F

b 2 sin C sin A c 2 sin A sin B a 2 sin B sin C ,S ? ,S ? ; 2sin(C ? A) 2sin( A ? B) 2sin( B ? C )

abc . 4R 3、设三角形三边长分别是 n ? 1, n, n ? 1 ,三个角分别是 ? , ? ? 3? , 2? . n ?1 n ?1 n ?1 由正弦定理, ,所以 cos ? ? . ? 2( n ? 1) sin ? sin 2?

由余弦定理, (n ? 1)2 ? (n ? 1)2 ? n2 ? 2 ? (n ? 1) ? n ? cos ? . 即 (n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? 2 ? (n ? 1) ? n ?
n ?1 ,化简,得 n2 ? 5n ? 0 2(n ? 1)

所以, n ? 0 或 n ? 5 . n ? 0 不合题意,舍去. 故 n ? 5 所以,三角形的三边分别是 4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的 2 倍. 另解:先考虑三角形所具有的第一个性质:三边是连续的三个自然数. (1)三边的长不可能是 1,2,3. 这是因为 1 ? 2 ? 3 ,而三角形任何两边之和大于第三边. (2)如果三边分别是 a ? 2, b ? 3, c ? 4 .
b 2 ? c 2 ? a 2 32 ? 42 ? 22 7 ? ? 2bc 2 ? 3? 4 8 7 17 cos2 A ? 2cos2 A ? 1 ? 2 ? ( )2 ? 1 ? 8 32 2 2 2 2 2 2 a ? b? c 2 ? 3? 4 1 coC s ? ? ?? 2ab 2? 2 ? 3 4 C 在此三角形中, A 是最小角, 是最大角,但是 cos 2 A ? cos C , 所以 2 A ? C ,边长为 2,3,4 的三角形不满足条件. (3)如果三边分别是 a ? 3, b ? 4, c ? 5 ,此三角形是直角三角形,最大角是 90 ? ,最小角 不等于 45 ? . 此三角形不满足条件. (4)如果三边分别是 a ? 4, b ? 5, c ? 6 .

因为 cos A ?

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b 2 ? c 2 ? a 2 52 ? 6 2 ? 4 2 3 ? ? 2bc 2? 5? 6 4 3 1 cos2 A ? 2cos2 A ?1 ? 2 ? ( )2 ?1 ? 4 8 2 a 2 ? b 2? c 2 4 ? 5 ?2 6 2 1 coC s ? ? ? 2ab 2? 4 ? 5 8 此时, cos 2 A ? cos C ,而 0 ? 2 A, C ? ? ,所以 2 A ? C

此时, cos A ?

所以,边长为 4,5,6 的三角形满足条件. (5)当 n ? 4 ,三角形的三边是 a ? n, b ? n ? 1, c ? n ? 2 时, 三角形的最小角是 A ,最大角是 C .
cos A? b 2 ? c 2? a 2 2bc
2 (n ? 12) ? n (? 2 ?) n 2 2( n ? 1n )( ? 2)

?

?
?

n 2 ? 6n ? 5 2(n ? 1)(n ? 2)

n?5 2( n? 2 ) 1 3 ? ? 2 2(n ? 2)
a 2 ? b 2? c 2 2a b
2 n 2 ? ( n? 1 ) ? ( n ? 2n ( n? 1)

coC s ?

?

22 )

?

n 2 ? 2n ? 3 2n(n ? 1)

n?3 2n 1 3 ? ? 2 2n cos A 随 n 的增大而减小, A 随之增大, cos C 随 n 的增大而增大, C 随之变小. 由于 n ? 4 时有 C ? 2 A ,所以, n ? 4 ,不可能 C ? 2 A . 综上可知,只有边长分别是 4,5,6 的三角形满足条件. ?

