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2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编7:立体几何_图文

2014 届高三文科数学一轮复习之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 7:立体几何
一、选择题 1 .(【解析】山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟文科数学)多面体 MN-ABCD 的底面 ABCD 为矩形,其正

(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则 AM 的长

( A. 3 B. 5 C. 6 D. 2 2



【答案】 C

,由正视图可知 MN ? 2, EF ? 4 ,由侧视图可知多面体的高

为 2, BC ? 2 .所以 FK ? 1 , MF ?

22 ? 12 ? 5 ,所以 AM ? MF 2 ? AF 2 ? ( 5) 2 ? 12 ? 6 ,



C.

2 .(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文(a))设 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个

不同的平面,下列命题正确的是 A. m // ? , n // ? 且 ? // ? , 则 m // n C. m ? ? , n ? ? , m ? n, 则 ? ? ? B. m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n D. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ? // ?





【答案】 解析】 中直线 m, n 也有可能异面,所以不正确.B 正确.C 中 ? , ? 不一定垂直,错误.D 当 m, n 【 B A

相交时,结论成立,当 m, n 不相交时,结论错误.所以选 体积为

B.

3 .(【解析】山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学)一个几何体的三视图如右图所示,则它的

第 11 题图

( B



A.

20 3

40 . 3

C.20

D.40

【答案】B 由三视图可知,该几何体是一个放到的四棱锥,其中四棱锥的底面是主视图,为直角梯形,直

角梯形的上底为 1,下底为 4,高为 4.棱锥的高位 4,所以四棱锥的体积为 ?

1 1? 4 40 ,选 ? 4? 4 ? 3 2 3

B.
4 .(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学)已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个

不同平面,给出四个命题: ①若 ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m ,则 ? ? ? ③若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? ②若 m ? ? , m ? ? ,则 ? / / ? ④若 m / /? , n / / ? m / / n ,则 ? / / ? ( D.②④ )

其中正确的命题是 A.①② B.②③ C.①④ 【答案】B 由面面垂直的性质可知②③正确. 所示,则此几何体的体积是

5 .(【解析】山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图


3 3 . 3 3



A.36 cm B.48 cm C 60 cm D.72 cm 【答案】B 解:由三视图可知,上面是个长为 4 宽为 2 的长方体,下面是一个发放倒的四棱柱,高为 4,底

面 是 个 梯 形 , 上 下 底 分 别 为 2,6, 高 为 2. 所 以 长 方 体 的 体 积 为 4 ? 2 ? 2 ? 16 , 四 棱 柱 的 体 积 为

4?

2?6 ? 2 ? 32 ,所以该几何体的体积为 32 ? 16 ? 48 ,选 2

B.

6 .(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学 )点 M、N 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1

的棱 A1B1、A1D1 的中点,用过 ( ) A.M、N 和 D.N、C1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图,则该几何体的 正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为

( A.①、②、③ B.②、③、③ C.①、③、④ D.②、④、③ 【答案】B【解析】由三视图的定义可知,该几何体的三视图分别为②、③、③,选



B. 7 .(【解析】山东省临沂市 2013 届高三 3 月教学质量检测考试(一模)数学(文)试题)具有如图所示的 正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为

( A.3
【答案】D



B.7+3 2

C.

7 ? 2

D.14

由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的 圆 柱 . 由 图 象 可 知 四 棱 柱 的 体 积 最 大 . 四 棱 柱 的 高 为 1, 底 面 边 长 分 别 为 1,3, 所 以 表 面 积 为

2(1? 3 ? 1? 1 ? 3 ? 1) ? 14 ,选

D.

8 .(【解析】山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(文)试题)右图是底面半径为 1,母线长均为

2 的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的侧视图的面积为

A. 8?

B. 6?

C. 4 ? 3

D. 2 ? 3

【答案】C【解析】该组合体的侧视图为

.其中正方形的边长为 2,三角形为边

长为 2 三角形,所以侧视图的面积为 22 ?

1 2 3 ?2 ? ? 4 ? 3 ,选 2 2

C.

9 .(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题)一个四棱锥的底面为正方形,其

三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是

( A.1
【答案】 B



B.2 C.3 D.4 由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为 2 的正方形,故其底面积

为 4?

