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2011-2012学年第二学期期末高二数学(理科)试题及答案


肇庆市中小学教学目标管理 2011—2012 学年第二学期统一检测题 高二数学(理科)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知点 P 的极坐标为 ( 2 , ) ,则点 P 的直角坐标为 4 A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1)

?

2. 一物体作直线运动,其运动方程为 s(t ) ? ?t 2 ? 2t ,则 t=0 时其速度为 A. -2 B. -1 C. 0 D. 2

3. 设 z ? a ? bi ( a, b ? R ) ,则 z 为纯虚数的必要不充分条件是 A. a?0 且 b=0 B. a?0 且 b?0 C. a=0 D. a=0 且 b?0

? x ? 3 ? t cos 20 ?, 4. 直线 ? (t 为参数)的倾斜角是 ? y ? t sin(?20 ?)

A. 20?

B. 70?

C. 110?

D. 160?

5. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(2 ? X ? 4) ? 0.6826 ,则 P(X ? 2) ? A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585

6. 由 1,2,3,4,5 组成没有重复数字且 1,2 都不与 5 相邻的五位数的个数是 A. 24 7. 函数 f ( x) ? A. ?
1 x

B. 28

C. 32

D. 36

1? x ,记 f1 ( x) ? f ( x) , f k ?1 ( x) ? f [ f k ( x)] ( k ? N * ) ,则 f 2012 ( x) ? 1? x

B. x

C.

x ?1 x ?1

D.

1? x 1? x

8.实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,abc>0,则 A. 一定是正数 B. 可能是零

1 1 1 ? ? 的值 a b c

C. 一定是负数

D. 无法确定

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 请把答案填在题中横线上. 9.已知复数 z ? ?3 ? 4i ,则 | z |? ▲ .

10. 计算 ? sin xdx ?
??

0



. ▲ . ▲ . ▲ .

1 11. ( x ? ) 5 的展开式中含 x 3 项的二项式系数为 x

12. 圆心在 A(1, ) ,半径为 1 的圆的极坐标方程是 4

?

? x ? 1 ? cos? 13.定点 A(-1,-1)到曲线 ? (?为参数)上的点的距离的最小值是 ? y ? sin ?

14.设 0 ? ? ?

?
2

,已知 a1 ? 2 cos? , a n ?1 ? 2 ? a n ,则猜想 a n 的值为



.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 随机抽取 100 个行人,了解他们的性别与对交通规则的态度之间的关系,得到如下的统 计表: 男行人 遵守交通规则 不遵守交通规则 合计 31 19 50 女行人 49 1 50 合计 80 20 100

(1)求男、女行人遵守交通规则的概率分别是多少; (2)能否有 99.9%的把握认为男、女行人遵守交通规则有差别? 附:
P( K 2 ? k )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.01 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
K2 ?

n(ad ? bc) 2 . (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

16. (本小题满分 12 分) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系, 下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系:

时间 x 命中率 y

1 0.4

2 0.5

3 0.6

4 0.6

5 0.4

(1)求小李这 5 天的平均投篮命中率; (2)用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率.(线性回归方

? ? ? ? 程 y ? bx ? a 中系数计算公式 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

? ? , a ? y ? bx ,其中 x , y 表示样本均值.

? x)2

17. (本小题满分 14 分) 有两盒卡片,一个盒子装有 4 张,分别标有数字 1、1、2、3,另一个盒子也装有 4 张, 分别标有数字 2、2、3、4. 现从两个盒子中各取一张卡片. (1)求取出的两张卡片上的数字为相邻整数的概率; (2)记 ξ 为所取两张卡片上的数字之和,求 ξ 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?
1 3 a 2 x ? x ? bx ? c ,曲线 y ? f (x) 在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y ? 1 . 3 2

(1)求 b,c 的值; (2)求函数 f (x) 的单调区间.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}满足 a1 ? (1)证明:
1 1 ,且 a n ?1 ? ( n ? N * ). 1 ? an 2

1 ? an ? 1 ; 2
1 2 n?1 ?( ) . 6 5

(2)证明: | a n?1 ? an |?

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?
1? x . 1? x

(1)若函数 f (x) 在(0,+?)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)设 p ? q ? 0 ,求证: ln p ? ln q ?
p?q . p?q

2011—2012 学年第二学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 B 6 D 7 B 8 C

二、填空题 9. 5 10. -2
5 ?1

11.

5

12. ? ? 2 sin(? ? ) 或 ? ? 2 cos( ? ) ? 4 4

?

?

13.

14. 2 cos

?
2 n?1

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)男行人遵守交通规则的概率为 女行人遵守交通规则的概率为 (2) K 2 ?
31 ? 0.62 ; 50

(3 分) (6 分) (10 分)

49 ? 0.98 . 50

n(ad ? bc) 2 100 (31 ? 1 ? 49 ? 19) 2 ? ? 20.25 . (a ? c)(b ? d )( a ? b)(c ? d ) 80 ? 20 ? 50 ? 50

因为 K 2 ? 20.25 ? 10.828 , 所以有 99.9%的把握认为男、女行人遵守交通规则有差别. (12 分)

16. (本小题满分 12 分) 证明: (1)小李这 5 天的平均投篮命中率为 y ? (2)小李这 5 天打篮球的平均时间 x ?
0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.5 . (4 分) 5

1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 3 (小时) 5

(5 分)

? b?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

? x)2

(?2) ? (?0.1) ? (?1) ? 0 ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.1 ? 2 ? (?0.1) ? 0.01 (7 分) (?2) 2 ? (?1) 2 ? 0 2 ? 12 ? 2 2

? ? a ? y ? bx ? 0.5 ? 0.01 ? 3 ? 0.47 ? ? ? 所以 y ? bx ? a ? 0.01x ? 0.47

(9 分) (10 分) (12 分)

? 当 x=6 时, y ? 0.53 ,故预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为 0.53.

