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浙江省2015届高三第二次五校联考数学(文)试题 Word版含答案


2014 学年浙江省五校联考第二次考试

数学(文科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

参考公式:
柱体的体积公式 V=Sh
1 3
1 3

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高

锥体的体积公式 V=

Sh

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

台体的体积公式 V ?

h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )
2

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式 S=4πR
4 3

其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高

球的体积公式 V=

πR

3

其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. 在 ??? C 中,“ ??? ?C ? 0 ”是“ ??? C 为直角三角形”的( ▲) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 2. 已知数列 {an } 满足: an ? A.7 B.8 C.9 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 9 ,且 S n ? ,则 n 的值为( ▲) n ?n 10
2

D.10

3.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象( ▲)

π 3

π 个单位长度 6 π C.向右平移 个单位长度 12
A.向右平移

B.向左平移

π 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 12
-1-

4.若 ?、? 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为( ▲) ①若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定不存在与直线 m 平行的直线. ②若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在与直线 m 垂直的直线. A.①③ B.②③ C.②④ D.①④

5.已知菱形 ABCD 的对角线 AC 长为 1,则 AD AC =( ▲ ) A.4 B.2 C.1 D.

1 2

2 2 6. 设 x ? R , 对于使 ? x ? 2 x ≤ M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x ? 2 x

的上确界. 若 a, b ? R ,且 a ? b ? 1 ,则 ? A. ? 5 B. ?4

?

1 2a

?

2 b

的上确界为( ▲)

C.

9 2

D. ?

9 2

7.如图,已知椭圆 C1:

y2 x2 2 x2 +y =1,双曲线 C2: 2 — 2 =1(a>0,b>0) ,若以 C1 的长 b 11 a

轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A、B 两点,且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为( ▲) A. 5 B.5 C. 17 D.

2 14 7

8. 如图,正 ?ABC 的中心位于点 G (0, 1) ,A (0, 2) ,动点 P 从 A 点出发沿 ?ABC 的边界按逆时 针方向运动,设旋转的角度 ?AGP ? x (0 ≤ x ≤ 2? ) ,向量 OP 在 a ? (1,0) 方向的投影为 y(O 为坐标原点) ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的图像是( ▲ )

-2-

-3-

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每空 4 分,共 36 分. ) 9.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x 2 ? 3 x ? 4 ? 0} , B ? { x | log2 ( x ? 1) ? 2} ,则 A ▲ ,A

B=

B=



, CR A =



.

? 2x ? y ? 0 ? x? y 10 . 若 变 量 x , y 满 足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则 2 的最大值为 ? x?0 ?
y ?1 的取值范围 _____ x?2
▲ . ▲





11. 已知命题 p:?x ? R , x-1>lnx. 命题 q:?x ? R , x ? 0 , 则 ? p: 命题 p∧( ? q)是 ▲ (填真命题或假命题)。 ▲



12. 若某多面体的三视图如右图所示,则此多面体的体积是 接球的表面积是 ▲ .

,此多面体外

13. 已知函数 f ( x) ? ?

?

x 2 ? cos x, x ? 0

2 ?? x ? sin( x ? ? ), x ? 0

是奇函数,则 sin ? ?





14. 已知点 A(0, 2)为圆 M : x + y - 2ax - 2ay = 0(a > 0) 外一点,圆 M 上存在点 T 使得
2 2

∠MAT=450,则实数 a 的取值范围是 15. 已知 O 是 ? ABC 内心,若 AO ?



. ▲ .

2 1 AB ? AC ,则 cos ?BAC = 5 5

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

1 16. 已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? cos 2 x( x ? R). 2
(1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 B ? 30? , c ? 3, f (C ) ? 1 ,判断 △ABC 的形状,并求三角形 ABC 的面积.
? ? d , 1 ≤ n ≤ 15, ? * 17. 已知数列 {an }( n ? N ,1 ≤ n ≤ 46 ) 满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? ? 1 , 16 ≤ n ≤ 30, 其中 d ? 0 , ?1 ? , 31 ≤ n ≤ 45, ?d

-4-

n ? N* .

