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2017苏教版高一数学三角函数的周期性1.doc


第十一课时 三角函数的周期性 教学目标: 掌握函数的周期性,会求简单函数的最小正周期,掌握正弦函数、余弦函数的周期及求 法;渗透数形结合思想,培养辩证唯物主义观点. 教学重点: 正、余弦函数的周期 教学难点: 函数的周期性 教学过程: 由单位圆中的三角函数线可知,正、余弦函数值的变化呈现出周期现象,每当角增加(或 减少)2π ,所得角的终边与原来角的终边相同,故两角的正、余弦函数值也分别相同.即有: sin(2π +x)=sinx,cos(2π +x)=cosx, 正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性. 一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 由此可知,2π ,4π ,?,-2π ,-4π ,?2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期. 根据上述定义,可知: 正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π . 以后如果不加特别说明,函数的周期一般都是指最小正周期 正切函数是周期函数,且周期 T=π 课本 P26 例 1、例 2 一般地,函数 y=Asin(ω x+ ? )及 y=Acos(ω x+ ? )(其中 A、ω 、 ? 为常数,且 A≠0, 2π π ω >0)的周期 T= ,函数 y=Atan (ω x+ ? )的周期 T= ω ω 周期函数应注意以下几点: 1.式子 f(x+T)=f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何 x,式子都成立.而不能 是“一个 x”或“某些个 x” ,另一方面,判断一个函数不是周期函数,只需举一个反例就行 了. π 5π π 5π π 例如:由于 sin( + )=sin ,即 sin(x+ )=sinx.该式中 x 取 时等式成立,能 12 6 12 6 12 5π π 5π 否断定 是 sinx 的周期呢?不能, 因对于其他一些 x 值该式不一定成立.如 x= 时, sin(x+ ) 6 6 6 ≠sinx. [例]函数 y=cosx(x≠0)是周期函数吗? 解: 不是, 举反例, 当 T=2π 时, 令 x=-2π , 则有 cos(x+2π )=cos(-2π +2π )=cos0 =1,但 x=0,不属于题设的定义域,则 x 不能取-2π ,故 y=cosx(x≠0)不是周期函数. 2.式子 f(x+T)=f(T)是对“x”而言.

例如,由 cos( cos(

x x +2kπ )=cos 3 3

x (k∈Z),是否可以说 cos 的周期为 2kπ 呢?不能!因为 3 x (k∈Z),所以 cos 的周期是 6kπ ,而不 3

x+6kπ x+6kπ x x +2kπ )=cos ,即 cos =cos 3 3 3 3

是 2kπ (k∈Z). 3.一个函数是周期函数,但它不一定有最小正周期.例如,f(x)=a(常数),显然任何一个正 数 T 都是 f(x)的周期,由于正数中不存在最小的数,所以周期函数 f(x)=a 无最小正周期. 4.设 T 是 f(x)(x∈R)的周期,那么 kT(k∈Z,且 k≠0)也一定是 f(x)的周期,定义规定了 T 为一个实常数,而不是一个变数;同时也规定了 T 的取值范围,只要求不为零,不要误认为 T 一定是π 的倍数. 有许多周期函数的周期中是不含“π ”的,如下面几例: 2π [例 1]函数 y=sinπ x 的周期是 T= =2. π π 1 [例 2]函数 y=tan2π x 的周期是 T= = . 2 2π [例 3]若对于函数 y=f(x)定义域内的任何 x 的值,都有 f(x+1)=f(x)成立,则由周期函 数的定义可知,函数 y=f(x)是周期函数,且 T=1 是其周期. [例 4]设 f(x)定义在 R 上,并且对任意的 x,有 f(x+2)=f(x+3)-f(x+4). 求证:f(x)是周期函数,并找出它的一个周期. 证明:∵f(x+2)=f(x+3)-f(x+4) ① ∴f(x+3)=f(x+4)-f(x+5) ② ①+②得:f(x+2)=-f(x+5) ③ 由③得:f(x+5)=-f(x+8) ④ ∴f(x+2)=f(x+8) 即 f(x)=f(x+6) ∴f(x)为周期函数,一个周期为 6. 5.周期函数必须是函数,但一定要克服思维定势,认为周期性是三角函数所独有的,实质 上我们学过的非周期函数 f(x)(如 y=log2x,y=|x|,y=2x,y=x2 等等)将其定义域内限制在 一个半开半闭区间上,经左右平移,可以延拓变为周期函数,例如将非周期函数 y=x2(x∈R) 在其定义域 R 内限制在(-1,1] ,然后将 y=x2(-1<x≤1)的图象左、右平移,可以延拓为最 小正周期为 2 的周期函数 f(x)=(x-2k)2(2k-1<x≤2k+1),k∈Z,如图:

[例]已知 f(x)=|x|,x∈(-1,1] ,求定义在 R 上的一个周期为 2 的函数 g(x),使 x ∈(-1,1]时,g(x)=f(x). 解:由 g(x)的周期性可画出 g(x)的图象.如图:

对于任意的 x∈R,x 一定在周期为 2 的区间(2n-1,2n+1]内,则 x-2n∈(-1,1]. ∴g(x)=g(x-2n)=f(x-2n)=|x-2n|, 即 g(x)= ?

? x ? 2n,2n ? x ? 2n ? 1 ?? x ? 2n,2n ? 1 ? x ? 2n

评述:(1)要判定 f(x)是周期函数,自变量 x 必须取遍定义域内的每一个值. (2)周期函数是高考中的热点,只有深层次的理解周期函数的意义,才能臻化入境,运用 自如. 课堂练习: 课本 P27 练习 1~4 课时小结: 要初步掌握三角函数的周期性. 课后作业: 课本 P45 习题 1


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