第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 练习(P31) 1、 n 1 2
an

… …

5 69

… …

12 153

… …

n
3(3 ? 4n)

21

33

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2、前 5 项分别是: 1,0, ?1,0, ?1 . ? 1 ? (n ? 2m, m ? N * ) * ? ? ? ?2(n ? 2m, m ? N ) 3、例 1(1) an ? ? n ; (2) an ? ? * ? ? 1 (n ? 2m ? 1, m ? N * ) ?0(n ? 2m ? 1, m ? N ) ? ?n 说明:此题是通项公式不唯一的题目,鼓励学生说出各种可能的表达形式,并举出其他可 能的通项公式表达形式不唯一的例子. 4、 (1) an ?
( ?1) n 1 1 ( n ? Z ? ) ; (3) an ? n?1 (n ? Z ? ) (n ? Z ? ) ; (2) an ? 2n 2n ?1 22

习题 2.1 A 组(P33) 1、 (1)2,3,5,7,11,13,17,19; (2) 2, 6,2 2,3, 10,2 3, 14, 15,4,3 2 ; (3)1,1.7,1.73,1.732,…1.732050; 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051. 1 1 1 1 2、 (1) 1, , , , ; (2) 2, ?5,10, ?17, 26 . 4 9 16 25 3、 (1) (1) , ?4 ,9, ( ?16 ) ,25, ( ?36 ) ,49; (2)1, 2 , ( 3) ,2, 5 , ( 6) , 7;
1 4、 (1) ,3,13,53,213 ; 2 1 4 1 (2) ? ,5, , ? ,5 . 4 5 4
an ? (?1)n?1 n2 ;

an ? n .

5、 对应的答案分别是: (1) 16,21;an ? 5n ? 4 ; (2) 10,13;an ? 3n ? 2 ; (3) 24,35;an ? n2 ? 2n . 6、15,21,28;
an ? an?1 ? n .

习题 2.1 B 组(P34) 1、前 5 项是 1,9,73,585,4681. 该数列的递推公式是: an?1 ? 1 ? 8an , a1 ? 1 .通项公式是: an ?
) ? 10.072 ; 2、 a1 ? 10 ? (1 ? 0.72﹪
3 a3 ? 1 0 ? ( 1 ? 0﹪ .7 2? )

8n ? 1 . 7

a2 ? 1 0 ? ( 1 ? 0﹪ . 72 2 ? )

; 10.1 44518

; . ) 10.2 175 an5? 91 0 ? ( 1 ? 0﹪ . 7n 2

3、 (1)1,2,3,5,8;

3 5 8 13 (2) 2, , , , . 2 3 5 8

2.2 等差数列 练习(P39) 1、表格第一行依次应填:0.5,15.5,3.75;表格第二行依次应填:15, ?11, ?24 . 2、 an ? 15 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 13 , a10 ? 33 . 3、 cn ? 4n

4、 (1)是,首项是 am?1 ? a1 ? md ,公差不变,仍为 d ; (2)是,首项是 a1 ,公差 2 d ; (3)仍然是等差数列;首项是 a7 ? a1 ? 6d ;公差为 7 d .
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5、 (1)因为 a5 ? a3 ? a7 ? a5 ,所以 2a5 ? a3 ? a7 . 同理有 2a5 ? a1 ? a9 也成立; (2) 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 1) 成立; 2an ? an?k ? an?k (n ? k ? 0) 也成立. 习题 2.2 A 组(P40) (2) n ? 10 ; (3) d ? 3 ; (4) a1 ? 10 . 2、略.

1、 (1) an ? 29 ;

3、 60 ? . 4、 2℃ ; ?11℃ ; ?37℃ . 习题 2.2 B 组(P40)

5、 (1) s ? 9.8t ; (2)588 cm,5 s.

1、 (1) 从表中的数据看, 基本上是一个等差数列, 公差约为 2000,a2010 ? a2002 ? 8d ? 0.26 ?105 再加上原有的沙化面积 9 ?105 ,答案为 9.26 ? 105 ; (2)2021 年底,沙化面积开始小于 8 ?105 hm2 . 2、略. 2.3 等差数列的前 n 项和 练习(P45) 1、 (1) ?88 ; (2)604.5. ? 59 ,n ?1 ? ?12 2、 an ? ? 3、元素个数是 30,元素和为 900. ? 6n ? 5 , n ? 1 ? ? 12 习题 2.3 A 组(P46) 1、 (1) n(n ? 1) ; (2) n2 ; (3)180 个,和为 98550; (4)900 个,和为 494550. 2、 (1)将 a1 ? 20, an ? 54, Sn ? 999 代入 Sn ?
n(a1 ? an ) ,并解得 n ? 27 ; 2 17 将 a1 ? 20, an ? 54, n ? 27 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d ,并解得 d ? . 13 1 n(a1 ? an ) (2)将 d ? , n ? 37, Sn ? 629 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d , Sn ? , 3 2
? an ? a1 ? 12 ? 得 ? 37( a1 ? an ) ;解这个方程组,得 a1 ? 11, an ? 23 . ? 629 ? 2 ?

