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《二次根式》知识点总结-题型分类-复习专用

名师总结 优秀知识点 《二次根式》题型分类 知识点一:二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义: 形如 的式子叫二次根式,其中 叫被开方数,只有当 是一个非负数时, 才有意义. 【典型例题】 【例 1】下列各式 1) 1 , 2) ?5,3) ? x2 ? 2, 4) 4,5) (? 1)2 , 6) 1? a, 7) a2 ? 2a ?1 , 5 3 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) a A、 a B、 ?10 C、 a ? 1 D、 2 ?1 2、在 a 、 a2b 、 x ?1 、 1? x2 、 3 中是二次根式的个数有______个 【例 2】若式子 1 有意义,则 x 的取值范围是 x?3 举一反三: 1、使代数式 x ? 3 有意义的 x 的取值范围是( ) x?4 A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 x 2、使代数式 ? 2 ? 2x ?1 有意义的 x 的取值范围是 . D 、x≥3 且 x≠4 名师总结 优秀知识点 3、如果代数式 ? m ? 1 有意义,那么,直角坐标系中点 P(m,n)的位置在( ) mn A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【例 3】若 y= x ? 5 + 5 ? x +2009,则 x+y= 举一反三: 1、若 x ?1 ? 1? x ? (x ? y)2 ,则 x-y 的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 2、若 x、y 都是实数,且 y= 2x ? 3 ? 3 ? 2x ? 4 ,求 xy 的值 3、当 a 取什么值时,代数式 2a ?1 ?1取值最小, 并求出这个最小值。 已知 a 是 5 整数部分,b 是 5 的小数部分, 求 a ? 1 的值。 b?2 若 2 ? 17 的整数部分为 x,小数部分为 y,求 x2 ? 1 y 的值. 若 7- 3 的整数部分是 a,小数部分是 b,则 3a ? b ? 。 知识点二:二次根式的性质 名师总结 优秀知识点 【知识要点】 1. 非负性: a(a ? 0) 是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2. ( a)2 ?a(a?0). 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全 平方的形式: a?( a)2(a?0) 3. a2 ?a(a?0) ?|a|????a(a?0) 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替. (3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外. 4. 公式 a2 ?a(a?0) ?|a|????a(a?0)与 ( a)2 ?a(a?0)的区别与联系 (1) a 2 表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数. (2) ( a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数. (3) a 2 和 ( a ) 2 的运算结果都是非负的. 【典型例题】 【例 4】若 a ? 2 ? b ? 3 ? ?c ? 4?2 ? 0,则 a ? b ? c ? . 举一反三: 1、若 m ? 3 ? (n ? 1)2 ? 0 ,则 m ? n的值为 。 2、已知 x, y 为实数,且 x ? 1 ? 3?y ? 2?2 ? 0 ,则 x ? y 的值为( ) A.3 B.– 3 C.1 D.– 1 名师总结 优秀知识点 3、已知直角三角形两边 x、y 的长满足|x2-4|+ y 2 ? 5y ? 6 =0,则第三边长为______. 4、若 a ? b ?1 与 a ? 2b ? 4 互为相反数,则 ?a ? ? b 2005 ? _____________ 。 (公式 ( a )2 ? a(a ? 0) 的运用) 【例 5】 化简: a ?1 ? ( a ? 3)2 的结果为( ) A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 举一反三: x 1、 在实数范围内分解因式: 2 ? 3 = x4 ? 9 ? __________, x2 ? 2 2x ? 2 ? __________ ; m4 ? 4m2 ? 4 = (公式 a2 ? a ? ?a(a ? ??? a(a 0) ? 0) 的应用) 【例 6】已知 x ? 2 ,则化简 x2 ? 4x ? 4 的结果是 A、 x ? 2 B、 x ? 2 C、 ?x ? 2 D、 2 ? x 举一反三: 1、根式 (?3)2 的值是( ) A.-3 B.3 或-3 C.3 2、已知 a<0,那么│ a2 -2a│可化简为( ) A.-a B.a C.-3a 3、若 2 a 3,则 ?2 ? a?2 ? ?a ? 3?2 等于( D.9 D.3a ) A. 5 ? 2a B. 1? 2a C. 2a ? 5 D. 2a ?1 4、若 a-3<0,则化简 a 2 ? 6a ? 9 ? 4 ? a 的结果是( ) (A) -1 (B) 1 (C) 2a-7 (D) 7-2a 名师总结 ? ?2 5、化简 4x2 ? 4x ?1 ? 2x ? 3 得( 优秀知识点 ) (A) 2 (B) ?4x ? 4 (C)-2 (D) 4x ? 4 a2 ? 2a ?1 6、当 a<l 且 a≠0 时,化简 a 2 ? a = . 4 ? (a ? 1)2 ? 4 ? (a ? 1)2 7、已知 a ? 0 ,化简求值: a a 【例 7】如果表示 a,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a-b│+ (a ? b)2 的结果等 于

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