(1)当 a ? 1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围; (2)设集合 M ? {b | b ? ai ? aj ? ak , i, j, k ?N? ,1≤ i ? j ? k≤ 16}.若 a ?
1 1 , d ? ,求证: 3 4

2?M ;
18. 在 四棱 锥 P ? ABCD 中 , 底面 ABCD 为 直 角梯 形,

? 底 面 ABCD , AD / / BC , AB ? BC 侧 面 P A B

P

PA ? AD ? AB ? 2 , BC ? 4 。
(1)若 PB 中点为 E 。求证: AE //平面PCD ;

A
(2)若 ?PAB ? 60 ,求直线 BD 与平面 PCD 所成角的正
0

D

弦值。

B

C

19. 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 x 上 有 四 点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 、 ,直线 AB、CD 都过点 M,且都 C( x3 , y3 )、D( x4 , y4 ) ,点 M(3,0) 不垂直于 x 轴,直线 PQ 过点 M 且垂直于 x 轴,交 AC 于点 P,交 BD 于点 Q. (1)求 y1 y 2 的值; (2)求证:MP=MQ. O

y
C A P

M

x

D
Q

B

2 2 20. 已知函数 f ( x ) ? x ? a ? x ? kx ,(a为常数且0 ? a ? 4) 。

(1)若 a ? k ? 1 ,求不等式 f ( x ) ? 2 的解集; (2)若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上有两个零点 x1 , x2 。求

1 1 的取值范围。 ? x1 x2

-5-

2014 学年浙江省五校联考第二次考试

数学(文科)答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.在 ??? C 中,“ ??? ?C ? 0 ”是“ ??? C 为直角三角形”的( ▲) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:A 2.已知数列 {an } 满足: an ? A.7 答案:C 3.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象( ▲) B.8 C.9 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 9 ,且 S n ? ,则 n 的值为( ▲) n ?n 10
2

D.10

π 3

π 个单位长度 6 π C.向右平移 个单位长度 12
A.向右平移 答案:C

B.向左平移

π 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 12

4.若 ?、? 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为( ▲) ①若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定不存在与直线 m 平行的直线. ②若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m ? ? ,则在平面 ? 内,一定存在与直线 m 垂直的直线. A.①③ 答案:C B.②③ C.②④ D.①④

AC =( ▲ ) 5.已知菱形 ABCD 的对角线 AC 长为 1,则 AD ·
A.4 答案:D
2 2 6. 设 x ? R , 对于使 ? x ? 2 x ≤ M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x ? 2 x

B.2

C.1

D.

1 2

的上确界. 若 a, b ? R ,且 a ? b ? 1 ,则 ?

?

1 2a

?

2 b

的上确界为( ▲)

-6-

A. ? 5 答案:D 7.如图,已知椭圆 C1:

B. ?4

C.

9 2

D. ?

9 2

x2 2 x2 y2 +y =1,双曲线 C2: 2 + 2 =1(a>0,b>0) ,若 11 a b

以 C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A、B 两点,且 C1 与该渐近 线的两交点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为( ▲) A. 5 答案:A 8.如图,正 ?ABC 的中心位于点 G (0, 1) ,A (0, 2) ,动点 P 从 A 点出发沿 ?ABC 的边界按逆时 针方向运动,设旋转的角度 ?AGP ? x (0 ≤ x ≤ 2? ) ,向量 OP 在 a ? (1,0) 方向的投影为 y(O 为坐标原点) ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的图像是( ▲ ) B.5 C. 17 D.

2 14 7

答案:C 二、填空题(本大题共 7 小题,前 4 题每题 6 分,后 3 题每空 4 分,共 36 分. ) 9.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x 2 ? 3 x ? 4 ? 0} , B ? { x | log2 ( x ? 1) ? 2} ,则 A ▲ ,A

B=

B=



, CR A =



.

答案: A

B = (1, 4) , A B = ( ?1, 5) , C R A = (??, ?1] [4, ??) .


? 2x ? y ? 0 ? x? y 10.若变量 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 2 的最大值为 ? x?0 ?
答案:8, [ ?3, ? ] 。



y ?1 = x?2



.

1 2 11. 已知命题 p: ?x ? R ,x-1>lnx.命题 q: ?x ? R , x ? 0 ,则 ? p: p∧( ? q)是 ▲ (填真命题或假命题)。
答案: ?x ? R, x ? 1 ? sin x ,真命题。 13. 若某多面体的三视图如右图所示,则此多面体的体积是 此多面体外接球的表面积是 ▲ . ▲ ,



,命题

-7-

答案:

5 6

3?