17. (本小题满分 14 分)
1 1 解: (1)从两个盒子中各取一张卡片共有 C 4 C 4 ? 16 种取法,取出的两个数字恰为相邻整数的

情况有 8 种,所以取出的两张卡片上的数字为相邻整数的概率为 P ? (2)由题意可知 ξ 的可能取值为 3,4,5,6,7.
P(? ? 3) ?

8 1 ? . (4 分) 16 2

(6 分)

c1 c1 1 c1 ? c1 1 c1 ? 1 ? c1 5 2 2 2 2 ? , P(? ? 4) ? 2 ? , P(? ? 5) ? 2 ? , 16 4 16 4 16 16

P(? ? 6) ?

1?1 1 1 ? , P(? ? 7) ? . 16 8 16

所以 ξ 的分布列为: ξ P 3
1 4

4
1 4

5
5 16

6
1 8

7
1 16

(11 分) ξ 的数学期望为 E? ? 3 ?
1 1 5 1 1 ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 4.5 . 4 4 16 8 16

(14 分)

18. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ?( x) ? x 2 ? ax ? b
? f (0) ? 1, ?c ? 1, 由题意,得 ? 即? ?b ? 0. ? f ?(0) ? 0,

(2 分) (6 分) (7 分)

(2)由(1) ,得 f ?( x) ? x 2 ? ax ? x( x ? a)

①当 a>0 时,有 x?(-?,0)时, f ?( x) ? 0 ;x?(0,a)时, f ?( x) ? 0 ; x?(a,+?)时, f ?( x) ? 0 . ②当 a=0 时,有 x?(-?,+?)时, f ?( x) ? 0 . (9 分) (10 分)

③当 a<0 时,有 x?(-?,a)时, f ?( x) ? 0 ;x?(a,0)时, f ?( x) ? 0 ; x?(0,+?)时, f ?( x) ? 0 . (12 分)

故当 a>0 时,函数 f (x) 的单调增区间为(-?,0)与(a,+?) ,单调减区间为(0,a) ;当 a=0 时,函数 f (x) 的单调增区间为(-?,?) ;当 a<0 时,函数 f (x) 的单调增区间为(-?,a) 与(0,+?) ,单调减区间为(a,0). (14 分)

19. (本小题满分 14 分) 证明: (1)用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, a1 ?
1 ? an ? 1 . 2

1 ,结论成立; 2

(2 分)
1 ? ak ? 1 , 2

②假设当 n=k( n ? N * )时,结论成立,即 那么,当 n=k+1 时, a k ?1 ? 因为 所以
1 , 1 ? ak

(3 分)

1 3 1 2 ? a k ? 1 ,所以 ? 1 ? a k ? 2 ,所以 ? a k ?1 ? , 2 2 2 3

(4 分) (5 分) (6 分) (7 分)

1 ? a k ?1 ? 1,即当 n=k+1 时,结论也成立. 2

根据①和②,知对任意的 n ? N * ,结论均成立. (2) | a n ?1 ? a n |?|
| a n ? a n ?1 | 1 1 ? |? , 1 ? a n 1 ? a n ?1 (1 ? a n )(1 ? a n ?1 )

当 n ? 2 时,由(1)有 (1 ? a n )(1 ? a n ?1 ) ? (1 ? 所以 | an?1 ? an |? 又 a2 ?

1 5 (10 分) )(1 ? a n ?1 ) ? a n ?1 ? 2 ? , 1 ? a n ?1 2

2 2 2 | an ? an?1 |? ( ) 2 | an?1 ? an?2 |? ( ) n?1 | a2 ? a1 | , 5 5 5

(13 分) (14 分)

1 2 2 1 1 1 2 ? , | a 2 ? a1 |?| ? |? ,所以 | a n?1 ? an |? ? ( ) n?1 . 1 ? a1 3 3 2 6 6 5

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)函数 f (x) 的定义域为(0,+?).
f ?( x) ? a 2 a(1 ? x) 2 ? 2 x ? ? . x (1 ? x) 2 x(1 ? x) 2

(1 分) (3 分)

因为 f (x) 在(0,+?)上单调递增,所以 f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立, 即 a(1 ? x) 2 ? 2 x ? 0 在(0,+?)上恒成立. 当 x?(0,+?)时,由 a(1 ? x) 2 ? 2 x ? 0 得 a ? 设 g ( x) ?
2x ? (1 ? x) 2
2x . (1 ? x) 2

(5 分) (6 分)

2 1 ( x ? 0) ,所以 g ( x) ? (当且仅当 x=1 时取等号)(7 分) , 1 2 x? ?2 x

所以 a ?

1 ?1 ? ,即实数 a 的取值范围为 ? ,?? ? . 2 ?2 ?
p?q ln p ? ln q p ? q ,只需证 , ? p?q 2 p?q
p q ? 0. p q

(8 分) (9 分)

(2)要证 ln p ? ln q ?

p ?1 1? 1 p q 1 p 只需证 ln ? ,只需证 ln ? p 2 q 2 q ?1 1? q

(10 分)

设 h( x ) ?

1 1? x ,由(1)知 h(x) 在(1,+?)上单调递增, ln x ? 2 1? x
1?

(12 分)

p 1 p q p p ? 0 成立, 又 ? 1 ,所以 h( ) ? h(1) ? 0 ,即 ln ? p 2 q q q 1? q

(13 分)

所以当 p ? q ? 0 , ln p ? ln q ?

p?q 成立. p?q

(14 分)


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