5 1 n(n ?1) (3)将 a1 ? , d ? ? , Sn ? ?5 代入 Sn ? na1 ? d ,并解得 n ? 15 ; 6 6 2 5 1 3 将 a1 ? , d ? ? , n ? 15 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d ,得 an ? ? . 6 6 2

(4)将 d ? 2, n ? 15, an ? ?10 代入 an ? a1 ? (n ? 1)d ,并解得 a1 ? ?38 ; 将 a1 ? ?38, an ? ?10, n ? 15 代入 Sn ? 3、 4.55 ? 104 m. 4、4. 6、1472.
n(a1 ? an ) ,得 Sn ? ?360 . 2

5、这些数的通项公式: 7(n ? 1) ? 2 ,项数是 14,和为 665.

习题 2.3 B 组(P46) 1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前 n 项和公式,求出 5 年内的总
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共的维修费,即再加上购买费,除以天数即可. 答案:292 元. 2、本题的解法有很多,可以直接代入公式化简,但是这种比较繁琐. 现提供 2 个证明方法供参考. (1)由 S6 ? 6a1 ? 15d , S12 ? 12a1 ? 66d , S18 ? 18a1 ? 153d 可得 S6 ? (S18 ? S12 ) ? 2(S12 ? S6 ) . (2) S12 ? S6 ? (a1 ? a2 ?
? a7 ? a8 ? ? a12 ) ? (a1 ? a2 ? ?a1 2 ?6 a ( ? d 6 ) ? a6 )

? (a1 ? 6d ) ? ( a d )? 2 ? 6 ? (a1 ? a2 ? ? S6 ? 36d ?a6) ? 3 6d

同样可得: S18 ? S12 ? S6 ? 72d ,因此 S6 ? (S18 ? S12 ) ? 2(S12 ? S6 ) . 3、 (1)首先求出最后一辆车出发的时间 4 时 20 分; 所以到下午 6 时,最后一辆车行驶了 1 小时 40 分. (2)先求出 15 辆车总共的行驶时间,第一辆车共行驶 4 小时,以后车辆行驶时间依次 递减,最后一辆行驶 1 小时 40 分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布,代入前 n 项和公式,这 2 4 ?1 3 ? 15 ? 85 h. 个车队所有车的行驶时间为 S ? 2 2 乘以车速 60 km/h,得行驶总路程为 2550 km.
? 1 ? 1 1 1 ? ? 4、数列 ? ? 的通项公式为 an ? n(n ? 1) n n ? 1 ? n(n ? 1) ?

1 1 1 n ?( ? ) ? 1? ? n n ?1 n ?1 n ?1 1 1 1 1 ? ( ? ) 的数列的前 n 项和. 类似地,我们可以求出通项公式为 an ? n( n ? k ) k n n ? k 2.4 等比数列 练习(P52) 1、 q a1 a3 a5 a7

1 1 1 1 1 1 所以 Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1 2 2 3 3 4

2 50

4 2

8 0.08

16 0.0032

2 或? 2

0.2

2、由题意可知,每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为 a1 ? 80 ,公比为 q ? 20 的等比 数列,则第 5 轮被感染的计算机台数 a 5 为
a5 ? a1q4 ? 80 ? 20 4 ? 1.28 ?10 7 .

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3、 (1)将数列 ?an ? 中的前 k 项去掉,剩余的数列为 ak ?1 , ak ?2 ,
ak ?1 , ak ? 2 ,

. 令 b ? ak ?i , i ? 1, 2,

,则数列

可视为 b1 , b2 ,

. 是等比数列.

因为

bi ?1 ak ?i ?1 ? ? q(i ≥ 1) ,所以, ?bn ? 是等比数列,即 ak ?1 , ak ? 2 , bi ak ?i

(2) ?an ? 中的所有奇数列是 a1 , a3 , a5 , 所以,数列 a1 , a3 , a5 ,

,则

a3 a5 ? ? a1 a3

?

a2 k ?1 ? a2 k ?1

? q 2 (k ≥ 1) .

是以 a1 为首项, q2 为公比的等比数列. ,

(3) ?an ? 中每隔 10 项取出一项组成的数列是 a1 , a12 , a23 , 则
a12 a23 ? ? a1 a12 ? a11k ?1 ? a11k ?10 ? q11 (k ≥ 1)

所以,数列 a1 , a12 , a23 ,

是以 a1 为首项, q11 为公比的等比数列.

