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高二数学上学期期末复习题

上杭二中高二上期数学期末复习题

一、选择题:

2007 年 1 月 18 日

1.由条件 a<b<0 得出下面四个不同的结论① a2 ? b2 ② 1 ? 1 ③ a3 ? b3 ④ a ? 1 .则其中

ab

b

正确的结论有 ( )

A.4 个

B.3 个

C.2 个

D.1 个

2.直线 x ? 3y ? 1 ? 0 与 y 轴的夹角等于( )

A. ? 6

B. ? 3

C. 5? 6

D. 2? 3

3.直线 ax+(1-a)y=3 与直线(a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直,则 a 的取值为(



A.-3

B. 1

C.0 或 ? 3 2

4.与直线 3x-4y+5=0 关于 y 轴对称的直线方程为(



D.1 或-3

A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0 C.3x-4y-5=0 D.3x-4y+5=0

5.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 (



A.x–2y+3=0

B.2x+y–4=0 C.x+3y–7=0

D.x+2y–5=0

6.已知三角形 ABC 的顶点 A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点 P(x,y)在三角形内

部及其边界上运动,则 Z=x-y 的最大值和最小值分别是 (



A.3,1

B.1,-3

C.-1,-3

D.3,-1

7.已知动点 P 到 F1(-5,0)的距离与它到 F2(5,0)的距离之差等于 6,则 P 的轨迹方程是( )

A. x 2 ? y 2 ? 1 9 16

B. y 2 ? x 2 ? 1 9 16

C. x 2 ? y 2 ? 1 (x≤-3) 9 16

D. y 2 ? x 2 ? 1 (x≥3) 9 16

8.曲线

?x

? ?

y

? ?

3cos? 4 s in ?

(? ? R) 的离心率为(



A. 7

B. 5

4

4

C. 7

D. 5

3

3

9.已知

F1 、

F2

是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点,M

为椭圆上任意一点,则

MF1 ? MF2 的最大值为(



A. a

B. b

C. a 2

D. b 2

10.在下列函数中,当 x 取正数时,最小值为 2 的是(



A. y ? x ? 4 B. y ? lg x ? 1 C. y ? x 2 ? 1 ? 1

x

lg x

x2 ?1

D. y ? x 2 ? 2x ? 3

11.已知 A(-3,8)和 B(2,2), 在 x 轴上有一点 M,使|AM|+|BM|最短,那么点 M 的坐标是

A.(-1,0)

B.(1,0)

C.( 22 ,0) 5

D. (0,

22
)

5

12.抛物线 y 2 ? ?4x 上有一点 P,P 到椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 的左顶点的距离的最小值为 16 15





A. 2 3

B.2+ 3

二、填空题:

13.不等式 x ? 2 ? x 的解集是

C. 3

D. 2 ? 3

14.以坐标原点为顶点,圆 x2 ? y 2 ? 4x 的圆心为焦点的抛物线方程是

15.已知 x 2 ? y 2 ? 9 ,则 x ? y 的最小值为

16.已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1中过点 M( 3 , 5 )的弦被点 M 平分,求这条弦所在直线的斜

9 25

22

率是__________________
三、解答题:

17.解不等式:(1) x2 ? 3x ? 8 ? 10; (2) x - a ? 0(常数a ? R) x -a2
18.圆心 P 在直线 y = x 上,且与直线 x + 2y-1= 0 相切的圆,截 y 轴的上.半.轴.所得的弦 AB

长为 2,如图所示,求此圆的方程。

19.若点 P 到定点 F(4,0)的距离比它到直线

y

x+5=0 的距离小 1,

(1)求点 P 的轨迹方程; A

(2)已知点 A(2,4),为使 PA ? PF 取得最小

y=x P

值,求点 P 的坐标及 PA ? PF 的最小值。

B

O
20 . 求 两 条 渐 近 线 为 x ? 2 y ? 0 且 截 直 线

x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为 8 3 的双曲线方程。 3

x x + 2y-1= 0

21.设 A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) 两点在抛物线 y ? 2x 2 上, l 是 AB 的垂直平分线。 (Ⅰ)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?
(Ⅱ)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围。

22. A(?a,0) , B(a,0) (a>0)是 x 轴上两定点,动点 M 在 x 轴上的射影为 N 且满足

条件:

2
MN

?

mAN

?

NB (m≠0)

(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程,并说明轨迹是什么曲线?

(2)当 m

?

b2 a2

(a

?

b

?

0)

时,过点

F(

a2 ? b2 ,0) 的直线 l 与动点 M 的轨迹 C 相交于

G,K 两点,求证: 1 ? 1 ? 2a . | FG | | KF | b2

参考答案:

ABDAD BDACD BA

? ? 13、 x x ? ?1 14、 y 2 ? 8x 15、 ? 3 2

16、 ? 5 3

17、解:原不等式等价为

? x2 ? 3x ? 8 ? 10

? ?x

2

?

3x

?

8

?

