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福建省八县一中2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


2015-2016 学年第一学期八县(市)一中期末联考 高二数学(文科)试题

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求.) 1.命题“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是 ( A.不存在 x0∈R,2x0>0 C.对任意的 x∈R, 2x≤0
2

)

B.存在 x0∈R,2x0>0 D.对任意的 x∈R,2x>0 )

2.2x -5x-3<0 的一个必要不充分条件是 ( A.-

1 <x<3 2

B.-

1 <x<0 2

C.-3<x<

1 2

D.-1<x<6 )
2

3.抛物 线的准线方程 是 y ? ?1 ,则抛物线的标准方程是( A. x =4y
3

2

B.

x 2 =-4y
)

C. y =4x

D. y =-4x

2

4.曲线 y=x +1 在点(-1,0)处的切线方程为( A.3x+y+3=0 C.3x-y=0

B.3x-y+3=0 D.3x-y-3=0

x2 y 2 ? ? 1 为椭圆,则 mn ? 0 ”则原命题、逆命题、否命题、逆否 5.已知命题:“若曲线 m n
命题这四个命题中,真命题的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.4 )

6.已知椭圆 C1 比椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 的形状更圆,则 C1 的离心率的取值范围是( 12 16

A. 0 ? e ?

1 2
2

B. 0 ? e ?

3 3
C.4

C.

1 ? e ?1 2
) D.-4

D.

3 ? e ?1 3

7.函数 f(x)=x +alnx 在 x=1 处取得极值,则 a 等于( A.2 B.-2

1

8.设 p: (3x ? ln 3)? ? 6x+
2

1 2 x ,q:函数 y=(3-x )e 的单调递增区是(-3,1),则 p 与 q 3
C.“?q”真 D.“p∨q”真 )

的复合命题的真假是( A.“p∨q”假

) B.“p∧q”真

x2 y2 3 x2 y2 9.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,则双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为( a b 2 a b
1 A.y=± x 2 C.y=±4x B.y=±2x 1 D.y=± x 4 )

10.如图所示是 y=f(x)的导数图像,则正确的判断是(

①f(x)在(3, ?? )上是增函数; ②x=1 是 f(x)的极大值点; ③x=4 是 f(x)的极小值点; ④f(x)在( ?? ,- 1)上是减函数. A.①② B.②③ C.③④ D.②④

11.设 F1、F2 是双曲线 - =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,∠F1PF2=90°,若 Rt△F1PF2 4a a 的面积是 1,则 a 的值是( A.1 B. 5 2 ) C.2 D. 5

x

2

y

2

12. 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1的左右焦点分别为 F1 、F2 ,以它的短轴为直径作圆 O .若点 P 是 O 4
2 2

上的动点,则 PF1 ? PF2 的值是 ( A. 8 B. 6 C. 4

) D.与点 P 的位置有关

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 椭圆 等于

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 3, 那么点 P 到另一 个焦点的距离 16 9
.
2

14.一座抛物线形拱桥,高水位时,拱顶离水面 3m,水面宽 2 6m,当水面上升 1m 后,水面 宽_______m. 15.函数 y ? ax ? cos x 为 R 上的减函数的 a 的范围为 16.以下四个命题: ①若函数 y ? e x ? mx (x∈R)有大于零的极值点,则实数 m>1; ②若抛物线 x2 ? 4 y 上一点 M 到焦点的距离为 3,则点 M 到 x 轴的距离为 2; ③方程 2x -5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④已知函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? a 2 ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10, 则 其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).
2



a 2 的值为 ? 2 或 ? . b 3

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)已知双曲线的离心率等于 2,且与椭圆 此双曲线方程及其渐近线方程.

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,求 25 9

18.(本题满分 12 分)已知 m ? 0 , p : ? x ? 2?? x ? 6? ? 0 , q : 2 ? m ? x ? 2 ? m . (1)若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 m ? 5 ,“ p 或 q ”为真命题,“ p 且 q ”为假命题,求实数 x 的取值范围.