猜想:在数列 ?an ? 中每隔 m ( m 是一个正整数)取出一项,组成一个新的数列,这个数列 是以 a1 为首项, qm?1 为公比的等比数列.
2 4、 (1)设 ?an ? 的公比为 q ,则 a5 ? (a1q 4 )2 ? a12q8 ,而 a3 ? a7 ? a1q 2 ? a1q6 ? a12q8

2 2 所以 a5 ? a3 ? a7 ,同理 a5 ? a1 ? a9
2 (2)用上面的方法不难证明 an ? an?1 ? an?1 (n ? 1) . 由此得出, an 是 an ?1 和 an ?1 的等比中项. 2 同理:可证明, an ? an?k ? an?k (n ? k ? 0) . 由此得出,an 是 an ? k 和 an ? k 的等比中项 (n ? k ? 0) .

5、 (1)设 n 年后这辆车的价值为 an ,则 an ? 13.5(1 ? 10﹪ )n . (2) a4 ? 13.5(1 ? 10﹪ )4 ? 88573 (元). 用满 4 年后卖掉这辆车,能得到约 88573 元. 习题 2.4 A 组(P53) 1、 (1)可由 a4 ? a1q3 ,得 a1 ? ?1 , a7 ? a1q6 ? (?1) ? (?3)6 ? ?729 . 也可由 a7 ? a1q6 , a4 ? a1q3 ,得 a7 ? a4q3 ? 27 ? (?3)3 ? ?729
1 1 ? ? ? ?a1q ? 18 (2)由 ? 3 ,解得 ? ,或 ? 2 2 q? q?? ? ? ? ?a1q ? 8 3 3 ? ?

?a ? 27

? a ? ?27

?a1q 4 ? 4 3 ? (3)由 ? 6 ,解得 q 2 ? , 2 ? ?a1q ? 6
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3 6 2 2 a9 ? a 1 q8 ? a q ?9 1 ? q ? a q7 ? 6 ? 2
2 还可由 a5 , a7 , a9 也成等比数列,即 a7 ? a5a9 ,得 a9 ?
2 a7 62 ? ?9. a5 4

4 ? ?a1q ? a1 ? 15 (4)由 ? 3 ? ?a1q ? a1q ? 6

① ②
q2 ? 1 5 1 ? ,由此解得 q ? 或 q ? 2 . q 2 2

①的两边分别除以②的两边,得 当q ?

1 时, a1 ? ?16 . 此时 a3 ? a1q2 ? ?4 . 2

当 q ? 2 时, a1 ? 1 . 此时 a3 ? a1q2 ? 4 .

), q ? 0.1 . 2、设 n 年后,需退耕 an ,则 ?an ? 是一个等比数列,其中 a1 ? 8(1 ? 10﹪

那么 2005 年需退耕 a5 ? a1 (1 ? q)5 ? 8(1 ? 10﹪ )5 ? 13 (万公顷) 3、若 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,则首项 a1 和公比 q 都是正数. 由 an ? a1qn?1 ,得 an ? a1 q n?1 ? a1 q
1

n?1 2

? a1 (q 2 )( n?1) .

1

那么数列 ?an ? 是以 a1 为首项, q 2 为公比的等比数列. 4、这张报纸的厚度为 0.05 mm,对折一次后厚度为 0.05×2 mm,再对折后厚度为 0.05× 22 mm,再对折后厚度为 0.05× 23 mm. 设 a0 ? 0.05 ,对折 n 次后报纸的厚度为 an ,则 ?an ? 是一个 等比数列,公比 q ? 2 . 对折 50 次后,报纸的厚度为
5 0 1 3 a5 0 ? a ? 25 0 ? 5.6 ?3 1 0 0 q ?0 . 0 5 0 ? mm ? 5 . 613 10

m

这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离(约 3.84 ?108 m ) ,所以能够在地球和月 球之间建一座桥. 5、设年平均增长率为 q, a1 ? 105 ,n 年后空气质量为良的天数为 an ,则 ?an ? 是一个等比数列. 由 a3 ? 240 ,得 a3 ? a1 (1 ? q)2 ? 105(1 ? q)2 ? 240 ,解得 q ? 6、由已知条件知, A ?
240 ? 1 ? 0.51 105

a ?b a ? b ? 2 ab ( a ? b ) 2 a?b ? ab ? ? ≥0 , G ? ab ,且 A ? G ? 2 2 2 2 所以有 A ≥ G ,等号成立的条件是 a ? b . 而 a , b 是互异正数,所以一定有 A > G .