1 ?1?1 ? 2 .由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组 2
2 2

成一个直角三角形由于此侧棱长为 13 ,对角线长为 2,故棱锥的高为 ( 13) ? 2 ? 9 ? 3 .此棱 锥的体积为 ? 2 ? 3 ? 2 ,选

1 3

B. ( )

10.(【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)下列命题中错误的是 ..

A.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果平面 ? ? 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,那么直线 l ? 平面 ? D.如果平面 ? ? 平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ?
【答案】D 解:根据面面垂直的的性质可知,D 错误. 11.(【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(文))某几何体的三视图如图所示(单

位:cm),则该几何体的体积为

( A. (16 + p )cm
3



B. (16 + 3p )cm

3

C. (20 + 4p )cm

3

D. (18 + p )cm

3

【答案】B 解:由三视图可知,该几何体上面是个长宽都是 4,高为 1 的长方体,下面是直径为 2,高为 3

的圆柱.所以长方体的体积为 1? 4 ? 4 ? 16(cm ) ,圆柱的体积为 ? ? 3 ? 3? (cm ) ,所以该几何体的体
3 3

积为 (16 + 3p )cm ,选

3

B.

12.(【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)如图,若一个空间几何体的三视图中,正视

图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为 1,则该几何体的体积为

( A.



1 3 1 3

B.

1 2

C.

1 6

D.1

【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为 1 的正方形,高为 1 的四棱锥,所以

体积为 ? 1? 1? 1 ? A.

1 ,选 3





13 . ( 【 解 析 】 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 直 线 a 和 平 面

?、?,? I ? ? l , a ? ? , a ? ? ,且 a 在 ?、? 内的射影分别为直线 b 和 c,则 b 和 c 的位置关系是
( A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 )

【答案】D【解析】由题意,若 a / / l ,则利用线面平行的判定,可知 a / /? , a / / ? ,从而 a 在 ?、? 内的

射影分别为直线 b 和 c 平行;若 a ? l ? A ,则 a 在 ?、? 内的射影直线 b 和 c 相交于点 A;若

a ? ? ? B , a ? ? ? C ,且直线 a 和 l 垂直,则 a 在 ?、? 内的射影直线 b 和 c 相交;否则直线 b 和 c
异面,综上所述,b 和 c 的位置关系是相交﹑平行或异面故选 D.
14.【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)如图,一个空间几何体的正 (

视图、侧视图都是面积为 为

3 ,且一个内角为 60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积 2

( A. 2 3 B. 4 3 C.4 D.8



【答案】C 由三视图可知,该几何体是由两个相同的四棱锥构成的组合体.因为正视图、侧视图都是面

积为

1 3 2 3 3 ,且一个内角为 60°的菱形,所以设边长为 a ,则 2 ? a 2 sin 60? ? ,所以 a ? 1 . a ? 2 2 2 2
1 ?1?1 ? 4 ,选 2
C.

则四棱锥的各侧面的斜高为 1,所以这个几何体的表面积为 8 ?

15.(【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)已知 m , n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为

两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ?





B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面

? 的距离相等,则 ? // ?
C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ?
【答案】D

D.若 m // n, n ? ? ,则 m ? ?

根据线面垂直的性质可知,选项 D 正确. ( )

16.(【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)下列命题正确的是

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【解析】 ( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以错误.B 中,若三点共线,则两平面不一定平行,所以错误.C 正确.D 若两个平面都垂直于第三个平 面,则这两个平面平行或相交,所以错误.所以命题正确的为 C,选 C. 17. (【解析】山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试文科数学)已知某几何体的侧视图与其正视图相同, 相关的尺寸如下图所示,则这个几何体的体积是

4 正 视 图 侧视图
主视图

3

俯视图
主视图

( ` D.



A. 8?

B. 7?

C. 2?

7? 4

3 【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是一个半径分别为 2 和 2 的同心圆柱,大圆柱内挖掉了小 3 7? 4? ?1 ? ? ( ) 2 ?1 ? 2 4 ,选 圆柱.两个圆柱的高均为 1.所以几何体的体积为
中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为

D.