19. (本题满分 12 分)过抛物线 x =2y 的顶点 O 作两条相互垂直的弦 OP 和 OQ,求证:直线

2

PQ 恒过一个定点.

20. (本题满分 12 分)某公司决定采用技术改造和投放广告两项措施来获得更大的收益.通过 对市场的预测,当对两项投入都不大于 3(百万元)时,每投入 x(百万元) 技术改造费,增加 1 3 2 的销售额 y1 满足 y1=- x +2x +5x(百万元);每投入 x(百万元) 广告费用,增加的销售额 3

y2 满足 y2=-2x2+14x(百万元).现该公司准备共投入 3(百万元),分别用于技术改造投入和
广告投入, 请设计一种资金分配方案,使得该公司获得最大收益.(注: 收益=销售额-投入, 答案数据精确到 0.01)(参考数据: 2≈1.414, 3≈1.732)
3

21. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? 2ax ? 处取得极值. (1)求 a、 b 的值;

b 1 ? 1nx a, b ? R , 满足 f ( x ) 在 x ? 1和x ? x 2

(2) 若存在x0 ? [ , 2], 使得不等式f ( x0 ) ? c ? 0成立,求实数c 的最小值。 (参考数据 ln 2 ? 0.693 )

1 4

22. (本题满分 12 分)已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

6 ,右焦点为(2 2,0).斜 3

率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

4

2015-2016 学年第一学期八县(市)一中期末联考 高二数学 (文科)答案 一、选择 题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求.) DDABA ABDAC AA 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.5 14. 4 15. a ? ?1 16.①②③ 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解:∵ 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为(-4,0)和(4,0) ,????????2 分 25 9

x2 y 2 则可设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) , a b
∵ c=4,又双曲线的离心率等于 2,即 ∴ b ? c ? a =12. ???6 分;
2 2 2

c ? 2 ,∴ a=2.???????????4 分 a

故所求双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ????8 分 4 12

渐近线方程为: y ? ? 3x ????10 分 18. (本小题满分 12 分) 解: ( I ) p : ?2 ? x ? 6 ? p 是 q 的充分条件 ?? ?2,6? 是 ?2 ? m,2 ? m? 的子集?????2 分

? m?0 ? ? ?2 ? m ? ?2 ? m ? 4 ? m 的取值范围是 ? 4, ?? ? ????????6 分 ? 2?m ? 6 ?
(Ⅱ)由题意可知 p, q 一真一假,????????8 分 当 m ? 5 时, q : ?3 ? x ? 7 ,

? ?2 ? x ? 6 ? x ?? p 真 q 假时,由 ? ? x ? ?3或x ? 7

5

? x ? ?2或x ? 6 ? ?3 ? x ? ?2或6 ? x ? 7 p 假 q 真时,由 ? ? 3 ? x ? 7 ?
所以实数 x 的取值范围是 ? ?3, ?2? ? ? 6,7? ????????12 分 19.(本小题满分 12 分)

