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高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案:7.5 直线、平面垂直的判定及性质 Word版含答案

第五节 直线、平面垂直的判定及性质 垂直的判定与性质 (1)掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理. (2)掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理. 知识点一 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. (2)图形语言:如图 1 所示. (3)符号语言:a?α,b?α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b?l⊥α. 2.直线与平面垂直的性质定理 自然语言:垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言:如图 2 所示. 符号语言:a⊥α,b⊥α?a∥b. 易误提醒 斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线,而不是线段. 必记结论 (1)直线与平面垂直的定义常常逆用,即 a⊥α,b?α?a⊥b. (2)若平行直线中一条垂直于平面,则另一条也垂直于该平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. [自测练习] 1.设 a,b 是平面 α 内两条不同的直线,l 是平面 α 外的一条直线,则“l⊥a,且 l⊥b” 是“l⊥α”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由线面垂直的判定定理知,充分性不成立,由线面垂直的性质定理知,必要性成 立,故选 C. 答案:C 2.已知直线 a,b 和平面 α,且 a⊥b,a⊥α,则 b 与 α 的位置关系为( A.b?α C.b?α 或 b∥α B.b∥α D.b 与 α 相交 ) 解析:由 a⊥b,a⊥α 知 b?α 或 b∥α,但直线 b 不与 α 相交. 答案:C 知识点二 平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定 (1)两个平面垂直的定义 如果两个相交平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.平面 α 与 β 垂直,记作 α⊥β. (2)两个平面垂直的判定定理 自然语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 图形语言:如图 1 所示. 符号语言:AB ⊥β,AB?α?α⊥β. 图1 2.平面与平面垂直的性质 自然语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 图形语言:如图 2 所示. 图2 符号语言:α⊥β,α∩β=CD,AB?α,AB⊥CD?AB⊥β. 易误提醒 平面和平面垂直的判定定理的两个条件:l?α,l⊥β,缺一不可. 必记结论 (1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况,正方体中任意相邻的 两个面都是互相垂直的; (2)由定理可知,要证明平面与平面垂线,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即 证明线面垂直; (3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据. [自测练习] 3.若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 m?β,α⊥β,则 m⊥α B.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β C.若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β D.若 α⊥γ,α⊥β,则 β⊥γ 解析:利用相关定理逐个判断.A 中 m 与 α 的位置关系不确定,故错误;B 中 α,β 可 能平行或相交,故错误;由面面垂直的判定定理可知 C 正确;D 中 β,γ 平行或相交,故错 误,选 C. 答案:C 4.四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,则这个四棱锥的五个面 中两两垂直的共有________对. 解析:因为 AD⊥AB,AD⊥PA 且 PA∩AB=A,可得 AD⊥平面 PAB.同理可得 BC⊥平面 PAB、AB⊥平面 PAD、CD⊥平面 PAD,由面面垂直的判定定理可得,平面 PAD⊥平面 PAB, 平面 PBC⊥平面 PAB, 平面 PCD⊥平面 PAD, 平面 PAB⊥平面 ABCD, 平面 PAD⊥平面 ABCD, 共有 5 对. 答案:5 ) 考点一 直线与平面垂直的判定与性质| 1.在空间中,l,m,n,a,b 表示直线,α 表示平面,则下列命题正确的是( A.若 l∥α,m⊥l,则 m⊥α B.若 l⊥m,m⊥n,则 m∥n C.若 a⊥α,a⊥b,则 b∥α D.若 l⊥α,l∥a,则 a⊥α ) 解析:易知选项 A 不正确;选项 B,从 m⊥n 就可以看出结论是错误的;选项 C 中,若 b?α,则 C 不正确;选项 D 是正确的. 答案:D 2.(2016· 丽水一模)在四面体 ABCD 中,下列条件不能得出 AB⊥CD 的是( A.AB⊥BC 且 AB⊥BD B.AD⊥BC 且 AC⊥BD C.AC=AD 且 BC=BD D.AC⊥BC 且 AD⊥BD ) 解析:A.∵AB⊥BD,AB⊥BC,BD∩BC=B, ∴AB⊥平面 BCD,∵CD?平面 BCD,∴AB⊥CD.B.设 A 在平面 BCD 内的射影为 O, 则 AO⊥平面 BCD,∵AD⊥BC,AC⊥BD,∴O 为△BCD 的垂心,连接 BO,则 BO⊥CD, 又 AO⊥CD,AO∩BO=O,∴CD⊥平面 ABO,∵AB?平面 ABO,∴AB⊥CD.C.取 CD 中点 G,连接 BG,AG. ∵AC=AD 且 BC=BD,∴CD⊥BG,CD⊥AG, ∵BG∩AG=G, ∴CD⊥平面 ABG,∵AB?平面 ABG,∴AB⊥CD,故选 D. 答案:D π 3.(2015· 高考重庆卷)如图,三棱锥 PABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,∠ABC= ,点 2 D,E 在线段 AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF∥BC. (1)证明:AB⊥平面 PFE; (2)若四棱锥 PDFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长. 解:(1)证明:由 DE=EC,PD=PC 知,E 为等腰△PDC 中 DC 边的中点,故 PE⊥AC. 又平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面

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