koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> >>

高等代数北大版第章习题参考答案

第六章线性空间

1.设 M ? N, 证明: M N ? M , M N ? N 。

证任取? ? M , 由 M ? N, 得? ? N, 所以? ? M ? N, 即证 M ? N M 。又因 M ? N ? M , 故

M N ? M 。再证第二式,任取? ? M 或? ? N, 但 M ? N , 因此无论哪一种情形,都有? ? N,

此即。但 N ? M ? N, 所以 M N ? N 。

2.证明 M ? (N ? L) ? (M ? N) ? (M ? L) , M ? (N ? L) ? (M ? N) ? (M ? L) 。

证 ?x ? M ? (N ? L), 则 x ? M且x ? N ? L. 在后一情形,于是 x ? M ? N或x ? M ? L. 所以

x ? (M ? N) ? (M ? L) ,由此得 M ? (N ? L) ? (M ? N) ? (M ? L) 。反之,若

x ? (M ? N) ? (M ? L) ,则 x ? M ? N或x ? M ? L. 在前一情形, x ? M , x ? N, 因此

x ? N ? L. 故得 x ? M ? (N ? L),在后一情形,因而 x ? M , x ? L, x ? N L ,得

x ? M ? (N ? L),故 (M ? N) ? (M ? L) ? M ? (N ? L),

于是 M ? (N ? L) ? (M ? N) ? (M ? L) 。

若 x ? M (N L),则x? M,x? N L 。

在前一情形 X x ? M N , 且X ? M L,因而x ?(M N)(M L)。

在后一情形,x ? N,x ? L,因而x ? M N,且X ? M L,即X ?(M N)(M L)所以

(M N)(M L)? M (N L)



M (N L)=(M N)(M L)

即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
1) 次数等于 n(n ? 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;
2) 设 A 是一个 n×n 实数矩阵,A 的实系数多项式 f(A)的全体,对于矩阵的加法和数量乘法; 3) 全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4) 平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: 6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
k a?0;

7) 集合与加法同 6),数量乘法定义为:
k a?a;
8) 全体正实数 r,加法与数量乘法定义为:

a ?b ? ab , k a ? ak ;
解 1)否。因两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式,例如

(xn ? 5)?(? xn ? 2)? 3 。
2)令 V={f(A)|f(x)为实数多项式,A 是 n×n 实矩阵} 因为 f(x)+g(x)=h(x),kf(x)=d(x) 所以 f(A)+g(A)=h(A),kf(A)=d(A) 由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条,故 v 构成线性空间。 3)矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条性质,只需证明对称矩阵(上三角矩阵,反对 称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明: 当 A,B 为反对称矩阵,k 为任意一实数时,有
(A+B)? =A?+B?=-A-B=-(A+B),A+B 仍是反对称矩阵。 (KA)? ? KA? ? K(? A)? ?(KA),所以 kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。 4)否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
2
5)不难验证,对于加法,交换律,结合律满足,(0,0)是零元,任意(a,b)的负元是(-a, a -b)。
对于数乘:

即 (k ? l) ? (a,b) ? k ? (a,b) ? l ? (a,b) 。

= [k (a1

?

a2 ),k(b1

?

b2

?

a1a2

?

k(k ?1) 2

(a1

?

a2 )2 )],

= (ka1, kb1

?

k(k ?1) 2

a12 )

?

(ka2 , kb2

?

k(k ?1) 2

a22 )

= (ka1

?

ka2 , kb1

?

k(k ?1) 2

a12

?

k b2

?

k(k ?1) 2

a22

?

k

2 a1a2

)

= (k(a1 ? a2 ),k(b1 ? b2

?

a1a2

)

?

k(k ?1) 2

a12

?

?

k

(k ? 2

1)

a22

? k 2a1a2

?k

a1a2 )

= (k(a1

?

a2 ),k(b1

?

b2

?

a1a2 )

?

k(k ?1) 2

(a12

?

a22 )2 ) ,

即 k ? (a1, b1 ) ? (a2 , b2 ) ? k ? (a1,b1 ) ? k ? (a2 , b2 ) ,所以,所给集合构成线性空间。

6)否,因为1?? ? 0 ? ?. 。

7)否,因为 (k ? l) ? ? ? ?, k ? ? ? l ? ? ? ? ? ? ? 2?,所以(k ? l) ? ? ? (k ? ?) ? (l ? ? ) ,

所给集合不满足线性空间的定义。 8)显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的,满足

所以,所给集合 R? 构成线性空间。 4 在线性空间中,证明:1) k0 ? 0 2) k(? ? ? ) ? k? ? k? 。

证 1) k0 ? k(? ? (??)) ? k? ? k(??) ? k? ? k(?1)? ? (k ? (?k))? ? 0? ? 0 。

2)因为 k(? ? ? ) ? k? ? k(? ? ? ? ? ) ? k?,所以k(? ? ? ) ? k? ? k? 。

5 证明:在实函数空间中,1, cos2 t, cos 2t 式线性相关的。

证因为 cos2t ? 2cos2 t ?1 ,所以 1, cos2 t, cos 2t 式线性相关的。

6 如果 f1 (x), f 2 (x), f3 (x) 是线性空间 P[x] 中三个互素的多项式,但其中任意两个都不互素,那么他
们线性无关。
证若有不全为零的数 k1 , k2 , k3 使 k1 f1 (x) ? k2 f 2 (x) ? k3 f3 (x) ? 0 ,

不妨设

k1

?

