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必修5


正弦定理和余弦定理 要点梳理 1.正弦定理 其中 R 是

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:

(1)a∶ b∶ c=sin A∶ sin B∶ sin C; (2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (3)sin A= a b c ,sin B= ,sin C= 等形式,以解决不同的三角形问题. 2R 2R 2R

2.三角形面积公式 1 1 1 abc 1 S△ ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R、 2 2 2 4R 2 r. 3.余弦定理:

a 2=b2+c2-2bccos A,b2=a 2+c2-2accos B,c2=a 2+b2-2abcos C .
余弦定理可以变形为:

b2 ? c2 ? a 2 cos A= 2bc

a 2 ? c2 ? b2 ,cos B= 2ac

a 2 ? b2 ? c2 ,cos C= 2ab

.

4.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题: (1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角. 情况(2)中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分. 余弦定理可解决两类问题: (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;(2)已知三边问题.

基础自测 2π 1.在△ ABC 中,若 b=1,c= 3,C= ,则 a= 3 1 .

2.已知△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c= 2,b= 6,B=120° ,则 a=________. 9 3.在△ ABC2中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC= 10 4或5 . )

4.已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形的面积为( C A.2 2 B.8 2 C. 2 D. 2 2

第1 页

题型分类 题型一 例1 利用正弦定理求解三角形

深度剖析

在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°.求角 A、C 和边 c.

思维启迪 已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断. a b 3 2 解: 由正弦定理得 = , = , sin A sin B sin A sin 45° ∴sin A= 3 .∵a>b,∴A=60° 或 A=120° . 2 6+ 2 bsin C = ; sin B 2

当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° ,c=

6- 2 bsin C 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° ,c= = . sin B 2 探究提高 (1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角, 解三角形时, 利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角, 这是解题的难点, 应引起注意. 变式训练 1 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,A+C=2B,则 A=

? 6
π ∵A+C=2B,∴B= . 3 利用余弦定理求解三角形 由正弦定理知 sin A= asin B 1 b =2.

解析 题型二

cos B ? 例 2 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 = cos C (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 解 (1)由余弦定理知:cos B= a2+c2-b2 , 2ac

b . 2a ? c

a2+b2-c2 cos B b cos C= .将上式代入 =- 得: 2ab cos C 2a+c a2+c2-b2 2ab b ·2 =- , 2ac a +b2-c2 2a+c 整理得:a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 -ac 1 ∴cos B= = =- . 2ac 2ac 2

2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3 2 2 2 2 2 2 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 b =a +c -2accos B,得 b =(a+c) -2ac-2accos B,∴13=16 3 1 3 3 ? 1? -2ac?1- ?,∴ac=3.∴S△ABC= acsin B= . 2 2 4 ? ?
第2 页

探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.

变式训练 2 已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a、b、c,且 2cos (1)求角 A 的值; 解 (1)由 2cos
2

2

A +cos A=0 . 2

(2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

A 1 +cos A=0 ,得 1+cos A+cos A=0,即 cos A=-2. 2
2π . 3

∵0<A<π,∴A=

(2)由余弦定理得, a2=b2+c2-2bccos A,A= 2π ,则 a2=(b+c)2-bc,又 a=2 3,b+c=4, 3

1 有 12=42-bc,则 bc=4,故 S△ ABC= bcsin A= 3. 2 题型三 正、余弦定理的综合应用

例 3. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边 已知 2 2(sin 2 A ? sin 2 C) ? (a ? b)sin B ,

△ABC 外接圆半径为
(1)求角 C 的大小;

2.
(2)求△ABC 面积的最大值.

解: (1)∵△ABC 外接圆半径为 2 , 且 2 2(sin 2 A ? sin 2 C) ? (a ? b)sin B ,

即 (2 2 sin A)2 ? (2 2 sin C)2 ? (a ? b)2 2 sin B , ∴ 由 正 弦 定 理 得 : a2 ? c2 ? (a ? b)b , 即
a2 ? b2 ? c2 ? ab , 由余弦定理得: cos C ?
ab 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? ? , C ? (0 , ? ) , ? C? . 2ab 2 3 2ab

(2) S max

?