解:三视图复原几何体如图: 是正方体去掉一个角后的几何体,它的外接球就是展开为正方体的外接球,外接球的直径就 是正方体的体对角线的长度,体对角线的长度为: 半径为: ;所以外接球的表面积为: =3π. 是 奇 函 数 , 则 sin ? ? ,所以外接球的

13. 已 知 函 数 f ( x) ? ? ▲ .

?

x 2 ? cos x, x ? 0

2 ?? x ? sin( x ? ? ), x ? 0

答案: ?1 14. 已知点 A(0, 2)为圆 M : x + y - 2ax - 2ay = 0(a > 0) 外一点,
2 2

圆 M 上存在点 T 使得 ? MAT 答案: 3 ?1 ? a ? 1

45o ,则实数 a 的取值范围是



.

15.已知 O 是 ? ABC 内心,若 AO ?

2 1 AB ? AC ,则 cos ?BAC = 5 5



.

答案: ? cos ?BAC ?

1 。 4

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 1 16.已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? cos 2 x( x ? R). 2 (1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 B ? 30? , c ? 3, f (C ) ? 1 ,判断 △ABC 的形状,并求三角形 ABC 的面积. 解:(1) f ( x) ?

? 1 3 1 3 sin x ? cos x ? cos 2 x = sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) 6 2 2 2

x ? R ??1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ? f ( x)的最小值是 -1 6 2? ?T ? ? ? ,故其最小正周期是 ? 2 ? (2) ∵ f (C ) ? 1 ? sin( 2C ? ) ? 1 6

?

-8-

又∵0<2 C <2π,∴ ? ∴ 2C ∵B=

?
6

? 2C -

?
6

?

?
6

?

?
2

,? C ?

?
3

11? 6

? ? ,∴A= ,∴△ABC 是直角三角形 6 2 c 3 b ? 3 ? 2 ,∴ b ? 1 由正弦定理得到: = sin B sin C 2
设三角形 ABC 的面积为 S, ∴S=

3 2

? ? d , 1 ≤ n ≤ 15, ? * 17.已知数列 {an }( n ? N ,1 ≤ n ≤ 46 )满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? ? 1 , 16 ≤ n ≤ 30, 其中 d ? 0 , ?1 ? , 31 ≤ n ≤ 45, ?d
n ? N* .

(1)当 a ? 1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围; (2)设集合 M ? {b | b ? ai ? aj ? ak , i, j, k ?N? ,1≤ i ? j ? k≤ 16}.若 a ?
1 1 , d ? ,求证: 3 4

2?M ;
解: (1)当 a ? 1 时,
1 a16 ? 1 ? 15d , a31 ? 16 ? 15d , a46 ? 16 ? 15(d ? ) . d

因为 d ? 0 , d ?

1 1 ≥ 2 ,或 d ? ≤ ?2 , d d

所以 a46 ? (??, ?14] [46, ??) .
1 n ?1 i ? j ? k ?3 (2)①由题意 an ? ? , 1 ≤ n ≤ 16 , b ? 1 ? . 3 4 4

令1?

i ? j ? k ?3 ? 2 ,得 i ? j ? k ? 7 . 4

因为 i, j , k ? N? , 1 ≤ i ? j ? k ≤ 16 , 所以令 i ? 1, j ? 2, k ? 4 ,则 2?M . 18.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角 梯形, AD / / BC , AB ? BC 侧面 PAB ? 底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2 , BC ? 4 。

P

A
-9-

D

B

C

(1)若 PB 中点为 E 。求证: AE //平面PCD ; (2)若 ?PAB ? 60 ,求直线 BD 与平面 PCD 所成角的正弦值。
0

证明(1)取 PC 的中点 F ,连结 DF , EF EF //AD ,且 AD ? EF ,所以 ADFE 为平行四边形。 ? AE //DF ,且 AE 不在平面 PCD 内, DF 在平面 PCD 内, 所以 AE //平面PCD (2)等体积法 令点 B 到平面 PCD 的距离为 h

VP ? BCD ? VB ? PCD
VP ? BCD ?