7、 (1) ?2 ;

(2) ?ab(a 2 ? b2 ) .

8、 (1)27,81;

(2)80,40,20,10.

习题 2.4 B 组(P54) 1、证明:由等比数列通项公式,得 am ? a1q m?1 , an ? a1qn?1 ,其中 a1, q ? 0

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所以

am a1q m?1 ? ? q m?n an a1q n?1

2、 (1)设生物体死亡时,体内每克组织中的碳 14 的原子核数为 1 个单位,年衰变率为 q ,
n 年后的残留量为 an ,则 ?an ? 是一个等比数列. 由碳 14 的半衰期为 5730

则 an ? a1q5730 ? q5730 ?

1 1 1 ,解得 q ? ( ) 5730 ? 0.999879 2 2

(2)设动物约在距今 n 年前死亡,由 an ? 0.6 ,得 an ? a1q ? 0.999879n ? 0.6 . 解得 n ? 4221 ,所以动物约在距今 4221 年前死亡. an 3、在等差数列 1,2,3,…中, 有 a7 ? a10 ? 17 ? a8 ? a9 , a10 ? a40 ? 50 ? a20 ? a30 由此可以猜想,在等差数列 ?an ? 中 若 k ? s ? p ? q(k , s, p, q ? N ) ,则 ak ? as ? a p ? aq .
*

as ak O k p ap q aq s n

从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个 问题:由等差数列 ?an ? 的图象,可以看出
ak k a s ? , s ? ap p aq q

(第 3 题)

根据等式的性质,有

ak ? as k ? s ? ,所以 ak ? as ? a p ? aq . a p ? aq p ? q

猜想对于等比数列 ?an ? ,类似的性质为:若 k ? s ? p ? q(k , s, p, q ? N * ) ,则 ak ? as ? ap ? aq . 2.5 等比数列的前 n 项和 练习(P58)
a (1 ? q 6 ) 3(1 ? 26 ) ? ? 189 . 1、 (1) S6 ? 1 1? q 1? 2

a ?a q (2) Sn ? 1 n ? 1? q

?2.7 ?

1 1 (? ) 90 3 ? ? 91 . 1 45 1 ? (? ) 3

2、设这个等比数列的公比为 q 所以 S10 ? (a1 ? a2 ? 同理 S15 ? S10 ? q10 S5 . 因为 S5 ? 10 ,所以由①得 q 5 ?
S10 ? 1 ? 4 ? q10 ? 16 S5

? a5 ) ? (a6 ? a7 ?

? a10 ) ? S5 ? q5 S5 ? (1 ? q5 ) S5 ? 50

代入②,得 S15 ? S10 ? q10 S5 ? 50 ? 16 ?10 ? 210 . 3、该市近 10 年每年的国内生产总值构成一个等比数列,首项 a1 ? 2000 ,公比 q ? 1.1
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设近 10 年的国内生产总值是 S10 ,则 S10 ? 习题 2.5 A 组(P61) 1、 (1)由 q 3 ?

2000(1 ? 1.110 ) ? 31874.8 (亿元) 1 ? 1.1

a ? a q ?1 ? 64 ? (?4) a4 64 ? 51 . ? ? ?64 ,解得 q ? ?4 ,所以 S4 ? 1 4 ? 1? q 1 ? (?4) a1 ?1

(2)因为 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 (q?2 ? q?1 ? 1) ,所以 q ?2 ? q ?1 ? 1 ? 3 ,即 2q2 ? q ? 1 ? 0
1 解这个方程,得 q ? 1 或 q ? ? . 2

当 q ? 1 时, a1 ?

3 1 ;当 q ? ? 时, a1 ? 6 . 2 2

2、这 5 年的产值是一个以 a1 ? 138 ?1.1 ? 151.8 为首项, q ? 1.1 为公比的等比数列 所以 S5 ?
a1 (1 ? q 5 ) 151.8 ? (1 ? 1.15 ) ? ? 926.754 (万元) 1? q 1 ? 1.1

3、 (1)第 1 个正方形的面积为 4 c