3 ? 3 2

探究提高

在已知关系式中,若既含有边又含有角.通常的思路是:将角都化成边或将边都化成角,再结

合正、余弦定理即可求角. 变式训练 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.
第3 页



π (1)∵c=2,C= , 3

∴由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得 a2+b2-ab=4.又∵△ABC 的面积为 3,
?a2+b2-ab=4, ? 1 ∴ absin C= 3,ab=4. 联立方程组? 解得 a=2,b=2. 2 ? ?ab=4,

(2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A,得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A, 即 2sin Bcos A=2sin Acos A,∴cos A· (sin A-sin B)=0, ∴cos A=0 或 sin A-sin B=0, π 当 cos A=0 时,∵0<A<π,∴A= ,△ABC 为直角三角形; 2 当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A,由正弦定理得 a=b,即△ABC 为等腰三角形. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 思想方法 方法与技巧 1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系,三角函数的 变形公式去判断三角形的形状,求解三角形,以及利用它们解决一些实际问题. A B C π 2.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π, + + = 中互补和互余的情况,结合诱导公式可以减 2 2 2 2 少角的种数. 3. 正、 余弦定理的公式应注意灵活运用, 如由正、 余弦定理结合得 sin2A=sin2B+sin2C-2sin B· sin C· cos A, 可以进行化简或证明. 4.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理 实施边、角转换. 失误与防范 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有时 可能出现一解、两解或无解,所以要进行分类讨论. 感悟提高

第4 页

过关精练 一、选择题 1.在△ABC 中,A=60° ,a=4 3,b=4 2,则 B 等于( A.45° 或 135°
4 4

) D.以上答案都不对 )

B.135°
4 2 2 2

C.45°

2.△ABC 中,若 a +b +c =2c (a +b ),则角 C 的度数是( A.60° B.45° 或 135° C.120° D.30°

3.在 ?ABC 中, bc ? 20, S?ABC ? 5 3, ?ABC 的外接圆半径为 3 ,则 a A.1 B.2 C.3 D. 3

?(



2
4.在 ?ABC 中,已知 b ? 2, c ? 1, B ? 45? , 则 a 等于( A. ) D. 3 ? 2 ) D.150° )
?

6? 2 2

B.

6? 2 2

C. 2 ? 1

5.在 ?ABC 中 AB ? 2, AC ? 3, BA ? AC ? 3, 则 ? A 等于( A.120° B.60° C.30°

6.在 ?ABC 中, a : b : c A. 30
?

? 3:5: 7 ,
?

则这个三角形的最大角为( C. 120
?

B. 90

D. 60

7.在△ABC 中,已知三边之比 a : b : c ? 2 : 3 : 4 ,则 sin A ? 2 sin B

sin 2C
A.1 B. 2 C. ? 2 D.

?(



1 2
3 b , cos B ? ( ) 2

8. ?ABC 中,边 a, b, c 的对角分别为 A、B、C,且 A=2B, a ? A. 1 B. 1 C. 2 D. 3

2

3

3

4
三角形
2 2

二、填空题 9.在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ABC 的形状是
2

10.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3a=2csin A,则角 C=________. 11. 在△ABC 中, 边 a, b, c 的对角分别为 A、 B、 C, 且 sin A ? sin C ? sin A ? sin C ? sin B 。 则角 B= 三、解答题 12.(12 分)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A 是锐角,且 3b=2a· sin B. (1)求 A; (2)若 a=7,△ABC 的面积为 10 3,求 b +c 的值.
2 2



第5 页

13. ( 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 为 a, b, c , 向 量 m ? (2 cos

C , ? sin( A ? B )) , 2

n ? (cos

C , 2sin( A ? B )) , m ⊥ n .求角 C 2

第6 页


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