18.(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学)有一平行六面体的三视图如图所示,其

( A. 21 3 B. 6 ? 15 3 C. 30 ? 6 3 D.42



【答案】 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形,两个侧面和底面垂直.其中侧棱 AA1 C

? 2 .底面

边 长 AD ? 3 , 平 行 六 面 体 的 高 为

3 . BE ? 2 , 又 AE ? AA12 ? A1 E 2 ? 22 ? ( 3) 2 ? 1 , 所 以

AB ? 1 ? 2 ? 3 . 所 以 平 行 六 面 体 的 表 面 积 为 2(3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 2)=30 ? 6 3 , 选

C.
19.(【解析】山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试 数学(文)试题)一个几何体的三视图如图所示,其

中的长度单位为 cm,则该几何体的体积为(

)cm .

3

( A.18 B.48 C.45 D.54



【答案】D 由三视图可知,该几何体时底面是矩形的四棱柱,以俯视图为底,底面直角梯形的上底为 4,

下底为 5,高为 3.棱柱的高为 4,所以四棱柱的体积为

4?5 ? 3 ? 4 ? 54cm3 ,选 2

D.

20.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体

积不可能是

( A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3



【答案】 由三视图可知,该几何体时一个侧面和底面垂直的的三棱锥,

,

其 中 底 面 三 角 形 BAC 为 直 径 三 角 形 , PA ? ABC , AB ? 2 , PC ? 4 , 设 AC ? x, 0 ? x ? 4 , 则

PA ? 42 ? x 2 ? 16 ? x 2

,



















1 1 x ? 16 ? x 2 1 x 2 ? ( 16 ? x 2 ) 2 16 8 ? ? 2 x ? 16 ? x 2 ? ? ? ? ? , 当 且 仅 当 x ? 16 ? x 2 , 即 3 2 3 3 2 6 3
8 2 x 2 ? 8, x ? 8 ? 2 2 时取等号,此时体积有最大值 ? 2 ,所以该三棱锥的体积不可能是 3,选 D. 3 3
21.(山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文)一个三棱锥的三视图 如图所示,则该三棱锥的体积



( A.



1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

1 6

【答案】由三视图可知该三棱锥的侧棱和底面垂直,三 棱锥的高为 1,底面直角三角形的两直角边分别

为 2,1,所以三棱 锥的体积为 ? A.

1 1 1 ? 2 ?1?1 ? ,选 3 2 3





22.(【解析】山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学)已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,

下列命题正确的是 ①

l ?m?a

∥ ②

?
l


m ?? ? ?


? ?? ?l

∥ ④

m

?




? ?l ?m
A.①② B.③④ C.②④ D.①③



【答案】C① ? , ? 有可能相交,所以错误.②正确.③当 ? ? ? 时,由 l / / ? 或 l ?

? ,不一定有 l / / m ,错

误.④正确,所以选 C.
23.(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文(a))一个几何体的三视图如图所示,其中

主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该 球的表面积是

( A. 12?



B. 24? C. 32? D. 48? 【答案】 【解析】 D 该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,高为 CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为
2

AC1 ? 4 3 ? 2 R ,
2

所 以 球 的 半 径 为 R ? 2 3 ,, 所 以 球 的 表 面 积 是 4? R ? 4? ? (2 3) ? 48? , 选

D.
24.(【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)一个几何体的三视图如图所示,其中

俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的体积是





A.

32? 3

B. 8?

C.

16? 3

D. 32?

正视图

左视图

俯视图

【答案】B

由三视图可知,该几何体是一挖去 B.

1 3 3 4 半球的球.即所求的体积为 V球 = ? ? ? 23 ? 8? , 2 4 4 3



25. (【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是

两个不同的平面,给出下列条件,能得到 m ? ? 的是 A. ? ? ? , m ? ? C.m⊥n, n ? ? B.m⊥ ? , ? ? ? D.m∥n, n ? ? D.





【答案】根据线面垂直的判断和性质可知,D 正确,选 二、填空题

26.(【解析】山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(文)试题)已知矩形 ABCD 的顶点都在半

径为 5 的球 O 的球面上,且 AB ? 8, BC ? 2 3 ,则棱锥 O—ABCD 的体积为______.

16 【答案】

2

球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上.所以对角线长为 8 ? (2 3) ? 2 19 ,
2 2
2 2

所以棱锥的高为 5 ? ( 19) ?