0, 则

f1 ( x)

?

?

k2 k1

f2

(x)

?

k3 k1

f3 (x) ,这说明 f 2 (x), f3 (x) 的公因式也是

f1 (x) 的因

式,即 f1 (x), f 2 (x), f3 (x) 有非常数的公因式,这与三者互素矛盾,所以 f1 (x), f 2 (x), f3 (x) 线性无
关。

7 在 P 4 中,求向量 ? 在基 ?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 下的坐标。设

1) ?1 ? (1,1,1,1), ? 2 ? (1,1,?1,?1), ? 3 ? (1,?1,1 ?1), ? 4 ? (1,?1,?1,1),? ? (1,2,1,1) ;

2) ?1 ? (1,1,0,1), ? 2 ? (2,1,3,1), ? 3 ? (1,1,0,0), ? 4 ? (0,1,?1,?1),? ? (0,0,0,1) 。

?a ? b ? c ? d ?1

解 1)设有线性关系 ?

? a?1

? b? 2

? c? 3

?

d?

4

,则

??a

? ?

a

? ?

b b

? ?

c c

? ?

d d

?2

?1

??a ? b ? c ? d ? 1

可得 ?

在基 ?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 下的坐标为 a

?

5 ,b 4

?

1 ,c 4

?

? 1 ,d 4

?

?1。 4

? a ? 2b ? c ? 0

2)设有线性关系 ?

? a?1 ? b? 2

?

c?

3

?

d?

4

,则

??a ? ?

?b?c?d ? 3b ? d ? 0

0



?? a ? b ? d ? 1

可得 ? 在基 ?1,? 2 ,? 3 ,? 4 下的坐标为 a ? 1,b ? 0, c ? ?1, d ? 0 。

8 求下列线性空间的维数于一组基:1)数域 P 上的空间 P n?n ;2)P n?n 中全体对称(反对称,上三角)

矩阵作成的数域 P 上的空间;3)第 3 题 8)中的空间;4)实数域上由矩阵 A 的全体实系数多项式组成的空

?1 0 0 ?

? 间,其中 A= ? 0
?? 0

? 0

0 ?2

? ?, ??

?

?

?1? 2

3i 。

? 解 1) Pn?n 的基是 E ij }(i, j ? 1,2,..., n), 且 dim(Pn?n ) ? n2 。

?? ? ? ?

... ??

?... ... ... 1 ...?

2)i)令 Fij

?

? ?

...

...

? ?

,即

aij

? a ji

? 1, 其余元素均为零,则

?... 1 ... ... ...?

? ?

...

...

? ?

? ? F11,...,F1n, F22 ,...,F2n ,...,Fnn

是对称矩阵所成线性空间

M

n

的一组基,所以

M

n



n(n ?1) 2

维的。

?? ? ? ?

... ??

?... ... ... 1 ...?

ii)令 Gij

?

? ?

...

...

? ?

,即

aij

? ?a ji

? 1, (i

?

j), 其余元素均为零,则

?... ?1 ... ... ...?

? ?

...

...

? ?

? ? G12 ,...,G1n,G23,...,G2n ,...,Gn?1,n

是反对称矩阵所成线性空间

Sn

的一组基,所以它是

n(n ?1) 2



的。

? ? iii) E11,...,E1n, E22 ,...,E2n ,...,Enn

是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是 n(n ? 1) 维的。 2

3)任一不等于 1 的正实数都是线性无关的向量,例如取 2,且对于任一正实数 a ,可经 2 线性表出,

即. a ? (log 2 a) ? 2 ,所以此线性空间是一维的,且 2 是它的一组基。

4)因为? ? ? 1 ? 2

3i , ?3 ? 1,所以

? 1, n ? 3q

?n

?

? ?

?, n ? 3q ? 1



??? 2 , n ? 3q ? 2

于是

A2

?

??1 ?

?2

?? ?,

A3

?

??1 ?

1

?? ??

E ,而 An

?

? ? ?

E, n ? 3q A, n ? 3q ? 1



??

? ??

??

1??

??A2 , n ? 3q ? 2

9.在 P 4 中,求由基 ? 1, , ? 2 ,? 3 ,? 4 , 到基? 1,?2 ,?3 ,?4 的过渡矩阵,并求向量 ? 在所指基下的坐标。设

??1

1???????

2 3

? ? ?

??10,,01,,00,,00????? ?0,0,1,0???



??1

??? ???

2 3

? ?2,1,?1,1? ? ?0,3,1,0? ? ?5,3,2,1? ,

??? 4 ? ?0,0,0,1??? ???4 ? ?6,6,1,3?

