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浙江省五校2014届高三第二次联考数学理试题 Word版含答案


2013 学年浙江省第二次五校联考数学(理科)试题卷
姓名:
要求的.www.zxsx.com 1.已知 i 是虚数单位,则

座位号:

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

i 1 ? 3i

=

A.

3 1 ? i 4 4

B.

3 1 ? i 4 4

C.

3 1 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

2.设集合 M ? { x ? Z | 0 ? x ? 2} , P ? { x ? R | x 2 ? 4} ,则 M ? P ? A. {1} B. {(0,1)} C. M D. P

3. 函数 f ( x ) ? 2 sin( A.

? 2

x ? ? ), x ? R 的最小正周期为 2 3
C. 2? D. 4?

B. ?

4. a, b, c ? R .则“ a, b, c 成等比数列”是“ b ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

ac ”的

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2 2

5.在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 b ? c ? bc ? a ? 0 ,则

a sin( 30? ? C ) 的值为 b?c

A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

6.在平面直角坐标系中,不等式 | y ? 2 | ? | x ? 2 |? 2 表示的平面区域的面积是 A.8 B.4 C. 4 2 D. 2 2

7.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体,其直 观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其 中俯视图中椭圆的离心率为 A. 2 B.

1 2
直观图

正视图

侧视图

2 C. 2

2 D. 4

俯视图

(第 7 题)

1

8.如图, ? ABC 是边长为 2 的等边三角形, D 是边 BC 上的 动点, BE ? AD 于 E ,则 CE 的最小值为 A. 1 C. 3 ? 1 B. 2 ?

A

3

E B D C
(第 8 题)

D.

3 2

x2 9. 已知椭圆 C: 点 M1 , M 2 , ?, M5 为其长轴 AB 的 6 等分点, 分别过这五点作斜率为 k ( k ? 0) ? y2 ? 1 , 2
的一组平行线,交椭圆 C 于 P1 , P2 , ?, P10 ,则直线 AP1 , AP2 , ?, AP10 这 10 条直线的斜率乘积为 A. ?

1 16

B. ?

1 32

C.

1 64

D. ?

1 1024

10.下列四个函数:① f ( x ) ? x 3 ? x 2 ;② f ( x ) ? x 4 ? x ;③ f ( x ) ? sin2 x ? x ; ④ f ( x ) ? cos 2 x ? sinx 中 ,仅通过平移变换就能使函数图像为奇函数或偶函数图像的函数为 A.① ② ③ B.② ③ ④ C.① ② ④ D.① ③ ④

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.二项式 (1 ? x 2 ) 5 的展开式中 x 的系数为
6

开始



. ▲ .

i ?1 s?0
s? s? 1 i


12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为 13.若非零向量 a, b ,满足 | a ? b |?| b | , a ? (a ? ? b) , 则? ? ▲ .

i ? i?1

14.已知函数 f ( x ) ? a sin 2 x ? cos( 2 x ? 则a ? ▲ .

?
3

) 的最大值为 1,
s?

9 ? 4


15.对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ) , g ( x ? 1) ? ? g ( x ) , 且 h( x ) ? f ( x ) g ( x ) 在 [0,1] 上的值域 [?1, 2] .则 h( x ) 在 [0, 2] 上 的值域为 ▲ . ▲

输 出s
结束
(第 12 题)

16.两对夫妻分别带自己的 3 个小孩和 2 个小孩乘缆车游玩,每一缆车可以乘 1 人,2 人或 3 人,若小孩必 须有自己的父亲或母亲陪同乘坐,则他们不同的乘缆车顺序的方案共有 种.

17.已知:长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AB ? 2, AD ? 4, AA1 ? 4 , O 为对角线 AC1 的中点,过 O 的直 线与长方体表面交于两点 M , N , P 为长方体表面上的动点,则 PM ? PN 的取值范围是 ▲ .

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)一个袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 2 个球,记随机变量 X 为取出 2 球中白球的个数,已知 P ( X ? 2) ?

5 . 12

(Ⅰ)求袋中白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及其数学期望.

19. (本题满分 14 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ?

?2 ( n ? 1) . 2 a ( n ? 2 ) ? n

(Ⅰ)求 an ;

(Ⅱ)设 bn ?