解:由已知直线OP、OQ斜率存在且不为0..........1分 ? OP ? OQ 1 可设直线OP、OQ为y ? kx和y ? ? x...............2分 k ? y ? kx 消y得x 2 ? 2kx ? 0, ? 2 ?x ? 2 y 解得x ? 0(舍去)或x ? 2k ? y ? 2k 2 即P点坐标为 ? 2k , 2k 2 ? ......................................6分 2 2 同理可得:Q点坐标为(- , 2 ).......................8分 k k 2 k ?1 ? 直线PQ方程为:y ? x ? 2....................10分 k 令x ? 0, 则y恒等于2 ? 直线PQ必过定点(0, 2) ......................12分
*其他解法,酌情给分 20. (本小题满分 12 分) 解:设 3 百万元中技术改造投入为 x(百万元),广告费投入为 3-x(百万元),?????1 分 2 则广告收入带来的销售额增加值为-2(3-x) +14(3-x)(百万元), 1 3 2 技术改造投入带来的销售额增加值为- x +2x +5x(百万元),?????3 分 3 1 3 2 2 所以 ,投入带来的收益 F(x)=-2(3-x) +14(3-x)- x +2x +5x-3. 3 1 3 整理上式得 F(x)=- x +3x+21,?????6 分 3 2 因为 F′(x)=-x +3, 令 F′(x)=0,解得 x= 3或 x=- 3(舍去), 当 x∈[0, 3),F′(x)>0,当 x∈( 3,3]时,F′(x)<0,?????10 分 所以,x= 3≈1.73 时,F(x)取得最大值.?????11 分 所以,当该公司用于广告投入 1.27(百万元),用于技术改造投入 1.73(百万元)时,公司将获 得最大收益.?????12 分
6

21.(本小题满分 12 分)解: (1) (1)? f ( x) ? 2ax ?

b ? 1nx , x

b 1 ? 。????????????????2 分 x2 x 1 ? f ( x)在x ? 1, x ? 处取得极值, 2 1 ? f '(1) ? 0, f '( ) ? 0 ???????????????????3 分 2 1 ? a?? ? ? 2a ? b ? 1 ? 0 ? 3 解得 ? 即? ?2a ? 4b ? 2 ? 0 ?b ? ? 1 ? 3 ? 1 1 ? 所求a、b的值分别为- , ? ???????????????5 分 3 3 1 (2)在 [ , 2]存在xo , 使得不等式 f ( xo ) ? c ? 0成立,只需c ? [ f ( x)]min ,?6 分 4 2 1 1 (2 x ? 1)( x ? 1) 2 x 2 ? 3x ? 1 ?? 由 f '( x ) ? ? x ? 2 ? ? ? , 2 3 3x x 3x 2 3x 1 1 1 1 ?当x ? [ , ]时,f '( x) ? 0, 故 f ( x)在[ , ]是单调递减 ; 4 2 4 2 1 1 当 x ? [ ,1]时,f '( x) ? 0,故 f ( x)在[ ,1]是单调递增 ; 2 2 当x ?[1, 2]时,f '( x) ? 0,故 f ( x)在[1, 2]是单调递减 ; 1 1 ? f ( )是f ( x)在[ , 2]上的极小值 .??????????????8 分 2 4 1 1 1 1 7 f ( ) ? ? 1n ? ? 1n2 f (2) ? ? ? 1n2 , 2 3 2 3 6 1 3 且 f ( ) ? f (2) ? ? 2 ln 2 ? 0 ???10 分 2 2 7 ?[ f ( x)]min ? f (2) , ? c ? ? ? f ? x ?? ? min ? ? 6 ? ln 2 7 7 ? c的取值范围为[? ? 1n2, ??), 所以c的最小值为 ? ? 1n2. ???12 分 6 6 ? f '( x) ? 2a ?
22.(本小题满分 12 分) 解 (1)由已知得 c=2 2, =

c 6 . a 3 2 2 2 解得 a=2 3,又 b =a -c =4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. ???????????4 分
12 4
7

(2)设直线 l 的方程为 y=x+m.

y=x+m ? ? 2 2 由? x y + =1 ? ?12 4
2 2



得 4x +6mx+3m -12=0.①????????6 分 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2) (x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m 则 x0= =- , 2 4

m y0=x0+m= ;

4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB. 2- 4 所以 PE 的斜 率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2. ??????????10 分 2 此时方程①为 4x +12x=0. 解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2. |-3-2+2| 所以 AB=3 2.此时 , 点 P(-3,2)到直线 AB: x-y+2=0 的距离 d= = 2 3 2 , 2 1 9 所以△PAB 的面 积 S= AB?d= .????????????12 分 2 2

m

8


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