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广东省湛江农垦实验中学2015届高三上学期第一次月考数学理试题 Word版含答案


湛江农垦实验中学 2015 届高三第一次月考

数学(理科)
有一项是符合题目要求的. 1、已知集合 M ? {?1, 0,1}, N ? {0,1, 2}, 则 M ? N ? A. {?1, 0,1} C. {?1, 0, 2} B. {?1, 0,1, 2} D. {0,1}

命题:湛江农垦

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只

2、已知复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 25, 则 z ? A. 3 ? 4i B. 3 ? 4i C. ?3 ? 4i D. ?3 ? 4i

? y?x ? 3、若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1且z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 m 和 n ,则 ? y ? ?1 ?

m? n ?
A.6 B.-6 C.0 D.1

4、若实数 k 满足 0 ? k ? 9, 则曲线 A.离心率相等 C. 实半轴长相等

x2 y2 x2 y2 ? ? 1的 ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k

B.虚半轴长相等 D.焦距相等

5、已知向量 a ? ?1,0, ?1? , 则下列向量中与 a 成 90 ? 夹角的是 A. (-1,1,0)B. (1,-1,1)C. (0,-1,1)D. (-1,0,1) 6、已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示,为了解该地区中下学 生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中 生近视人数分别为

小学生 3500 名

近视率/%
高中生 2000 名

50 30 10 O 小学 初中 高中
年级 C. 100,20 D. 200,20

初中生 4500 名

A. 100,10

B. 200,10

7、若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 , 满足 l1 ? l2 , l2 ? l3 , l3 ? l4 , 则下面结论一定正确 的是 A. l1 ? l4 B. l1 / / l4 C. l1 , l4 既不垂直也不平行 D. l1 , l4 的位置关系不确定

8 、 已 知 函 数 y ? f? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 且 当 x ?? ??,0? 时 , 不 等 式

f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 成 立 , 若 a ? 30.3 ? f ? 30.3 ? , b ? ? log? 3? ? f ? log? 3? ,
1? ? c ? ? log3 ? ? 9? ?
A. c ? b ? a

1? ? f ? log3 ? 则 a, b, c 的大小关系是 9? ?
B. c ? a ? b C. a ? b ? c D. a ? c ? b

二、填空题:本大题共 7 小题.考生作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9、不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? 5 的解集为 10、曲线 y ? e?5 x 在点 (0,1) 处的切线方程为 11、从 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数的平均数是 6 的概率为 12、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? 3b , 则

a ? b

13、若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10a11 ? a9a12 ? a8a13 ? 3e5 , 则 ln a1 ? ln a2 ? ?? ? ln a20 ? (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14、 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? ? 2cos ? 和

? ? 1 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则
曲线 C1 和 C2 交点所在的直线方程为_________ 15、 (几何证明选讲选做题)如图 3,在平行四边形 ABCD 中, D 点 E 在 AB 上且 EB ? 3 AE , AC 与 DE 交于点 F , 则 C F A E B

?CDF的面积 ? ?AEF的面积

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)求 f ? x ? 的单调区间; (3)求 f ? x ? 在区间 ? 0, ? ? 内的最值. 17、 (本小题满分 12 分) 随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件) ,获得数据如下: 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36 根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 [25,30] (30,35] (35,40] (40,45] (45,50] 频数 3 5 8 频率 0.12 0.20 0.32

?

? 5? ? 3 ), x ? R ,且 f ? ?? , 4 ? 12 ? 2

n1 n2

f1 f2

(1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; (2)求在这 25 名工人中任意抽取 2 人,且恰有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35] 的概率; (3)求在该厂大量的工人中任取 4 人,至多有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35] 的概率. 18、 (本小题满分 14 分)

O 是 BC1 与 B1C 的交点 如图 4,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(1)求直线 AO 与直线 C1D1 所成角的余弦值; (2)求直线 AO 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值; (2)求二面角 D ? AC ? B1 的正切值.
A1 D1 B1 O C C1

D A B

19、 (本小题满分 14 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 满足

S n 2 ? ? n 2 ? n ? 3? S n ? 3 ? n 2 ? n ? ? 0, n ? N ? ①
(1)求 a1 的值; (2)对①进行因式分解并求数列 ?an ? 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? ② a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1? an ? an ? 1? 3

20、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , 以该椭圆上的点和椭圆的左、 右焦 2 a b 2

点 F1、F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点. (1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,证明:k1· k2=1.

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?

2 ? a ? 2 ? ln x ?? a ? R ? ,讨论函数 f ? x ? 的单调性. x

参考答案 DBCDBDDB 9. R 10. y ? ?5x ? 1 11.

7 120

12.3 13. 50 14. x ?

1 15.16 2

16、 解: (1) 依题意有 f ? 分)

2? 3 3 ? 5? ? ? 5? ? ? ? ? ? A sin ? A ? ,所以 A ? 3(3 ? ? A sin ? 3 2 2 ? 12 ? ? 12 4 ?