?10

,即

?x 2

? ?

x

2

? 3x ?18 ? 0 ? 3x ? 2 ? 0

由①得:-6<x<3;由②得:x<-2 或 x>-1

所以原不等式的解集为{x|-6<x<-2 或-1<x<3}

18、解:∵圆心 P 在直线 y = x 上,∴可设 P 的坐标为(k,k), 作 PQ⊥AB 于 Q,连接 AP,在 Rt△ APQ 中,AQ=1,AP=r,PQ=k

∴r= 1 ? k2 又 r=点 P 到直线 x + 2y-1= 0 的距离 ∴ k ? 2k ?1 ? k2 ?1
12 ? 22 整理,得 2k2 ? 3k ? 2 ? 0 解得,k=2 或 k ? ? 1 (舍去)
2

∵所求圆的半径为 r ? k2 ? 1 = 5

∴所求圆的方程为: (x ? 2)2 ? (y ? 2)2 ? 5

19、解:(1)设 P(x,y),则点 P 到定点 F(4,0)的距离是 (x ? 4)2 ? y 2 ,它到直线 x+5=0 的距离是 x ? 5

所以 (x ? 4)2 ? y 2 = x ? 5 -1 化简得,y 2 ? 16 x 因此点 P 的轨迹方程是 y 2 ? 16 x

(2)由(1)得,抛物线的准线方程是 x=-4。 设 P 到准线的距离为 d,由抛物线的定义知,

1

y

P

A

F

x

PA ? PF = PA ? d

从 A 点向准线作垂线交抛物线于 P,

那么它使 PA ? PF 最小,最小值是 A 点到准线的距离 6

因此 P 点的纵坐标是 4,代入抛物线方程得它的横坐标是 1

所以点 P 的坐标(1,4), PA ? PF 的最小值是 6

20、解:设双曲线方程为 x2-4y2= ? .

联立方程组得

?x ?

2

? 4y2

?

?

,消去

y

得, 3x 2

? 24 x

? (36

?

?)

?

0

?x ? y ? 3 ? 0

设 直 线 被 双 曲 线 截 得 的 弦 为 AB , 且 A(x1, y1 ) 、 B(x2 , y2 ) , 那 么 :

?x1 ? x2 ? 8

?? ?

x1

x2

?

?

36 ? ? 3

??? ? 242 ?12(36 ? ?} ? 0

那么:|AB|=

(1? k 2 )[(x1 ? x2}2 ? 4x1x2 ] =

(1 ? 1)(82 ? 4 ? 36 ? ? ) = 3

8(12 ? ?) 8 3

3

3

解得:λ =4,所以,所求双曲线方程是: x 2 ? y 2 ? 1 4

21、解:(Ⅰ) F ?l ? FA ? FB ? A、B 两点到抛物线的准线的距离相等,

∵抛物线的准线是 x 轴的平行线, y1 ? 0,y2 ? 0 ,依题意 y1,y2 不同时为 0
∴上述条件等价于 y1 ? y2 ? x12 ? x22 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? 0
∵ x1 ? x2

∴上述条件等价于 x1 ? x2 ? 0 即当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时, l 经过抛物线的焦点 F 。

(Ⅱ)设 l 在 y 轴上的截距为 b ,依题意得 l 的方程为 y ? 2x ? b ;过点 A、B 的直线方程

可写为

y

?

?

1 2

x

?

m

,所以

x1、x2

满足方程

2x2

?

1 2

x

?

m

?

0



x1

?

x2

?

?

1 4

A、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ? ? 1 ? 8m 0 ,即 m ? 1

4

32

设 AB 的中点 N 的坐标为 ? x0,y0 ? ,则

x0

?

1 2

? x1

?

x2

?

?

?

1 8



y0

?

?

1 2

x0

?

m

?

1 16

?

m

由 N ?l ,得 1 ? m ? ? 1 ? b ,于是 b ? 5 ? m 5 ? 1 ? 9

16

4

16

16 32 32

即得

l



y

轴上截距的取值范围为

? ??

9 32

,?

?

? ??

22、解:(1)设动点 M 的坐标为(x,y),则有

N(x,0), MN ? (0,?y) AN ? (x ? a,0) NB ? (a ? x,0)

2
由 MN

?

mAN ? NB 得

y2

?

m(a 2

?

x2)

∴M 的轨迹方程为 mx 2 ? y 2 ? ma 2 (4 分)

即 x 2 ? y 2 ?! a 2 ma 2
① 当 m=1 时表示圆. ② 当 m>1 或 0<m<1 时表示椭圆. ③当 m<0 时表示双曲线.

(7 分)

(2)当 m ?

b2 a2

时,M 的轨迹方程为 x 2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0)

令 a2 ? b2 ? c 则 c>0, F(c,0)

设 G(x1, y1 )

K(x2 , y2 )

e? c a

当直线 l 的斜率不存在时,

l 为:

x=c,

代入 x 2 a2

? y2 b2

?1得 y ? ? b2 a

∴ 1 ? 1 ? a ? a ? 2a | GF | | KF | b2 b2 b2

(10 分)

当直线 l 的斜率存在时,设为 k,则 l 为 y=k(x-c) y ? k(x ? c)
由{ x 2 y 2 得 (a 2k 2 ? b2 )x 2 ? 2a 2k 2cx ? a 2k 2c 2 ? a 2b2 ? 0 ? ?1
a 2 b2

∴ x1

?

x2

?

2a 2k 2c a2k2 ? b2

x1 x2

?

a2k 2c2 a2k 2

? a2b2 ? b2

由椭圆第二定义知 GF ? a ? ex1 KF ? a ? ex2

1?1 ?

2a ? e(x1 ? x2 )

? 2a

| GF | | KF | a 2 ? ea(x1 ? x2 ) ? e2 x1x2 b2

(14 分)


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