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2017_2018版高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时解三角形的实际应用学业分层测评新人教A版必修5

1.2 应用举例 第 1 课时 解三角形的实际应用 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.为了测量 B,C 之间的距离,在河岸 A,C 处测量,如图 1?2?8,测得下面四组数据, 较合理的是( ) 图 1?2?8 A.c 与 α B.c 与 b C.b,c 与 β D.b,α 与 γ 【解析】 因为测量者在 A,C 处测量,所以较合理的应该是 b,α 与 γ . 【答案】 D 2.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O,两船航行方向的夹角为 120°,两船 的航行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h,则 14 时两船之间的距离是( A.50 n mile C.90 n mile B.70 n mile D.110 n mile ) 【解析】 到 14 时,轮船 A 和轮船 B 分别走了 50 n mile,30 n mile,由余弦定理得 两船之间的距离为 l= 502+302-2×50×30×cos 120°=70 (n mile). 【答案】 B 3.如图 1?2?9,要测量河对岸 A,B 两点间的距离,今沿河岸选取相距 40 米的 C,D 两 点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,AD=20( 3+1),则 A, B 间距离是( ) 图 1?2?9 A.20 2米 B.20 3米 1 C.20 6米 D.40 2米 【解析】 可得 DB=DC=40,AD=20( 3+1),∠ADB=60°,所以在△ADB 中,由余 弦定理得 AB=20 6(米). 【答案】 C 4.在地面上点 D 处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别 为 60°和 30°,已知建筑物底部高出地面 D 点 20 m,则建筑物高度为 ( A.20 m C.40 m B.30 m D.60 m ) 【解析】 如图,设 O 为顶端在地面的射影,在 Rt△BOD 中,∠ODB=30°,OB=20, BD=40,OD=20 3, 在 Rt△AOD 中,OA=OD·tan 60°=60,∴AB=OA-OB=40(m). 【答案】 C 5. 如图 1?2?10 所示, 在地面上共线的三点 A, B, C 处测得一建筑物的仰角分别为 30°, 45°,60°,且 AB=BC=60 m,则建筑物的高度为( ) 图 1?2?10 A.15 6 m C.25 6 m B.20 6 m D.30 6 m 【解析】 设建筑物的高度为 h,由题图知, PA=2h,PB= 2h,PC= 2 3 h, 3 ∴在△PBA 和△PBC 中,分别由余弦定理, 60 +2h -4h 得 cos∠PBA= ,① 2×60× 2h 2 2 2 2 4 2 2 2 60 +2h - h 3 cos∠PBC= .② 2×60× 2h ∵∠PBA+∠PBC=180°, ∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③ 由①②③,解得 h=30 6或 h=-30 6(舍去),即建筑物的高度为 30 6 m. 【答案】 D 二、填空题 6.有一个长为 1 千米的斜坡,它的倾斜角为 75°,现要将其倾斜角改为 30°,则坡底 要伸长________千米. 【解析】 如图,∠BAO=75°,C=30°,AB=1, ∴∠ABC=∠BAO-∠BCA=75°-30°=45°. 在△ABC 中, = , sin C sin ∠ABC 2 1× 2 AB·sin ∠ABC ∴AC= = = 2(千米). sin C 1 2 【答案】 2 AB AC 7.如图 1?2?11,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点 A,B,望对岸的标记物 C,测 得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度是________m. 图 1?2?11 【解析】 tan 30°= ,tan 75°= , 又 AD+DB=120, ∴AD·tan 30°=(120-AD)·tan 75°, ∴AD=60 3,故 CD=60. 【答案】 60 8.一次机器人足球比赛中,甲队 1 号机器人由点 A 开始做匀速直线运动,到达点 B 时, CD AD CD DB 3 发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 做匀速直线滚动,如图 1?2?12 所示,已知 AB=4 2 dm,AD=17 dm,∠BAC=45°,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人 最快可在距 A 点________dm 的 C 处截住足球. 图 1?2?12 【解析】 设机器人最快可在点 C 处截住足球, 点 C 在线段 AD 上,设 BC=x dm,由题意知 CD=2x dm,AC=AD-CD=(17-2x)dm. 在△ABC 中,由余弦定理得 BC =AB +AC -2AB·AC·cos A, 37 2 2 2 即 x =(4 2) +(17-2x) -8 2(17-2x)cos 45°,解得 x1=5,x2= . 3 23 ∴AC=17-2x=7(dm),或 AC=- (dm)(舍去). 3 ∴该机器人最快可在线段 AD 上距 A 点 7 dm 的点 C 处截住足球. 【答案】 7 三、解答题 9.A,B,C,D 四个景点,如图 1?2?13,∠CDB=45°,∠BCD=75°,∠ADC=15°.A, 2 2 2 D 相距 2 km,C,D 相距(3 2- 6)km,求 A,B 两景点的距离. 图 1?2?13 【解】 在△BCD 中, ∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°, 由正弦定理得 = , sin ∠BCD sin ∠CBD 即 BD= BD CD CD·sin 75° sin 60° =2. 在△ABD 中,∠ADB=45°+15°=60°,BD=AD, ∴△ABD 为等边三角形, ∴AB=2. 即 A,B

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