Sn ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . ( Sn ? log2 Sn )( Sn?1 ? log2 Sn?1 )

20 . ( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , CD ? PD ,

?ADP ? 90?, ?CDP ? 120 ? , E , F , G 分别为 PB, BC , AP 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 EFG // 平面 PCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? EF ? B的平面角的大小.
B G F D E P A

C

(第 20 题)

3

21. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C :

1 3 x 2 y2 2 ? x, ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点 F ( ?1,0) ,离心率为 ,函数 f ( x ) ? 2 2x 4 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 P ( t ,0)(t ? 0) , Q ( f ( t ),0) ,过 P 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,求 QA ? QB 的最小值,并 求此时的 t 的值.

22. (本题满分 14 分)已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? ?

ln x ? e ax ?1 ( e 为自然对数的底数) . x

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 的最小值为 a ,求 a 的最小值.

4

2013 学年浙江省第二次五校联考数学(理科)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.B; 6. A ; 2.C; 7.C; 3.D; 8.C; 4. D ; 9.B; 5.A; 10.D.

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11. ? 10 ; 15. [?2, 2] ; 12.

137 ; 60

13.2;

14. 0 或 3 ; 17. [?8,8] .

16. 648;

三、解答题(本大题共 5 小题,第 18、19、22 题各 14 分,20、21 题各 15 分,共 72 分) 18. 解: (Ⅰ)设袋中有白球 n 个,则 P ( X ? 2) ?
2 Cn 5 , ? 2 C9 12

n( n ? 1) 5 ? ,解得 n ? 6 . 9?8 12 (Ⅱ)随机变量 X 的分布列如下:


X P

0

1

2

1 12

1 2

5 12

E( X ) ? 0 ?

1 1 5 4 ?1? ? 2? ? . 12 2 12 3

19.解:(Ⅰ) n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2( Sn ? Sn?1 )

S n? 2S n?1, S1 ? 2
所以 Sn ? 2n

? 2 n?1 ( n ? 2) an ? ? (n ? 1) ?2
(Ⅱ) bn ?

2n ? 1 1 1 ? n ? n?1 n n?1 ( 2 ? n)(2 ? n ? 1) 2 ? n 2 ? n ? 1

5

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 2?1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 3 2 ? n 2 ? n?1 1 1 ? ? n ?1 3 2 ? n?1 ?
20. 解: (Ⅰ)因为 E , G 分别为 BP , AP 中点,所以 EG // AB , 又因为 ABCD 是正方形, AB // CD ,所以 EG // CD ,所以 EG // 平面 PCD . 因为 E , F 分别为 BP , BC 中点,所以 EF // PC ,所以 EF // 平面 PCD . 所以平面 EFG // 平面 PCD . (Ⅱ)法 1.易知 AD ? CD ,又 AD ? PD ,故 AD ? 平面 PCD 分别以 DC , DA 为 x 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系(如图) 不妨设 AD ? CD ? PD ? 2 则 B( 2,0, 2), F ( 2,0,1) , P ( ?1, 3 ,0)
B G E F D P C A

1 3 所以 E ( , ,1) 2 2 3 3 FB ? (0,0,1), EF ? ( , ? ,0) 2 2
设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BEF 的法向量,则

? x1 ? 1 ? z1 ? 0 ? FB ? m ? 0 ? ? ? 所以 ? 3 取 ? ? y1 ? 3 ,即 m ? (1, 3 ,0) 3 y1 ? 0 ? ? ? x1 ? ? EF ? m ? 0 ?2 2 ? z1 ? 0
设 n ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 DEF 的法向量,则

? x2 ? 1 ?2 x 2 ? z 2 ? 0 ? ? ? FD ? n ? 0 ? 所以 ? 3 取 ? y2 ? 3 ? 3 ? y2 ? 0 ? ? x2? ? EF ? n ? 0 ?2 2 ? z 2 ? ?2
设二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为 ?

cos ? m, n ??

m?n | m || n |

?

1? 3 2?2 2

?

2 2

所以 cos? ? ?

3 2 ,二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为 ? . 4 2

法 2. 取 PC 中点,联结 EM , DM 则 EM // BC ,又 AD ? 平面 PCD , AD // BC ,所以 BC ? 平面 PCD ,所以

EM ? 平面 PCD ,所以 EM ? DM , EM ? PC .