? ? ?x1, x2 , x3 , x4 ? 在? 1,?2 ,?3 ,?4 下的坐标;

?
2????
?

?1 ?2 ?3

? ?1,2,?10? ? ?1,?1,1,1? ? ??1,2,1,1?

?? ? ? ?



??1 ??????32

? ?2,1,?0,1? ? ?0,1,2,2? ? ?? 2,1,1,2?



??? 4 ? ??1,?1,0,1??? ?? ?4 ? ?1,3,1,2?

? ? ?1,0,0,0?在 ? 1, ? 2 ,? 3 ,? 4 , 下的坐标;

?
3???????

?
2 3

1???1?,11,,1?,11,,1??1???? ? ?1,?1,1,?1???



? ?? ? ?

?1 ? ?1,1,0,1? ?2 ? ?2,1,3,1? ?3 ? ?1,1,0,0?



??? 4 ? ?1,?1,?1,1??? ???4 ? ?0,1,?1,?1?

? ? ?1,0,0,?1?在?1,?2 ,?3 ,?4 下的坐标;

? 2 0 5 6?

?

?

解1? (? 1,?2 ,?3 ,?4

)=( ?1,

?2,?3,?

4,



?1

? ???

?1 1

3 1 0

3 2 1

6? 13 ????

=( ?1,

?

2,?3,?

4

)A

这里 A 即为所求由基 ?1, ? 2 ,? 3 ,? 4 , 到? 1,?2 ,?3 ,?4 的过渡矩阵,将上式两边右乘得 ??1 ,

得( ?1, ? 2 ,? 3 ,? 4 )=(? 1,?2 ,?3 ,?4 ) ??1 ,
于是

?? x1 ??

?? x1 ??

?

? ( ?1,

?

2

,

?

3

,

?

4



? ? ???

x2 x3 x4

? ? ???

=(? 1,?2 ,?3 ,?4 ) ??1

? x2

? ???

x3 x4

? ? ???



所以在基下的坐标为

?? x1 ??

?

?1

? ? ???

x2 x3 x4

? ? ???



?? 4 1 ?1 ? 11 ??

?9 3

9?

?1

这里

?

?1

=

? ?

27 1

? ? ???

?

3 7
27

4 9 0 ?1 9

?1 3 0 1 3

? 23 27
?2 3
26
27

? ? ? ? ? ???



2?令 e1? (1,0,0,0), e2 ? (0,1,0,0), e3 ? (0,0,1,0), e4 ? (0,0,0,1) 则

? 1 1 ?1 ?1?

?

?

(?1,

?

2

,?

3,?

4

)=(

e1 , e2,e3 , e4

?2

)

? ???

?1 0

?1 1 1

2 1 1

? 1?

0 1

? ???

=(

e1

,

e2,

e3

,

e4

)A,

?2 0 ? 2 1?

?

?

(?

1,?

2

,?

3

,?

4

)=(

e1

,

e2

,

e3

,

e4

)

? ? ???

1 0 1

1 2 2

1 1 2

3 1 2

? ? ???

=(

e1

,

e2,

e3

,

e4

)B,

将( e1 , e2,e3 , e4 )=( ?1 , ? 2 , ? 3 ,? 4 ) A?1 代入上式,得

(? 1,?2 ,?3 ,?4 )=( ?1, ? 2 ,? 3 ,? 4 ) A?1 B ,
这里

?? 3 3 ? 6 ? 5 ??

? 13 13 13

?5

?

?1

=

? ?

13 2

?1 13 3

3
13 4

? ? ??

? ?

13 3

13 ?2

13 ?7

13 ? 4?

??1 0 0 1??

13 1
13 8

? ? ? ?

,

A

?1

B=

? ? ???

1 0 0

??

1 1 0

0 1 1

1 1 0

? ? ???



? 13 13 13 13 ?

且 A?1B 即为所求由基 ? 1, ? 2 ,? 3 ,? 4 , 到基? 1,?2 ,?3 ,?4 的过渡矩阵,进而有

?? 1 ??

?? 1 ??

?

?

?1,0,0,0?=(

e1

,

e2,

e3

,

e4

)

? ? ???

0 0 0

? ? ???

=(

?

1

,

?2,?3,?4 )

A ?1

?0?

? ???

0 0

? ???

?? 3 ?? ? 13 ? ?5?

=( ?1,

?

2

,

?

3

,

?

4



? ?

13 2

? ?



? ? ???

? ?

13 3
13

? ? ???

所以 ?

在?1,

?

2,?3,?

4

下的坐标为 ?? 3 ? 13

,

5, 13

? 2, 13

? 3 ?? 。 13 ?

? ? 3 e1 , e2,e3 , e4 同 2 ,同理可得

??1 1 1 1 ?? ??1 2 1 0 ??

?1 A= ????11

1 ?1 ?1

?1 1 ?1

??111?????,

B=

? ? ???

1 0 1

1 3 1

1 0 0

1? ?11????

?1 1 1 1 ?

