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2015-2016学年第一学期西城区高三数学(理)试卷及答案(WORD版)

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末 试卷
高三数学(理科) 2016.1
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
1、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的 四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.设集合,集合,若,则实数的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D)

2. 下列函数中,值域为的偶函数是( ) (A) (B) (C) (D)

3. 设命题p:“若,则”,命题q:“若,则”,则( )

(A)“”为真命题

(B)“”为假命题

(C)“”为假命题

(D)以上都不对

4. 在数列中,“对任意的,”是“数列为等比数列”的( )

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

5. 一个几何体的三视图如图所示,那么这个
侧(左)视图 正(主)视图 俯视图 2 2 1 1
几何体的表面积是( )

(A)

(B)

(C) (D)

6. 设,满足约束条件 若的最大值与最小值的差为7,则实数( )

(A)

(B)

(C) (D)

7. 某市乘坐出租车的收费办法如下:
不超过4千米的里程收费12元; 超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米 的部分,若其小于0.5千米则不收费,若其大于或等于0.5千 米则按1千米收费); 当车程超过4千米时,另收燃油附加费1元.
相应系统收费的程序框图如图所示,其中(单位:千米)为行驶
里程,(单位:元)为所收费用,用[x]表示不大于x的最大整数,则图 中处应填( ) 开始 输出y 结束 否 是 输入x y=12
(A) (B) (C) (D)

8. 如图,正方形的边长为6,点,分别在边,上,且,.如果对于常数, 在正方形的四条边上,有且只有6个不同的点P使得成立,那么的取值范 围是( )

E

F

D

PC

A

B

(A)

(B)

(C)

(D)
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 已知复数满足,那么____. 10.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若,,,则____. 11.双曲线C:的渐近线方程为_____;设为双曲线C的左、右焦点,P 为C上一点,且,则____.

12.如图,在中,,,,点为的中点,以为直径的半圆与,分别相交于 点,,则____; ____.
BOC A N M
13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的 带队教师至多2人,但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的 带队方案有____种.(用数字作答)

14. 某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函 数关系 且该食品在的保鲜时间是16小时.
已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的 室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论:
该食品在的保鲜时间是8小时;
当时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少; 到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内; 到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中,所有正确结论的序号是____.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)
已知函数,. (Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)设,若函数为奇函数,求的最小值.
16.(本小题满分13分) 甲、乙两人进行射击比赛,各射击4局,每局射击10次,射击命中目
标得1分,未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下: 甲6 6 9 9 乙7 9 (Ⅰ)若从甲的4局比赛中,随机选取2局,求这2局的得分恰好相等
的概率;

(Ⅱ)如果,从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局,记这2局的 得分和为,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)在4局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更 稳定,写出的所有可能取值.(结论不要求证明)
17.(本小题满分14分) 如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,,, 分别为的
中点,点在线段上. (Ⅰ)求证:平面;
F C A
D P
M BE
(Ⅱ)若为的中点,求证:平面; (Ⅲ)如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求的 值.
18.(本小题满分13分) 已知函数,函数,其中. (Ⅰ)如果函数与在处的切线均为,求切线的方程及的值; (Ⅱ)如果曲线与有且仅有一个公共点,求的取值范围.
19.(本小题满分14分) 已知椭圆C:的离心率为,点在椭圆C上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O为圆心的圆,满足此圆与相交两点,(两点均不在坐标轴上),且使 得直线, 的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说 明理由.

20.(本小题满分13分) 在数字的任意一个排列A:中,如果对于,有,那么就称为一个逆序
对. 记排列A中逆序对的个数为. 如时,在排列B:3, 2, 4, 1中,逆序对有,,,,则. (Ⅰ)设排列 3, 5, 6, 4, 1, 2,写出的值; (Ⅱ)对于数字1,2,,n的一切排列A,求所有的算术平均值;
(Ⅲ)如果把排列A:中两个数字交换位置,而其余数字的位置保持不 变,那么就得到一个新的排列:,求证:为奇数.

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末

高三数学(理科)参考答案及评分标



一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.A

2.C

3.B

4.B

5.B

6.C

7.D

8.C

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.

10.

11.

12.

13.54

14.

注:第11,12题第一问2分,第二问3分.

2016.1

三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评 分标准给分. 15.(本小题满分13分) (Ⅰ)解:

………………4分



………………6分

所以函数的最小正周期.

………………7分

由,,

得,

所以函数的单调递增区间为,. ………………9分

(注:或者写成单调递增区间为,. )

(Ⅱ)解:由题意,得,

因为函数为奇函数,且,

所以,即,

………………11分

所以,,

解得,,验证知其符合题意.