1 6 ,所以棱锥的体积为 ? 6 ? 8 ? 2 3 ? 16 2 . 3

27.(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)已知一圆柱内接于球 O,且圆柱的底面直

径与母线长均为 2,则球为 O 的表面积为_____.
【答案】 8? 圆柱的底面直径与母线长均为 2,所以球的直径

22 ? 22 ? 8 ? 2 2 ,即球半径为 2 ,

所以球的表面积为 4? ? ( 2) 2 ? 8? .
28.(【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)已知一个空间几何体的三视图如

图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是 _____.

5? 解:由三视图可知,该几何体的上面是个半球,球半径为 1,下面是个圆柱,底面半径为 1,圆 3 1 4 5? 柱的高为 1.所以该几何体的体积为 ? ? ? ? ? . 2 3 3
【答案】 29.(【解析】山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试文科数学)三棱锥 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的

中 点 ,F 、 G

分 别 是

CB 、 CD

的 中 点 , 若 AC ? BD ? 3 , AC ?BD ? 1 , 则

EG 2 ? FH 2 ? ___________.

7 【答案】 2 【解析】

易知四边形 EFGH 是平行四边形,

??? ??? ??? 1 ???? 1 ??? ???? ???? ??? 1 ??? 1 ???? ? ? ? ? ? ? EG ? EF ? FG ? AC ? BD HF ? HE ? EF ? DB ? AC 2 2 2 2 , , ??? 2 ? ? ? ? 1 ???? 1 ??? 1 ???? 2 1 ???? ??? 1 ??? 2 EG ? ( AC ? BD) 2 ? AC ? AC ?BD ? BD 2 2 4 2 4 所以 , ???? 2 ? ? 1 ???? 1 ??? 1 ???? 2 1 ???? ??? 1 ???? 2 HF ? ( AC ? DB ) 2 ? AC ? AC ?DB ? DD 2 2 4 2 4 , ??? 2 ???? 2 1 ???? 2 1 ???? ??? 1 ??? 2 1 ???? 2 1 ???? ??? 1 ??? 2 ? ? ? ? ? EG ? FH ? AC ? AC ?BD ? BD ? AC ? AC ?BD ? BD 4 2 4 4 2 4 所以 ? 1 1 1 7 ( AC 2 ? BD 2 ) ? [( AC ? BD) 2 ? 2 AC ?BD] ? (32 ? 2) ? 2 2 2 2.

30.(【解析】山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学)一空间几何体的三视图如图所示,该几何

体的体积为

16? ?

8 5 ,则图中 x 的值为_______________. 3

【答案】3 由三视图可知,该几何体下面是个圆柱,上面是个四棱锥.圆柱的体积为 4? ? 4 ? 16? ,四棱

锥的底面积为

8 5 8h 1 1 8h ,所以 16? ? ,所以 ? 16? ? ? 4 ? 4 ? 8 ,所以四棱锥的体积为 ? 8 ? h ? 3 3 2 3 3

四棱锥的高 h ? 5 .所以 x 2 ? h 2 ? 22 ? 5 ? 4 ? 9 ,即 x ? 3 .
31.(【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)如图,三棱柱的棱长为 2,底面是

边长为 2 的正三角形,AA1⊥面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积 为_________.

【答案】 2 三、解答题

3 【解析】因为俯视图为正三角形,所以俯视图的高为 3 ,所以左视图的面积为 2 3 .

32.(【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文) 如图,在 ?ABC

? 45? , O 在 AB 上,且

OB ? OC ?

2 1 AB ,又 PO ? 平面 ABC,DA//PO,DA=AO= PO . 3 2

(I)求证:PB//平面 COD; (II)求证:平面 POD ? 平面 COD.

【答案】

33.(【解析】山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学)已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱

形,PA=PD,∠BAD=60°, E 是 AD 的中点,点 Q 在侧棱 PC 上. (1)求证:AD⊥平面 PBE; (2)若 Q 是 PC 的中点,求证 PA∥平面 BDQ; (3)若 VP ? BCDE ? 3VQ ? ABCD ,试求
【答案】

CP 的值. CQ

34. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学文)如图所示,ABCD 是边长为 a 的正方形,△PBA 是以角

B 为直角的等腰三角形,H 为 BD 上一点,且 AH⊥平面 PDB. (1)求证:平面 ABCD⊥平面 APB; (2)点 G 为 AP 的中点,求证:AH=BG.