?

?

? ?1 = 1 4

?1 ????11

1 ?1 ?1

?1 1 ?1

??111?????,

则所求由 ?1, ? 2 ,? 3 ,? 4 到? 1,?2 ,?3 ,?4 的过渡矩阵为

?? 3 7 1 ? 1 ??

? 4 4 2 4?

? 1 ?1 1 3 ?

?

?1

B=

? ?

4 1

42 3

4 1

? ?



? ? ??

? 4 1

4 ?1

0 0

? ?

4 1

? ? ??

?4 4

4?

再令 ? ? a?1 +b? 2 +c? 3 +d? 4 ,即

???1 ??

??1 1 0 1 ??

?1,0,0,0?

?

?a,

b,

c,

d

?????????432

? ? ???

?

?a,

b,

c,

d

???
???

2 1 0

1 1 1

3 0 ?1

1? ?01????



由上式可解得 ? 在下的坐标为? 1,?2 ,?3 ,?4 下的坐标为

?a,b,c, d ? ?

?? ? 2,? ?

1 2

?

4,?

3 ?? 2?

?

?

a?1 。

10.继第 9 题 1)求一非零向量 ? ,它在基 ?1, ? 2 ,? 3 ,? 4 与? 1,?2 ,?3 ,?4 下有相同的坐标。

? ? 解设 ? 在两基下的坐标为 x1, x2 , x3, x4 ,则

?? x1 ??

?? x1 ??

?

=( ?1,

?

2

,?3,?

4



? ? ???

x2 x3 x4

? ? ???

=(? 1,?2 ,?3 ,?4



? ?

???

x2 x3 x4

? ? ???



又因为

? 2 0 5 6?

?

?

(? 1,?2

,?3

,? 4

)=(

?1,

?

2

,?

3

,?

4



? ? ???

1 ?1 1

3 1 0

3 2 1

6? 13 ????

=( ?1,

?

2,?3,?4

)A,

所以

?? x1 ?? ?? x1 ??

?? x1 ??

? x2

? ???

x3 x4

? ? ???

=A

? ? ???

x2 x3 x4

? ? ???

?

(A-E)

? ?

???

x2 x3 x4

? ? ???

=0。



1 056

1 23

1 A?E ?

2 3 6 ? 0, 且 ?1 1 1 ? 0 ,

?1 1 1 1

1 01

1 012

于是只要令 x4 ? ?c, 就有

?x1 ? 2x2 ? 3x3 ? 6c

? ?

? x1 ? x2

? x3

?c



?? x1 ? x3 ? 2c

解此方程组得

? ? x1, x2 , x3, x4 = ?c, c, c,?c?(c 为任意非零常数),

取 c 为某个非零常数 c0 ,则所求 ? 为

? ? c0?1 ? c0? 2 ? c0? 3 ? c0? 4 。
11.证明:实数域作为它自身的线性空间与第 3 题 8)中的空间同构。 证因为它们都是实数域上的一维线性空间,故同构。
12.设V1,V2 都是线性空间V 的子空间,且V1 ? V2 ,证明:如果V1 的维数与V2 的维数相等,那么

V1 ? V2 。

证设 dim(V1 )=r,则由基的扩充定理,可找到V1 的一组基 a1, a2 ,..... ar , ,因V1 ? V2 ,且它们的

唯数相等,故 a1, a2 ,..... ar , ,也是V2 的一组基,所以V1 =V2 。

13. A ? Pn?n 。

1)证明:全体与可交换的矩阵组成的一个子空间,记做 C(A); 2)当 A=E 时,求 C(A);

?? 1

??

3)当

A=

? ?

???

2

........................

? ?

时,求

C(A)的维数和一组基。

n ???

证 1)设与 A 可交换的矩阵的集合记为 C(A)。若 B,D 属于 C(A),可得 A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A,

故 B+D? C(A)。若 k 是一数,B? C( A) ,可得

A(kB)=k(AB)=k(BA)=(kB)A,

所以 kB? C(A)。故 C(A)构成 Pn?n 子空间。

2)当 A=E 时,C(A)= Pn?n 。

3)设与 A 可交换的矩阵为 B=( bij ),则 B 只能是对角矩阵,故维数为 n, E11, E22 ,... Enn 即为它
的一组基。 14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解若记

??1 0 0?? ??0 0 0?? A= ? 0 1 0? ? ?0 0 0? ? E ? S ,
??0 0 1?? ?? 3 1 1??

?? a b c ?? 并设 B= ? a1 b1 c1 ? 与 A 可交换,即 AB=BA,则 SB=BS。且由
?? a2 b2 c2 ??

?? 0 0 0???? a b c ?? ??

0

0

0 ??

SB= ? 0 0 0?? a1 b1 c1 ? ? ?

0

0

0 ?,

?? 3 1 1???? a2 b2 c2 ?? ??3a ? a1 ? a2 3b ? b1 ? b2 3c ? c1 ? c2 ??