(2)增区间: 2k? ?

?
2

? x?

?
4

? 2 k? ?

?
2

, 2 k? ?

3? ? ? x ? 2 k? ? , 4 4

即 f ? x ? 的单调增区间为 ? 2k? ? 减区间: 2k? ?

? ?

3? ?? , 2k? ? ? ? k ? Z ? (6 分) 4 4?
3? ? 5? , 2 k? ? ? x ? 2 k ? ? , 2 4 4

?
2

? x?

?
4

? 2 k? ?

即 f ? x ? 的单调减区间为 ? 2k? + (3)? 0 ? x ? ? ,

? ?

?
4

, 2k? ?

5? ? ? k ? Z ? (9 分) 4 ? ?
?当 x ?

?

?
4

? x?

?
4

?

5? , 4

?
4

?

?
2

,即 x =

? 时, f ? x ? 4

取得最大值为 3 ,没有最小值.(12 分) 注意:单调区间没有写成区间形式每个扣 1 分;没有写 k ? Z 扣一分;求出最小值,扣 1 分 17、解: (1) n1 ? 7, n2 ? 2, f1 ? 0.28, f2 ? 0.08 (3 分)(全对给 3 分,部分对给 1 分) (2)25 名工人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为 5 人,设在这 25 名工人中任 意 抽 取 2 人 , 且 恰 有 1 人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 (30,35] 的 事 件 为 A , 则

P ? A? ?

1 1 C5 ? C20 1 ? (6 分) 2 C25 3

(3)由(1)知,任取一人,日加工零件数落在区间(30,35]的概率为

1 , 5

设该厂任取 4 人,没有人日加工零件数落在区间(30,35]的事件为 B ,恰有 1 人人日加工 零件数落在区间(30,35]的事件为 C ,

1 ? 4 ? 256 ? 1 ? ? 4 ? 256 则 P ? B ? ? ?1 ? ? ? ? ? = (8 分) , P ? C ? =C1 , (10 分) 4 ? ?? ? = 5 ? 5 ? 625 ? 5 ? ? 5 ? 625
故 至 多 有 1 人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 ( 30,35 ] 的 概 率 为

4

4

3

P ? B ? ? P ?C ? ?

256 256 512 ? ? 625 625 625 512 (12 分) 625

答:在该厂任取 4 人,至多有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为

18、解: (1)

6 6 (4 分) (2) (8 分) (3) ? 2 (14 分) 3 3
(3 分) (2) an ? 2n (9 分)

注意:本题用传统方法和向量方法皆可,老师们酌情设置给分点. 19、解: (1) a1 ? 2 (3)由于

1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? an ? an ? 1? 2n ? 2n ? 1? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ?
1 1?1 1 1 1 ? 1 1 1 + ? ? ??? ? ? ? + ? ,即②成立(14 分) 6 2?3 5 2n ? 1 2 n ? 1 ? 6 6 3

故② 左边 ?

c 2 20、解:(1)设椭圆的半焦距为 c,由题意知: = , a 2 2a+2c=4( 2+1),所以 a=2 2,c=2,又 a2=b2+c2,因此 b=2. x2 y2 故椭圆的标准方程为 + =1.(4 分) 8 4 x2 y2 由题意设等轴双曲线的标准方程为 2- 2=1(m>0), m m 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以 m=2, x2 y2 因此双曲线的标准方程为 - =1.(8 分) 4 4 (2)证明:P(x0,y0), y0 y0 2 则 k1= ,k = .因为点 P 在双曲线 x2-y2=4 上,所以 x2 0-y0=4. x0+2 2 x0-2
2 y0 y0 y0 因此 k1k2= · = 2 =1,即 k1k2=1.(14 分) x0+2 x0-2 x0-4

21、解: f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? , f

'

? x? ?

x 2 ? ax ? 2 (4 分) x2

(1)当 a ? 0 时, f

'

? x? ?

x 2 ? ax ? 2 ? 0 , f ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上是增函数; (8 分) x2

2 2 (2) 当 a ? 0 时, 设 g ? x ? ? x ? ax ? 2 ? x ? 0? , 则二次方程 g ? x ? ? 0 的判别式 ? ? a ? 8

2 i)当 ? ? a ? 8 ? 0 时, g ? x ? ? x ? ax ? 2 ? 0 , f ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上是增函数;
2

ii ) 当 ? ? a ? 8 ? 0 时 , 二 次 方 程 g ? x ? ? 0 有 两 个 不 相 同 的 实 数 根 , 记 为
2

x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ,结合函数 g ? x ? 的图像可知 , x2 ? 2 2

, f ? x ? 在区间 ? 0, x1 ? 和 ? x2 , ??? 上是增函数,在区间 ? x1 , x2 ? 上是减函数.(14 分) (也可以用韦达定理说明 x1 ? x2 ? a ? 0, x1 ? x2 ? 2 ? 0 ,故 x1 , x2 均为正数)


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