【答案】

35.(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学) 已知正三棱柱

ABC ? A1 B1C1 中,AB

=2, AA1 ? 3 , 点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1 上 (I)当 AE : EA1 ? 1: 2 时,求证 DE ? BC1 ; (Ⅱ)是否存在点 E,使三棱锥 C1 ? BDE 的体积恰为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 体积的 若不存在,请说明理由.

1 ,若存在,求 AE 的长, 3

【答案】

36.(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题)(本小题满分 12 分)

在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形, AE ? 1, AE ? 平面 ABC,平面 BCD ? 平面 ABC,BD=CD,且 BD ? CD. (I)AE//平面 BCD;(II)平面 BDE ? 平面 CDE.

第 19 题图

E

D A C
【答案】

M

B

证明:(Ⅰ) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM ,由已知可得 DM ? 1 , DM ? BC , AM ? BC . 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC 因为 AE ? 平面 ABC , 所以 AE ∥ DM 又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD 所以 AE ∥平面 BCD (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AE ∥ DM ,又 AE ? 1 , DM ? 1 , 所以四边形 DMAE 是平行四边形,则有 DE ∥ AM . 因为 AM ? 平面 BCD , 所以 DE ? 平面 BCD 又 CD ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD 由已知 BD ? CD , 则 CD ? 平面 BDE 因为 CD ? 平面 CDE , 所以平面 BDE ⊥平面 CDE (也可利用勾股定理证明题中的垂直关系.)
37. 【解析】 ( 山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试 数学 (文) 试题) 如图所示的几何体中,四边形 ABCD 在

为矩形,EA⊥平面 ABCD,EF// AB,AB=4,AE=EF =2. (1)若 G 为 BC 的中点,求证:FG∥平面 BDE; (2)求证:AF⊥平面 FBC.

【答案】

38.【解析】 ( 山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试 (数学文) 解析) 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1

?

底面 ABC, ?ABC ? 90? ,BC=BB1,M,N 分别是 AB,A1C 的中点. (I)求证:MN//平面 BCC1B1; (II)求证: MN ? 平面 A1B1C.

【答案】

39. 【解析】 ( 山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 (文) 试题) 在如图所示的几何体中,平面 ACEE⊥

平面 ABCD,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ACB=90℃,EF//BC, AC ? BC ? (1)求证;AE⊥平面 DCEF;(2)求三锥 F-ABC 的体积.

2 ,AE=EC=1.

【答案】

40.(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学 )如图,在四棱锥 S-ABC 中,底面 ABCD 是

矩形,SA ? 底面 ABCD,SA=AD,点 M 是 SD 的中点,AN ? SC,且交 SC 于点 N. (I)求证:SB∥平面 ACM; (II)求证:平面 SAC ? 平面 AMN.

【答案】证明:(Ⅰ)连接 BD,交 AC 于点 O,连接 MO

? ABCD 为矩形, ? O 为 BD 中点
又 M 为 SD 中点, ? MO//SB MO ? 平面 ACM,SB ? 平面 AC ? SB//平面 ACM (Ⅱ) ? SA ? 平面 ABCD,? SA ? CD ? ABCD 为矩形,? CD ? AD,且 SA ? AD=A

O

? CD ? 平面 SAD,? CD ? AM

? SA=AD,M 为 SD 的中点
? AM ? SD,且 CD ? SD=D ? AM ? 平面 SCD ? AM ? SC 又? SC ? AN,且 AN ? AM=A ? SC ? 平面 AMN ? SC ? 平面 SAC,? 平面 SAC ? 平面 AMN
41. (【解析】山东省临沂市 2013 届高三 3 月教学质量检测考试(一模)数学(文)试题)如图,五面体 ABCDEF

中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 ABF 是等边三角形,棱 EF//BC,且 EF= (I)证明:EO//面 ABF; (Ⅱ)若 EF=EO,证明:平面 EFO ? 平面 ABE.