?? a b c ?? ?? 0 0 0?? ?? 3c c c ?? BS= ? a1 b1 c1 ? ? 0 0 0? = ? 3c1 c1 c1 ? ,
?? a2 b2 c2 ?? ?? 3 1 1?? ??3c2 c2 c2 ??

可是 c1 ? c ? 0 ,



???33ab??ab11

? a2 ? b2

? 3c2 ? c2





?? ? ?

3c2 c2

? 3a ? ?a1 ? ? 3b ? b1 ? b2

a2



该方程组的系数矩阵的秩为 2,所以解空间的维数为 5。取自由未知量 a, c2 ,并

令 b=1,其余为 0,得 c2 =3,a=3;



a1

=1,其余为

0,得

c2

=3,a=

?

1 3

;

令 b1 =1,其余为 0,得 c2 =1,a=1;



a2

=1,其余为

0,得

c2

=0,a=

?

1 3

;

令 b2 =1,其余为 0,得 c2 =1,a=1;

则与 A 可交换的矩阵为
?? a b 0 ?? B= ? a1 b1 0 ? ,
?? a2 b2 c2 ??

其中,a, c2 可经 b, a1, a2 , b1, b2 表示,所求子空间的一组基为

?? 3 ?0

1 0

0 0

?? ?

,

?? ? ?

?1 3 1

0 0

0 0

?? ? ?

,

?? ?

1 0

0 1

0 0

?? ?

,

?? ? ?

?1 3 0

0 0

0 0

?? ? ?

,

?? ?

1 0

0 0

0 ?? 0? ,

?? 0

0

3 ??

? ??

0

0

0??? ?? 0

0

1 ??

? ??

1

0 0??? ?? 0 1 1??

且维数为 5。

15.如果 c1a ? c2 ? ? c3? ? 0, 且 c1c3 ? 0 ,证明:L ?a, ? ? =L ?? ,? ?。

证由 c1c3 ? 0 ,知 c1 ? 0, 所以 a 可 ? ,? 经线性表出,即?, ? 可经 ? ,? 线性表出,同理,

? ,? 也可经?, ? 线性表出。故 L ?a, ? ?=L ?? ,? ?。

16.在 P4 中,求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设

? a1 ? ?2,1,3,1? ? a1 ? ?2,1,3,?1?

1)

?? a ??a3

2
?

? (1,2,0,1) (?1,1,?3,0)



????aa23

? ?

(?1,1,?3,1) (4,5,3,?1)



?? a4 ? (1,1,1,1) ?? a4 ? (1,5,?3,1)

? ? 解 1) a1 , a2 , a3 , a4 的一个极大线性无关组 a1, a2 , a4 ,因此 a1, a2 , a4 为 L a1, a2 , a3 , a4 的一组基,
且的维数是 3。
? ? 2) a1 , a2 , a3 , a4 的一个极大线性无关组为 a1 , a2 ,故 a1 , a2 是 L a1, a2 , a3 , a4 的一组基,且维数为
2。

17.在 P4 中,由齐次方程组

确定的解空间的基与维数。 解对系数矩阵作行初等变换,有 所以解空间的维数是 2,它的一组基为

a1

?

?? ? ?

1 9

,

8 3

,1,0

?? ?



a2

?

?? 2 , 7 ,0,1?? 。 ?9 3 ?

18.求由向量 ?1,?2 生成的子空间与由向量 ?1, ?2 生成的子空间的交的基与维数,设

1)

???aa21

? ?1,2,1,0? ? ??1,1,1,1?

?????12

? ?

?2,?1,0,1? ?1,?1,3,7?;

2) ???aa12

? ?1,1,0,0? ? ?1,0,1,1?

?????12

? ?

?0,0,1,1? ?0,1,1,0? ;

3)

? ? ?

a1 ? a2

??a3 ?

?1,2,?1,?2?
? (3,1,1,1) (?1,0,1,?1)

?????21

? ?

?2,5,?6,?5? ?? 1,2,?7,3? 。

解 1)设所求交向量 ? ? k1 ?1 ? k2 ? 2 ? l1 ?1 ? l2 ? 2 ,

则有 k1 ?1 ? k2 ? 2 ? l1 ?1 ? l2 ? 2 ? 0 ,

?k1 ? k2 ? 2l1 ? l2 ? 0



????2kk11??kk22??l13l?2

l2 ?

? 0

0



?? k2 ? l1 ? 7l2 ? 0

1 ?1 ? 2 ?1

1 ?1 ? 2

21 1 1

可算得 D ?

? 0 ,且 2 1 1 ? 0 ,

1 1 0 ?3

11 0

0 1 ?1 ?7

因此方程组的解空间维数为 1,故交的维数也为 1。任取一非零解 ( k1, k2 , l1 , l2 ) = (?1,4,?.3,1) ,得

一组基 ? ? ??1 ? 4?2 ? (?5,2,3,4) ,

所以它们的交 L (? ) 是一维的, ? 就是其一组基。

2)设所求交向量 ? ? k1 ?1 ? k2 ? 2 ? l1 ?1 ? l2 ? 2 ,

? k1 ? k2 ? 0

则有

?? ??k

k1 2?