6

因为 CD ? DP ,则 DM ? PC ,所以 DM ? 平面 PCB . 又因为 EF // PC ,所以 EF ? EM 所以 ?DEM 就是二面角 D ? EF ? B的平面角的补角. 不妨设 AD ? CD ? PD ? 2 ,则
B

A

EM ? 1 , DM ? 1 , ?DEM ?

?
4

G

.

所以二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为

3 ?. 4

F

D

E P M

C

?1 2 x2 ? ? ? y2 ? 1 21. 解: (Ⅰ) c ? 1 ,由 ? a 得 a ? 2 , b ? 1 ,椭圆方程为 2 2 ?a 2 ? b 2 ? 1 ?
(Ⅱ)若直线 l 斜率不存在,则 QA ? QB = (

1 3 2 ? t) ? 2 2t 4

设直线 l : y ? k ( x ? t ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), Q( x0 ,0)

QA ? ( x1 ? x0 , y1 ), QB ? ( x2 ? x0 , y2 )
QA ? QB ? ( x1 ? x0 )( x 2 ? x0 ) ? y1 y2 ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? k 2 ( x1 ? t )( x2 ? t )
2 ? ( k 2 ? 1) x1 x2 ? ( k 2 t ? x0 )( x1 ? x2 ) ? x0 ? k 2t 2

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 2 由? 2 得 ( 2k ? 1) x ? 4k tx ? 2k t ? 2 ? 0 ? ? y ? k( x ? t )
? 4k 2 t x ? x ? 2 ? ? 1 1 ? 2k 2 所以 ? 2 2 ? x x ? 2k t ? 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
2 故QA ? QB ? x0 ?2

?(

1 3 2 1 3 2 1 ? t ) ? 2 ? ?2 ? ( 2 ? t) ? ? 2t 4 2t 4 2
1 6 ,此时 t ? ? . 2 3

故 QA ? QB 的最小值为 ?

22. 解:(Ⅰ) a ? 1 时, f ( x ) ? ? 当 x ? 1 时, f ' ( x ) ? ?

ln x 1 ? ln x ? e x ?1 , f ' ( x ) ? ? ? e x ?1 x x2

1 ? ln x x 2 ? 1 ? ln x ? 1 ? ?0 x2 x2

7

当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x ) ? ?

1 ? ln x x 2 ? 1 ? ln x ? 1 ? ?0 x2 x2

所以 f ( x ) 的单调减区间为 (0,1), 单调增区间为 (1, ? ?) . (Ⅱ)由题意可知: ? 即 xe
ax ?1

ln x ? e ax ?1 ? a 恒成立,且等号可取. x

? ax ? ln x ? 0 恒成立,且等号可取.

令 g( x ) ? xeax ?1 ? ax ? ln x

g' ( x ) ? ( ax ? 1)( e ax ?1 ?
由e
ax ?1

1 ) x

?

1 1 ? ln x 1 ? ln x ln x ? 2 ? 0 得到 a ? ,设 p( x ) ? , p' ( x ) ? x x x x2
2 2

当 x ? e 时, p' ( x ) ? 0 ;当 0 ? x ? e 时, p' ( x ) ? 0 .

p( x ) 在 (0, e 2 ) 上递减, ( e 2 ,??) 上递增.所以 p( x ) min ? p( e 2 ) ? ?
1 1 ? ln x 1 ax ?1 ? ? 0, 时, a ? ,即 e 2 x x e 1 在 ( 0, ? ) 上, ax ? 1 ? 0, g' ( x ) ? 0 , g ( x ) 递减; a 1 在 ( ? , ?? ) 上, ax ? 1 ? 0, g' ( x ) ? 0 , g ( x ) 递增. a 1 所以 g ( x ) min ? g ( ? ) a 1 1 t 2 2 设 t ? ? ? ( 0, e ] , g ( ? ) ? h( t ) ? 2 ? ln t ? 1( 0 ? t ? e ) a a e 1 1 h' ( t ) ? 2 ? ? 0 , h( t ) 在 (0, e 2 ] 上递减,所以 h( t ) ? h(e 2 ) ? 0 t e 1 1 1 2 故方程 g ( x ) min ? g ( ? ) ? 0 有唯一解 ? ? e ,即 a ? ? 2 . a a e 1 1 综上所述,当 a ? ? 2 时,仅有 a ? ? 2 满足 f ( x ) 的最小值为 a , e e 1 故 a 的最小值为 ? 2 . e
当a ? ?

1 e2

8


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