1 BC. 2

【答案】

42. ( 【解析】 山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文 (a) 如图,五面体中,四边形 ABCD 是矩形,DA ? )

面 ABEF,且 DA=1,AB//EF, AB ?

1 EF ? 2 2 , AF ? BE ? 2 ,P、Q、M 分别为 AE、BD、EF 的中点. 2 (I)求证:PQ//平面 BCE;(II)求证:AM ? 平面 ADF;

【答案】

43 . ( 【 解 析 】 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 5 月 高 考 模 拟 文 科 数 学 ) 如 图 ,AD ? 平 面

ABC,AD∥CE,AC=AD=AB=1,∠BAC=90°,凸多面体 ABCED 的体积为
(Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE.
E D

1 ,F 为 BC 的中点. 2

A B

F 第 19 题图

C

【答案】(Ⅰ)证明:∵AD⊥平面 ABC,AC ? 面 ABC,AB ? 面 ABC,
E D G A B F 第 19 题图 C

∴AD⊥AC,AD⊥AB, ∵AD∥CE,∴CE⊥AC ∴四边形 ACED 为直角梯形. 又∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,∴AB⊥面 ACED. ∴凸多面体 ABCED 的体积 V ?

1 ? S ACED ? AB 3

1 1 1 ? ? ? (1 ? CE ) ? 1? 1 ? , 3 2 2
求得 CE=2.

取 BE 的中点 G,连结 GF,GD, 则 GF∥EC,GF ?

1 CE=1, 2

∴GF∥AD,GF=AD,四边形 ADGF 为平行四边形, ∴AF∥DG. 又∵GD ? 面 BDE,AF ? 面 BDE, ∴AF∥平面 BDE. (Ⅱ)证明:∵AB=AC,F 为 BC 的中点, ∴AF⊥BC. 由(Ⅰ)知 AD⊥平面 ABC,AD∥GF,∴GF⊥面 ABC. ∵AF ? 面 ABC,∴AF⊥GF. 又 BC ? GF=F,∴AF⊥面 BCE. 又∵DG∥AF,∴DG⊥面 BCE. ∵DG ? 面 BDE,∴面 BDE⊥面 BCE.
44.(【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)如图,几何体 ABCD ? B1C1 D1 中,四边

形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , AB ? a ,面 B1C1 D1 ∥面 ABCD , BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面

ABCD ,且 BB1 ? 2a , E 为 CC1 的中点.
(Ⅰ)求证: ?DB1 E 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求证: AC ∥面 DB1 E .
D1
B1

C1

E

D
A

C

B

【 答 案 】 解 :(I) 连 接 BD , 交

AC 于 O , 因 为 四 边 形
D1 B1 C1

ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? ,所以 BD ? a
因为 BB1 、 CC1 都垂直于面 ABCD , ? BB1 // CC1 又面

B1C1 D1 ∥面 ABCD ,? BC // B1C1
所以四边形 BCC1 B1 为平行四边形 ,则 B1C1 ? BC ? a 因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则

F
D A

E

C

O
B

DB1 ? DB ? BB ? a ? 2a ? 3a
2 2 1 2 2

DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ?

a2 6a ? 2 2 a2 6a ? 2 2

B1 E ? B1C12 ? C1 E 2 ? a 2 ?
所以 DE ? B1 E ?
2 2

6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 所以 ?DB1 E 为等腰直角三角形 4

(II)取 DB1 的中点 F ,连接 EF 、 OF 因为 O, F 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OF ∥ BB1 ,且 OF ? 因为 EC ∥ BB1 ,且 EC ?

1 BB1 2

1 BB1 ,所以 OF ∥ EC ,且 OF ? EC 2

所以四边形 EFOC 为平行四边形 所以 EF ∥ AC ,因为 AC ? 面 DB1 E , EF ? 面 DB1 E , 所以 AC ∥面 DB1 E
45.(【解析】山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(文)试题)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,

平面 PAB ? 平面 ABCD,AB=AD, ?BAD ? 60? ,E,F 分别是 AP,AB 的中点. 求证:(I)直线 EF//平面 PBC; (II)平面 DEF ? 平面 PAB.
【答案】

46.(【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)如图,E 是以 AB 为直径的半圆上

异于 A、B 的点,矩形 ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面,且 AB=2AD=2. (1)求证:EA⊥EC; (2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F. ①试证:EF //AB; ②若 EF =1,求三棱锥 E-ADF 的体积.