? l1

l2 ?

? l2

0 ?

0



?? k2 ? l1 ? 0

因方程组的系数行列式不等于 0,故方程组只有零解,即 k1 ? k2 ? l1 ? l2 ? 0, 从而
交的维数为 0。

3)设所求交向量为 ? ? k1 ?1 ? k2 ? 2 ? l1 ?1 ? l2 ? 2 ,

? k1 ? 3k2 ? k3 ? 2l1 ? l2 ? 0



?? ? ?

?

2k1 k1 ?

? k2 k2 ?

? 5l1 ? 2l2 ? k3 ? 6l1 ? 7l2

0 ?

0



??? 2k1 ? k2 ? k3 ? 5l1 ? 3l2 ? 0

1 3 ?1 1

2 1 0 ?2


?1 1 1

7 ? 0 知解空间是一维的,因此交的维数是 1。令 l1 ? 1, ,可得 l2 ? 0 ,

? 2 1 ?1 ?3

因此交向量 ? ? l1?1 ? l2 ?2 ? ?1 就是一组基。

19.设V1 与V2 分别是齐次方程组 x1 ? x2 ? ... ? xn ? 0, x1 ? x2 ? ... ? xn?1 ? xn 的解空间,证明:

P n ? V1 ? V2.

证由于 x1 ? x2 ? ... ? xn ? 0 的解空间是你 n-1 维的,其基为

?1 ? (?1,1,0,..., 0),? 2 ? (?1,0,1,..., 0),..., ? n?1 ? (?1,0,0,...,1) 而由 x1 ? x2 ? ... ? xn?1 ? xn

知其解空间是 1 维的,令 xn ? 1, 则其基为 ? ? (1,1,...1, ). 且?1,? 2 ,..., ? n?1, ? 即为 P n 的一组基,从而

P n ? V1 ? V2 . 又 dim( P n ) ? dim(V1 ) ? dim(V2 ) ,故 P n ? V1 ? V2. 。

20.证明:如果V ? V1 ? V2 ,V1 ? V11 ? V12 , 那么V ? V11 ? V12 ? V2 。

证由题设知V ? V11 ? V12 ? V2 , 因为V ? V1 ? V2 , 所以

dim(V ) ? dim(V1 ) ? dim(V2 ) ,又因为V1 ? V11 ?V12 , 所以

故 dim(V ) ? dim(V11) ? dim(V12 ) ? dim(V2 ) , 即证V ? V11 ? V12 ? V2 。
21. 证明:每一个 n 维线性空间都可以表示成 n 个一维子空间的直和。
证设?1,? 2 ,..., ? n 是 n 维线性空间 V 的一组基。显然 L(?1 ), L(? 2 ),..., L(? n ) 都是 V 的一维子空间,

且 L(?1 ) ? L(? 2 ) ? ... ? L(? n ) ? L(?1,? 2 ,..., ? n ) =V,又因为

dim( L(?1)) ? dim( L(? 2 )) ? ... ? dim( L(? n )) ? dim(V ) ,

故V ? L(?1 ) ? L(? 2 ) ? ... ? L(? n ) 。

s

i ?1

? ? 22.证明:和 Vi 是直和的充分必要条件是Vi ? V j ? {0}(i ? 2,..., s) 。

i ?1

j ?1

i?1

? ? 证必要性是显然的。这是因为Vi ? V j ? Vi ? V j ? {0},所以

j ?1

j ?1

i ?1
? Vi ? V j ? {0}。 j ?1

s
? 充分性设 Vi 不是直和,那么 0 向量还有一个分解 0 ? ?1 ? ? 2 ? ... ? ? s , i ?1

其中? j ?Vj ( j ? 1, 2,..., s) 。在零分解式中,设最后一个不为 0 的向量是? k (k ? s), 则

0 ? ?1 ? ? 2 ? ... ? ? k?1 ? ? k ,即?1 ? ? 2 ? ... ? ? k?1 ? ?? k ,

k ?1

k ?1

? ? 因此? k ? V j ,? k ?Vk, ,这与Vk ? V j ? {0} 矛盾,充分性得证。

j ?1

j ?1

23.再给定了空间直角坐标系的三维空间中,所有自原点引出的向量天添上零向量构成

一个三维线性空间 R 3 。

1) 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间?