4 1 3 , VB ? PCD ? S?PCD h 3 3

S?PCD ? 15
4 5

?h ?

4 h 10 ? 5 ? 直线 BD 与平面 PCD 所成角 ? 的正弦值 sin ? ? 。 BD 2 2 5

2 19. 已 知 抛 物 线 y ? 2 x 上 有 四 点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 、

y
C A P

,直线 AB、CD 都过点 M, C( x3 , y3 )、D( x4 , y4 ) ,点 M(3,0) 且都不垂直于 x 轴,直线 PQ 过点 M 且垂直于 x 轴,交 AC 于点 P,交 BD 于点 Q. (1)求 y1 y 2 的值; (2)求证:MP=MQ. O D

M

x

22.(1)设直线 AB 的方程为 x ? m y ? 3 ,与抛物线联立得:

Q

B

y 2 ? 2my ? 6 ? 0
∴ y1 y 2 ? ?6 (2) 直线 AC 的斜率为

y1 ? y3 2 2 ? ∴直线 AC 的方程为 y ? ( x ? x1 ) ? y1 y1 ? y3 x1 ? x3 y1 ? y3

- 10 -

∴点 P 的纵坐标为 y P ?

6 ? y1 y3 ? 6 y1 ? y3 ? ? y3 y2 6( y3 ? y 2 ) y 2 y3 ? 6

6 ? (?

6 ) y3 y2

?

6( y 2 ? y 3 ) y 2 y3 ? 6

同理:点 Q 的纵坐标为 yQ ?

∴ y P ? yQ ? 0 ,又 PQ⊥x 轴∴MP=MQ

2 2 20.已知函数 f ( x ) ? x ? a ? x ? kx ,(a为常数且0 ? a ? 4) 。

(1)若 a ? k ? 1 ,求不等式 f ( x ) ? 2 的解集; (2)若函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上有两个零点 x1 , x2 。求

1 1 的取值范围。 ? x1 x2
3 ; 2

2 2 2 2 解: (1)若 x ? 1 ? 0 ,则 x ? 1 ? x ? x ? 2 ,即 2 x ? x ? 3 ? 0 ,? x ? 1或x ? ?

2 2 2 2 2 若 x ? 1 ? 0 ,则 x ? 1 ? x ? x ? 2 ,即 1 ? x ? x ? x ? 2 ,? x ? 1 ,无解。

综上所述: f ( x ) ? 2 的解集 ? x x ? 1或x ? ? ? 。
2 ? ? 2 x ? kx ? a 0 ? a ? 4 (2)因为 ,所以 f ( x ) ? ? ? ? kx ? a

? ?

3? 2?

x ? ( a , 2) x ? (0, a ]

因为函数 f ( x ) 在 (0, 2) 上有两个零点有两种情况:可以在 (0, a ] 上有一解,在 ( a , 2) 上有 一解或在 ( a , 2) 上有两解。 当 f ( x ) ? 0 在 ( a , 2) 上有两解:

?k ? ? a ? f ( a) ? 0 ? ? f (2) ? 0 ?k ? a ? 8 ? ? ? ? ?? ? 0 2 ?? ? ? k ? 2 2a或k ? ?2 2a ? a??k ?2 ? ? ? ? 4 ? k ? ?4 a
当在 (0, a ] 上有一解,在 ( a , 2) 上有一解:

?4 a ? ? a ,所以无解。

- 11 -

a ? ?k ? ? a a?8 ?0 ? ? ? a ? k ? ? a ??a ? 8 , 0 ? a ? 4 ,? ? 2 ?k?? a ?(8 ? 2k ? a )(2a ? k a ? a ) ? 0 ? ? 2 ?
所以 k 的取值范围为

a?8 ?k?? a。 2

不妨令 x1 ? ?

a ? k ? k 2 ? 8a , x2 ? k 4
k 2 ? 8a ? k 2a

?

1 1 k 4 ? ?? ? ? x1 x2 a k 2 ? 8a ? k

令 f (k ) ?

k 2 ? 8a ? k
a?8 , ? a ) 上为减函数 2

所以 f ( k ) 在区间 (

? f ( k ) ? (4 a ,4)

?

1 1 2 2 ? ?( , )。 x1 x2 a a

- 12 -

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- 13 -


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