【答案】

47.(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)(本小题满分 1 )

如图,四边形 ABCD 中, AB ? AD ,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点 E、F 分别在 BC、AD 上,EF∥AB.现将 四边形 ABEF 沿 EF 折起,使平面 ABCD ? 平面 EFDC,设 AD 中点为 P. ( I )当 E 为 BC 中点时,求证:CP//平面 ABEF (Ⅱ)设 BE=x,问当 x 为何值时,三棱锥 A-CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.

【答案】解:(Ⅰ)取 AF 的中点 Q ,连 QE 、 QP ,

则 QP 所以 QP

1 DF ,又 DF = 4, EC = 2, 且DF ∥ EC , 2

EC ,即四边形 PQEC 为平行四边形,

所以 CP ∥ EQ ,又 EQ ? 平面 ABEF , CP ? 平面ABEF , 故 CP ∥平面 ABEF (Ⅱ)因为平面 ABEF ? 平面 EFDC ,平面 ABEF ? 平面 EFDC ? EF , 又 AF ? EF , 所以 AF ? 平面 EFDC. 由已知 BE ? x ,所以 AF ? x (0 ? x ? 4), FD ? 6 ? x.
1 1 故 VA?CDF ? ? ? 2 ? (6 ? x ) ? x, 3 2 1 1 ? (6 x ? x 2 ) ? ? ?( x ? 3) 2 ? 9 ? ? 3 3? 1 ? ? ( x ? 3) 2 ? 3. 3

所以,当 x = 3 时, VA- CDF 有最大值,最大值为 3.
48.(【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(文))如图所示,AD⊥平面 ABC,CE⊥平

面 ABC,AC=AD= AB=1,BC= 2 ,凸多面体 ABCED 的体积为 (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:平面 BDE⊥平面 BCE.

1 ,F 为 BC 的中点. 2

【答案】

49.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)三棱锥 P ? ABC ,底面 ABC 为边长为 2

3 的正

三角形,平面 PBC ? 平面 ABC , PB ? PC ? 2 , D 为 AP 上一点, AD ? 2 DP , O 为底面三角形中 心. (Ⅰ)求证 DO ∥面 PBC ; (Ⅱ)求证: BD ? AC ; (Ⅲ)求面 DOB 截三棱锥 P ? ABC 所得的较大几何体的体积. 【答案】证明:(Ⅰ)连结 AO 并延长交 BC 于点 E , 连结 PE 、 DO ? O 为正三角形 ABC 的中心, ∴ AO ? 2OE , A 又 AD ? 2 DP , ∴ DO ∥ PE , ? DO ? 平面 PBC , PE ? 平面 PBC ∴ DO ∥面 PBC (Ⅱ)? PB ? PC ,且 E 为 BC 中点, ∴ PE ? BC , A 又平面 PBC ? 平面 ABC ,∴ PE ? 平面 ABC 由(Ⅰ)知, DO ∥ PE ,∴ DO ? 平面 ABC , ∴ DO ? AC 连结 BO ,则 AC ? BO , 又 DO ? BO ? O ,∴ AC ? 平面 DOB , D P D O B F O E B C C P

∴ AC ? BD (Ⅲ)连结 BO 并延长交 AC 于点 F ,连结 DF ,则面 DOB 将三棱锥 P ? ABC 截成三棱锥 D ? ABF 和四棱锥 B ? DFCP 两个几何体

1 1 3 2 3 VD ? ABF ? ? S ?ABF ? DO ? ? 3? ? 3 3 2 3 3
1 1 VP ? ABC ? ? S ?ABC ? PE ? ? 3 3 ? 3 3 3
∴所截较大部分几何体的体积为

2 3 3

50.【解析】 ( 山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试文科数学) 如图,已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1

?

底面 ABC , AC ? BC , M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点. (1)求证: CN ? 平面 ABB1 A1 ; (2)求证: CN // 平面 AMB1 .

(第 19 题)
【答案】(1)证明:∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1

? 底面 ABC .