2) 设有过原点的三条直线,这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间 L1, L2 , L3 ,

问 L1 ? L2 , L1 ? L2 ? L3 能构成哪些类型的子空间,试全部列举出来;
3)就用该三维空间的例子来说明,若 U,V,X,Y 是子空间,满足 U+V=X,X ? Y,是否一定有 Y ?Y U ?Y V 。
解 1)终点所在的平面是过原点的平面,那么所有这些向量构成二维子空间;但终点在 不过原点的平面上的向量不构成子空间,因为对加法不封闭。
2) L1 ? L2 ;

(1)直线 l1 与 l2 重合时,是 L1 ? L2 一维子空间;

(2) l1 与 l2 不重合时,时 L1 ? L2 二维子空间。

L1 ? L2 ? L3 :

(1) l1 , l2 , l3 重合时, L1 ? L2 ? L3 构成一维子空间;

(2) l1 , l2 , l3 在同一平面上时, L1 ? L2 ? L3 构成二维子空间;

(3) l1 , l2 , l3 不在同一平面上时, L1 ? L2 ? L3 构成三维子空间。

3) 令过原点的两条不同直线 l1 , l2 分别构成一维子空间 U 和 V,X=U+V 是二维子空间,在 l1 , l2 决定的平面上,过原点的另一条不与 l1 , l2 相同的直线 l3 构成一维子空间 Y,显然 Y ? X ,Y ?U ? {0},Y ?V ? {0}, 因此 (Y ?U ) ? (Y ?V ) ? {0},

故Y ? (Y ?U ) ? (Y ?V ) 并不成立。

二.补充题参考解答

1.1)证明:在 P[x] n 中,多项式 fi ? (x ? ?1 )...( x ? ?i?1 )( x ? ?i?1 )...( x ? ? n )

(i=1,2,…,n)是一组基,其中 ?1,? 2 ,..., ? n 是互不相同的数;

2)在 1)中,取 ?1,? 2 ,..., ? n 是全体 n 次单位根,求由基 1, x ,..., x n?1 到基 f1, f 2 ,..., f n 的过渡
矩阵。
证 1)设 k1 f1 ? k2 f 2 ? ... ? kn f n ? 0 ,将 x ? ?1 代入上式,得

f 2 (?1 ) ? f3 (?1 ) ? ... ? f n (?1 ) ? 0, f1 (?1 ) ? 0 ,

于是 k1 =0。同理,将 x ? ? 2 ,..., x ? ? n 分别代入,可得

k2 ? k3 ? ... ? kn ? 0 ,

所以 f1, f 2 ,..., f n 线性无关。而 P[x] n 是 n 维的,故 f1, f 2 ,..., f n 是 P[x] n 的一组基。

2)取?1,? 2 ,..., ? n 为全体单位根1,? .? 2 ,..., ? n?1, 则

f1

?

xn ?1 x ?1

?1?

x

?

x2

? ...

?

x n?1 ,

f2

?

x n ? 1 ? ? n?1 x??

? ? n?2 x ? ? n?3 x2

? ... ? ?x n?2

?

x n?1 ,

...........................................................

fn

?

xn ?1 x ? ? n?1

??

? ? 2 x ? ... ? ? n?1 x n?2

? x n?1,

?? 1 ? n?1 ? n?2 ... ? ?? ? 1 ? n?2 ? n?4 ... ? 2 ?

故所求过渡矩阵为

? ?

...

...

...

...

...

? ?



? 1 ? ? n?2 ... ? n?1 ?

? ?

1

1

1

...

1

? ?

2.设?1,? 2 ,..., ? n 是 n 维线性空间 V 的一组基,A 是一个 n×s 矩阵,且

(?1, ?2 ,..., ? s ) ? (?1,? 2 ,..., ? n ) A ,

证明: L(?1, ? 2 ,..., ? s ) 的维数等于 A 的秩。

证只需证 ?1 , ? 2 ,..., ? s 的极大线性无关组所含向量的个数等于 A 的秩。设

?? a11

?.

A

?

? ?

.

?.

? ?

a

n1

... a1r .. .. .. ... anr

... a1s ??

. .?

.

.

?, ?

. .?

...

ans

? ?

且 rank(A) ? r, r ? min(n, s) 。不失一般性,可设 A 的前 r 列是极大线性无关组,由条件得

? ?1 ? a11?1 ? a21? 2 ? ...? an1? n

? ??

.............................................

?? r ? a1r?1 ? a2r? 2 ? ...? anr? n



?...............................................

?

??? s ? a1s?1 ? a2s? 2 ? ...? ans? n

可证 ?1, ?2 ,..., ?r 构成 ?1, ?2 ,..., ?r , ? r?1 ,..., ? s 的一个极大线性方程组。事实上,设

k1?1 ? k2 ?2 ? ... ? kr ?r ? 0 ,

于是得 (k1a11 ? ... ? kr a1r )?1 ? (k1a21 ? ... ? kr a2r )? 2 ? ... ? (k1an1 ? ... ? kr a1r )? n ? 0 ,

? a11k1 ? a12k2 ? ...? a1r kr ? 0

因为

?

1

,

?

2

,...,

?

n

线性无关,所以

? ?

..........................................



??an1k1 ? an2k2 ? ...? anr kr ? 0

该方程组的系数矩阵秩为 r, 故方程组只有零解 k1 ? k2 ? ... ? kr ? 0 ,于是 ?1, ?2 ,..., ?r
线性无关。
其次可证:任意添一个向量 ? j 后,向量组 ?1, ? 2 ,..., ? r , ? j 一定线性相关。事实上,

设 k1?1

? k2?2

? ... ? kr ? r

? kj?j

?