又因为,

所以的最小值为.

………………13分

16.(本小题满分13分) (Ⅰ)解:记 “从甲的4局比赛中,随机选取2局,且这2局的得分恰好 相等”为事件,

………………1分 由题意,得, 所以从甲的4局比赛中,随机选取2局,且这2局得分恰好相等的概率

为. ……4分 (Ⅱ)解:由题意,的所有可能取值为,,,, ………………5分
且,,,,………………7分 所以的分布列为:

13

15

16

18

……………… 8分

所以.

………………10分

(Ⅲ)解:的可能取值为,,.

………………13分

17.(本小题满分14分)

(Ⅰ)证明:在平行四边形中,因为,,

所以.

由分别为的中点,得,

所以.

………………1分

因为侧面底面,且,

所以底面.

………………2分

又因为底面,

所以.

………………3分

又因为,平面,平面,

所以平面.

………………4分

(Ⅱ)证明:因为为的中点,分别为的中点,

所以,
F C A

D P

M BE z y x
又因为平面,平面,

所以平面.

………………5分

同理,得平面.

又因为,平面,平面,

所以平面平面. ………………7分

又因为平面,

所以平面.

………………9分

(Ⅲ)解:因为底面,,所以两两垂直,故以

分别为轴、轴和轴,如上图建立空间直角坐标系,

则, 所以,,, 设,则, 所以,,

………………10分

易得平面的法向量.

………………11分

设平面的法向量为,

由,,得

令, 得.

………………12分

因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,

所以,即, ………………13分

所以 ,

解得,或(舍).

………………14分

18.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解:求导,得,,.

………………2分

由题意,得切线l的斜率,即,解得. ……………3分

又切点坐标为,所以切线l的方程为. ………………4分

(Ⅱ)解:设函数,. ………………5分

“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一

个零点”.

求导,得.

………………6分

① 当时,

由,得,所以在单调递增.

又因为,所以有且仅有一个零点,符合题意. ………………8分

② 当时,

当变化时,与的变化情况如下表所示:

0
↘ 所以在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,, 故有且仅有一个零点,符合题意. ③ 当时, 令,解得. 当变化时,与的变化情况如下表所示:

↗ ………………10分

0





所以在上单调递减,在上单调递增,

所以当时,. 因为,,且在上单调递增, 所以. 又因为存在 ,,
所以存在使得,

………………11分

所以函数存在两个零点,1,与题意不符. 综上,曲线与有且仅有一个公共点时,的范围是,或.

………………13分

19.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解:由题意,得,,

………………2分

又因为点在椭圆上,

所以,

………………3分

解得,,,

所以椭圆C的方程为.

………………5分

(Ⅱ)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为.

………………6分

证明如下:

假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为.

当直线的斜率存在时,设的方程为.

………………7分

由方程组 得, ………………8分

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点,

所以,即. ………………9分

由方程组 得, ………………10分

则.

设,,则,, ………………11分

设直线, 的斜率分别为,,

所以



………………12分

将代入上式,得.

要使得为定值,则,即,验证符合题意. 所以当圆的方程为时,圆与的交点满足为定值.

………………13分
当直线的斜率不存在时,由题意知的方程为, 此时,圆与的交点也满足. 综上,当圆的方程为时,圆与的交点满足斜率之积为定值.

………………14分

20.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解:;

………………2分

(Ⅱ)解:考察排列 与排列,

因为数对与中必有一个为逆序对(其中),

且排列D中数对共有个,

………………3分

所以.

………………5分

所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为. ………………6分

而对于数字1,2,,n的任意一个排列A:,都可以构造排列A1:, 且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为.

所以所有的算术平均值为.

………………7分

(Ⅲ)证明:当,即相邻时,

不妨设,则排列为,

此时排列与排列A:相比,仅多了一个逆序对,

所以,
所以为奇数. 当,即不相邻时, 假设之间有m个数字,记排列A:, 先将向右移动一个位置,得到排列A1:, 由,知与的奇偶性不同,
再将向右移动一个位置,得到排列A2:, 由,知与的奇偶性不同,
以此类推,共向右移动m次,得到排列Am:,

………………10分

再将向左移动一个位置,得到排列Am+1:, 以此类推,共向左移动m+1次,得到排列A2m+1:, 即为排列, 由,可知仅有相邻两数的位置发生变化时,排列的逆序对个数的奇 偶性发生变化, 而排列A经过次的前后两数交换位置,可以得到排列, 所以排列A与排列的逆序数的奇偶性不同, 所以为奇数. 综上,得为奇数. ………………13分


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