又 CN ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CN ∵ AC ? BC , N 是 AB 中点, ∴ CN ? AB ∵ AA1 I AB ? A , AA1 ? 平面 ABB1 A1 , AB ? 平面 ABB1 A1 ∴ CN ? 平面 ABB1 A1 (2)证明:取 AB1 的中点 G ,连结 MG , NG , ∵ N , G 分别是棱 AB , AB1 中点,

1 BB1 2 1 又∵ CM // BB1 , CM ? BB1 , 2 ∴ CM // NG , CM ? NG . ∴四边形 CNGM 是平行四边形. ∴ CN // MG
∴ NG // BB1 , NG ? ∵ CN ? 平面 AMB1 , GM ? 平面 AMB1 , ∴ CN// 平面 AMB1
51. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试 数学 (文) 试题) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD

是矩形,AB//EF, AB ? 2 EF,?EAB ? 90 ,平面 ABFE ? 平面ABCD .
?

(1)若 G 点是 DC 中点,求证: FG // 面AED . (2)求证: 面DAF ? 面BAF .

【答案】解:(1)? 若G点是DC中点,AB ? CD

? 2 EF , AB // EF

? EF // DG且EF ? DG

?四边形DEFG为平行四边形 ? FG // DE
又? FG ? 面AED

ED ? 面AED ? FG // 面AED
(2)(1)? 平面ABFE ? 平面ABCD,AD ? AB,? AD ? 平面BAF

又 ? AD ? 面DAF ? 面DAF ? 面BAF
52.(【解析】山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试文科数学)在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥平

面 ACD,DE⊥平面 ACD, 且 AC=AD=CD=DE=2,AB=1. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 (2)求多面体 ABCDE 的体积; (3)求直线 EC 与平面 ABED 所成角的正弦值.

BF∥平面 ACD,并证明这一事实;

E

B F A D

C
【答案】解答:如图,(1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB//ED,

设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,

// 1 // 连接 FH,则 FH ? ED ,∴ FH ? AB ,

2

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ BF // AH , 由 BF ? 平面 ACD 内, AH ? 平面 ACD,? BF // 平面 ACD; (2)取 AD 中点 G,连接 CG AB ? 平面 ACD, ∴CG ? AB 又 CG ? AD ∴CG ? 平面 ABED, 即 CG 为四棱锥的高, CG= 3 B F

E

1 (1 ? 2) ? 2? 3 = 3 ∴ VC ? ABED = ? 3 2 (3)连接 EG,由(2)有 CG ? 平面 ABED, ∴ ?CEG 即为直线 CE 与平面 ABED 所成的角, 设为 ? ,则在 Rt ?CEG 中,
有 sin ? ?

A

G H C

D

CG 3 6 ? ? CE 2 2 4
, 四 边 形

53.【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)如图,已知平面 ABEF ? 平 (



ABCD

ABEF







,







ABCD









形, ?DAB ? 90?, AB ? CD , AD ? AF ? 4, AB ? 2CD ? 8 .

(Ⅰ)求证: AF ? 平面 BCE ; (Ⅱ)求证: AC ? 平面 BCE ; (Ⅲ)求四棱锥 C ? ABEF 的体积.
【答案】

54.(【解析】山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学) 已知在如图的多面体中, AE ⊥底面

BEFC , AD // EF // BC , BE ? AD ? EF ?
(1)

1 BC , G 是 BC 的中点. 2

求证: AB // 平面 DEG ;(2)求证: EG ? 平面 BDF .
A
D

F

E B
G C

(2)

第 20 题图

【答案】证明:(1)∵ AD / / EF , EF / / BC ,

∴ AD / / BC 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD / /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG ,

A

D

F

E B
G C

∴ AB / / 平面 DEG (2)连结 GF ,四边形 ADFE 是矩形, ∵ DF // AE , AE ⊥底面 BEFC , ∴ DF ? 平面 BCFE , EG ? 平面 BCFE , ∴ DF ? EG ∵ EF //BG, EF ? BE , ∴四边形 BGFE 为菱形,∴ BF ? EG , 又 BF I DF ? F , BF ? 平面 BFD , DF ? 平面 BFD , ∴ EG ? 平面 BDF


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