0

,于是

? ? ?

a11k1 ? a12k2 ? ... .......... ..........

? a1r k ..........

r ? a1 j ..........

kj ..

?

0



??an1k1 ? an2k2 ? ... ? anr kr ? anj k j ? 0

其系数矩阵的秩为 r<r+1,所以方程组有非零解 k1, k2 ,..., kr , k, 即 ?1, ?2 ,..., ?r , ? j 线性相关。因

此, ?1, ?2 ,..., ?r 是 ?1, ? 2 ,..., ? s 的极大线性无关组。从而 L(?1, ? 2 ,..., ? s ) 的维数等于 A 的秩,即

等于 rank( A) 。

3.设

f

( x1 ,

x2

,...,

xn

)

是一秩为

n

的二次型,证明:有

Rn

的一个

1 2

(n

?

s ) 维子空间V1

(其中为符号差),使对任一 (x1, x2 ,..., xn ) ?V1 ,有 f (x1, x2 ,..., xn ) =0。

证设 f (x1, x2 ,..., xn ) 的正惯性指数为 p,负惯性指数为 q,则 p+q=n。于是存在可逆矩阵,C,Y=

CX,使 f

( x1 ,

x2 ,...,

xn )

=y12

? ...?

y

2 p

?

y2 p?1

? ...?

y

2 p?q



由 1 (n ? 2

s ) = 1 (n ? 2

? p,当p ? q时 p ? q ) = ??q,当p ? q时 。

下面仅对 p<q 证明(p ? q 时类似可证)。

? c11x1 ? ...? c1n xn ? y1

? ?

.................................



Y=CX

展开,有方程组

?? ? ?

c

p

c p1x1 ? ...? c pn xn ? y p x ?1,1 1 ? ...? c p?1,n xn ? y

p ?1



? ..................................

? ??c p?q,1 x1 ? ...? c p?q,n xn ? y p?q

?? 1 ? (1,0,...,0,1,0,...,0)'

任取

??? ?

2

?

(0,1,...,0,0,1,...,0)'



?.................................

??? p ? (0,...,0,1,0,...1, ,0,...,0)'

则 ?1,? 2 ,..., ? p 线性无关,将 ?1,? 2 ,..., ? p 分别代入方程组,可解得?1 ,? 2 ,..., ? p ,使得

C?1 ? ?1,C? 2 ? ? 2 ,..., C? p ? ? p ,且?1,? 2 ,..., ? p 线性无关。

下面证明 p 维子空间 L (?1 ,? 2 ,..., ? p )即为所要求得V1 。事实上,对任意

X 0 ? L (?1,? 2 ,..., ? p ),设 X 0 ? k1 ?1 ? k2?2 ? ...? k p? p ,代入 Y ? CX 得

Y0 ? CX 0 ? k1C?1 ? k2C?2 ? ...? k pC? p ? k1?1 ? k2? 2 ? ...? k p? p ? (k1, k2 ,...k p , k1, k2 ,...,k p ,0,...,0)'



f

?

X 0 AX0'

? k12

?

...?

k

2 p

? k12

?

...?

k

2 p

? 0 即证V1 = L (?1,? 2 ,..., ? p )。

4.设V1 ,V2 是线性空间V 的两个非平凡的子空间,证明:在V 中存在 ? ,使

??V1,??V2 同时成立。

证因为V1 ,V2 非平凡的子空间,故存在 ??V1 ,如果??V2 ,则命题已证。设 ??V2

则一定存在 ??V2 ,若 ??V1 ,则命题也得证。下设 ??V1 ,于是有??V1,? ?V2 及

? ?V1 , ??V2 ,因而必有? ? ??V1,? ? ??V2 。事实上,若? ? ? ?V1 ,又

? ?V1 ,则由V1 是子空间,必有 ? ?V1 ,这与假设矛盾,即证 ? ? ?? V1 ,同理可证

? ? ? ?V2 ,证毕。

5.设V1,V2 ,..., Vs 是线性空间 V 的 s 个非平凡的子空间,证明 V 中至少有一向量 ? 不属于V1,V2 ,..., Vs
中的任何一个。 证采用数学归纳法。当 n=2 时,由上题已证命题成立。 现归纳假设命题对 s-1 个非平凡的子空间也成立,即在 V 中至少存在一个向量不属于
V1,V2 ,..., Vs?1 中任意一个,如果 ??Vs ,则命题已证。

若? ?Vs ,对 ? ? P, 向量 k? ? ??Vs ,且对 P 中 s 不同的数 k1, k2 ,..., ks , 对应的 s 个

向量 k? ? ? (i ? 1.2....s) 中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间Vi (i ? 1.2....s ?1).

换句话说,上述 S 个向量 k? ? ? (i ? 1.2....s) 中至少有一个向量不属于任意一个非平凡子空间

Vi (i ? 1.2....s ?1) ,记为 ? 0 ? ki0? ? ? ,易见 ? 0 也不属于Vs 。即证命题对 s 个非平凡的子空间
也成立。即证。


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com