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步步高高中数学 步步高选修2-1 第三章 3.2(三)

学习目标 1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹 角问题.3.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲. 知识点 利用空间向量求空间角 思考 1 空间角包括哪些角? 答案 线线角、线面角、二面角. 思考 2 求解空间角常用的方法有哪些? 答案 传统方法和向量法. 梳理 空间角包括线线角、线面角、二面角,这三种角的定义确定了它们相应的取值范围, 结合它们的取值范围可以用向量法进行求解. (1)线线角:设两条直线的方向向量分别为 a,b,且 a 与 b 的夹角为 φ,两条直线所成角为 θ, 则 cos θ=|cos_φ|=||aa|·|bb||. (2)线面角:设 n 为平面 α 的一个法向量,a 为直线 a 的方向向量,直线 a 与平面 α 所成的角 为 θ,则 ?2π-〈a,n〉,当〈a,n〉∈[0,π2], ? θ= ?〈a,n〉-π2,当〈a,n〉∈?π2,π]. (3)二面角的求法: ①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向 量的夹角(注意:要特别关注两个向量的方向). 如图所示,二面角 α-l-β 的大小为 θ,A,B∈l,AC?α,BD?β,AC⊥l 于 A,BD⊥l 与 B,则 θ=〈A→C,B→D〉=〈C→A,D→B〉. ②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离,然后通过解直角三角形求角. 1 如图所示,已知二面角 α-l-β,在 α 内取一点 P,过 P 作 PO⊥β,PA⊥l, 垂足分别为 O,A,连接 AO,则 AO⊥l 成立,所以∠PAO 就是二面角的平 面角. ③先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角,然后结合图形与题意判断 求出的是二面角的大小,还是它的补角的大小,从而确定二面角的大小. 类型一 求两条异面直线所成的角 例 1 如图所示,三棱柱 OAB-O1A1B1 中,平面 OBB1O1⊥平面 OAB, ∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且 OB=OO1=2,OA= 3,求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值的大小. 解 建立如图所示的空间直角坐标系,则 O(0,0,0), O1(0,1, 3),A( 3,0,0), A1( 3,1, 3),B(0,2,0), ∴A→1B=(- 3,1,- 3), O→1A=( 3,-1,- 3). ∴|cos〈A→1B,O→1A〉| →→ = |A1B·O1A| →→ |A1B |·|O1A| =|?- 3,1,- 3?·? 3,-1,- 7· 7 3?|=17. ∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为17. 反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时,若能构建空间直角坐标系,则建 立空间直角坐标系,利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线 所成角的区别. 跟踪训练 1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 A1D1、A1C1 的中点,求异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值. 解 不妨设正方体棱长为 2,分别取 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴, z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,则 A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),则A→E=(-1,0,2),C→F=(1,-1,2), 2 ∴|A→E|= 5,|C→F|= 6,A→E·C→F=-1+0+4=3. 又A→E·C→F=|A→E||C→F|cos〈A→E,C→F〉 = 30cos〈A→E,C→F〉, ∴cos〈A→E,C→F〉= 1300,∴所求值为 30 10 . 类型二 求直线和平面所成的角 例 2 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 2a,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角. 解 建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0, 2a), C1??- 23a,2a, 2a??, 方法一 取 A1B1 的中点 M,则 M(0,a2, 2a),连接 AM,MC1,有M→C1=(- 23a,0,0),A→B=(0,a,0), A→A1=(0,0, 2a). ∴M→C1·A→B=0,M→C1·A→A1=0, ∴M→C1⊥A→B,M→C1⊥A→A1, 则 MC1⊥AB,MC1⊥AA1, 又 AB∩AA1=A, ∴MC1⊥平面 ABB1A1. ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 A1ABB1 所成的角. 由于A→C1=??- 23a,2a, 2a??,A→M=(0,a2, 2a), ∴A→C1·A→M=0+a42+2a2=94a2, |A→C1|= 34a2+a42+2a2= 3a, |A→M|= a42+2a2=32a, 9a2 ∴cos〈A→C1,A→M〉= 3a4×32a= 3 2. ∵〈A→C1,A→M〉∈[0°,180°],∴〈A→C1,A→M〉=30°, 又直线与平面所成的角∈[0°,90°], ∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°. 3 方法二 A→B=(0,a,0),A→A1=(0,0, 2a), A→C1=??- 23a,2a, 2a??. 设侧面 ABB1A1 的法向量 n=(λ,y,z), ∴n·A→B=0 且 n·A→A1=0.∴ay=0 且 2az=0. ∴y=z=0.故 n=(λ,0,0). ∵A→C1=??- 23a,a2, 2a??, ∴cos〈A→C1,n〉=|nn|·|AA→→CC11|=-2λ|λ|, ∴|cos〈A→C1,n〉|=12. 又直线与平面所成的角∈[0°,90°], ∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°. 反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是:先利用图形的几何特征建立适当的空间直角 坐标系,再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常

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